高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.4.2(一)

偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
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π π 【训练 2】 若 f(x)是以 2 为周期的奇函数，且 f 3 ＝1，求 5π f － 6 的值.
解
π 因 f(x)是以 2 为周期的奇函数，
5π f － 6 5π ＝ f － 6 π π π ＋ 2 ＝f－ 3 ＝－f 3 ＝－1.
π x∈ － 6 1 1 5 ，6π ，则 sin x∈－2，2.(× )
π 5 (4)当 <x< π 时，有 sin x>cos x.( √ ) 4 4
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提示 故错.
π π π 9 9 9 (1)4π， 且4π> 4 ， 但 sin4π＝sin 4 ， 4 都是第一象限角，
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2.函数f(x)＝1＋sin x的最小正周期是(
π A. 2 B.π 3π C. 2 D.2π
)
解析 ∵函数 y＝sin x 的周期为 2π，∴函数 f(x)＝1＋sin x 的 最小正周期是 2π.
答案 D
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3.函数 f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数
2kπ
π 5 ＋ 6 ，2kπ ＋6π (k∈Z)，此定义域不关于原点对称.
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.
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(3)函数定义域为 R. 1 f(－x)＝lg(－sin x＋ 1＋sin x)＝lg sin x＋ 1＋sin2 x
2
＝－lg(sin x＋ 1＋sin2 x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)＝lg(sin x＋ 1＋sin2 x)为奇函数. (4)由
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类型一 求正、余弦函数的周期 【例1】 求下列函数的最小正周期： π (1)y＝sin2x＋ ； 3
(2)y＝|cos x|.
解 (1)法一
π 令 z＝2x＋ 3 ，则函数 y＝sin z 是周期函数，且周
期为 2π ，即 y＝sin(z＋2π )＝sin z， 亦即
周期 函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期， cos x都是_____
且它们的最小正周期都是2π. 3.正弦函数、余弦函数的奇偶性
R ， (1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是____
定义域关于原点 _____对称. sin x 知正弦函数y＝sin x是R上的奇函数， (2)由sin(－x)＝－ _______
π π (2)△ABC 是锐角三角形，则 A＋B> ，A> －B， 2 2 故 sin
π A>sin －B ＝cos 2
B.
π π π π (3) ∈－ ， ，而 sin ＝1， 2 6 2 6
(4)如图，在同一坐标系中，画出 y＝sin x，y＝ocs x，x∈[0， 2π]图象，可知正确.
x.
3 (2)求2π
，2π
f(x)的解析式.
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[思路探究] 探究点一 提示
π 5 (1)怎样将 π转化成已知区间0， 上的角？ 3 2
π是 f(x)的周期，则－π，－2π也是 f(x)的周期.
3 (2)求2π，2π上
探究点二 提示
π sin2x＋ 3

＋2π
π ＝sin2x＋ 3

∴sin 2 x＋π
π π π ＋ ＝sin2x＋ ∴y＝sin2x＋ 的周期为π . 3 3 3
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法二
π y＝sin2x＋ 3
，其中
2π ω＝2，∴T＝ |2| ＝π .
(2)作出函数 y＝|cos x|的图象，如图所示，
由图象可知，此函数的周期为π.
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规律方法
(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期， 关键是
抓住变量“x”增加到“x＋T”时函数值重复出现，则可得 T 是 函数的一个周期. (2)常见三角函数周期的求法： ①对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0(或 y＝Acos(ωx＋φ)， 2π ω≠0)的周期求法通常用公式 T＝ 来求解. |ω| ②对于形如 y＝|Asin ωx|(或 y＝|Acos ωx|)的周期情况常结合 图象法来解决.
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解
(Hale Waihona Puke Baidu)函数定义域为 R，且 f(x)＝
＝
5 2sin2x＋2π ＝
π 2sin2x＋ 2
2cos 2x，显然有 f(－x)＝f(x)恒成立.
∴函数 f(x)＝
5 2sin2x＋2π 为偶函数.
1 (2) 由 2sin x － 1≥0 ， 即 sin x ≥ ， 得 函 数 定 义 域 为 2
x π (3)∵2sin 3－ 6
＋2π
x π ＝ 2sin 3－ 6
，
即
1 2sin 3（x＋6π
x π π ）－ ＝2sin － . 6 6 3
x π ∴y＝2sin 3－ 6
的最小正周期是
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1 1 (2)如果令 u＝ x，则 sin x＝sin u 是周期函数，且最小正周 2 2 期为 2π
1 x .∴sin 2x＋2π ＝sin2，即 1 sin2（x＋4π ）＝sin
1 2x.
1 ∴y＝sin 2x 的最小正周期是 4π .
f(x)的解析式关键是什么？
3 π 将2π，2π上的角转化为0， 上的角即可. 2
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解
(1)∵f(x)的最小正周期是π
5π ，∴f 3
5π ＝ f 3
－2π
π ＝ f － 3
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[课堂小结]
1.对周期函数概念的三点说明
(1)对定义域内的每一个值都有 f(x＋T)＝f(x)成立，即 x 的任意 性，否则不能说 y＝f(x)是周期函数. (2)并非所有周期函数都有最小正周期.例如， 对于常数函数 f(x) ＝c(c 为常数，x∈R)，所以非零实数 T 都是它的周期，最小正 数不存在，所以常数函数没有最小正周期. (3)在周期函数 y＝f(x)中，若 x∈D，则 x＋nT∈D(n∈Z)，从而 要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.
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【训练1】 求下列函数的最小正周期. x π 1 (1)y＝cos 2x；(2)y＝sin x；(3)y＝2sin － 3 . 2 6
解 (1)定义法：令 u＝2x，则 cos 2x＝cos u 是周期函数，且最 小正周期为 2π .∴cos(u＋2π )＝cos u， 则 cos(2x＋2π )＝cos 2x，即 cos[2(x＋π )]＝cos 2x. ∴cos 2x 的最小正周期为π .公式法：∵ω＝2， 2π ∴T＝ ＝π ，故 y＝cos 2x 的周期为π . |ω |
函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 __________.
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2.正弦函数、余弦函数的周期性 cos x 知y＝sin x与y＝ sin x ，cos(x＋2kπ)＝______ 由sin(x＋2kπ)＝_____
6π .
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类型二 正、余弦函数周期性的应用(互动探究)
【例 2】 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是π ，且当 (1)求
5π f 3 的值. 上 π x∈0， 2 时，f(x)＝sin
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【训练3】 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝sin x＋tan x；
(2)f(x)＝cos(π
π 解 (1)函数的定义域是{x∈R|x≠kπ ＋ 2 ，k∈Z}. 又 f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－(sin x＋tan x)＝－f(x)， ∴此函数是奇函数.
它的图象关于原点对称. cos x 知余弦函数y＝cos x是R上的____ 偶 函数， (3)由cos(－x)＝______
y轴 对称. 它的图象关于_____
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即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数在第一象限是增函数.( × ) (2)在锐角△ABC 中，总有 sin A>cos B.(√ ) (3)若
(2)函数的定义域是 R， f(x)＝cos(π
π －x)－xcos 2 －x＝－cos
π －x)－xcos 2
－x.
x－xsin x，
f(－x)＝－cos(－x)－(－x)sin(－x)＝－cos x－xsin x＝f(x)， ∴此函数是偶函数.
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1 cos x 0, 得 cos x＝1， cos x 1 0,
∴x＝2kπ (k∈Z)，此时 f(x)＝0， 故该函数既是奇函数又是偶函数.
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规律方法
判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否
关于原点对称 . 如果是，再验证 f( － x) 是否等于－ f(x) 或 f(x) ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必 为非奇非偶函数.
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2.对三角函数奇偶性的两点说明 (1)判断三角函数的奇偶性首先要看定义域是否关于原 点对称，否则不具有奇偶性.
，0，∴2π
π －x∈0， 2
.
由已知得 f(x)＝f(x－2π )＝f(2π －x)＝sin(2π －x)＝－sin x， ∴f(x)＝－sin
3 x，x∈2π
，2π
.
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规律方法
解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇
)
B.偶函数 D.非奇非偶函数
解析 函数的定义域为 R，又 f(x)＝－sin x，f(－x)＝ －sin(－x)＝sin x＝－f(x)，故此函数是奇函数.
答案 A
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4.若函数f(x)的最小正周期为2，且f(0)＝2，则f(2)＝______. 解析 由题意可知，f(2)＝f(0＋2)＝f(0)＝2. 答案 2

∵f(x)是 R 上的偶函数，
π ∴f － 3 π ＝ f 3 ＝sin 5π π 3 3 ＝ 2 . 3 ＝ 2 .∴f 3
(2)令
3 x∈2π
，2π
，则
x－2π
π ∈ － 2
所以
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类型三 正、余弦函数奇偶性的判断
【例3】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝
5 2sin2x＋2π ；
(2)f(x)＝ 2sin x－1； (3)f(x)＝lg(sin x＋ 1＋sin2 x)； (4)f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
目标定位 1.了解三角函数的周期性； 2. 会求形如y ＝
Asin(ωx ＋ φ) 的函数的最小正周期； 3. 理解正 ( 余 ) 弦函
数的奇偶性.
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自 主 预 习
1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数 _________ T，使得当x取定义域内 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周期 每一个值 时，都有_____________ 的_________