经济数学基础——微积分课第1章 函数

证略.
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二、常用数集的记号
自然数集 N { 0, 1, 2, 3,, n,}
整数集
Z { 0, 1, 2, 3,, n,}
正整数集 Z { 1, 2, 3,, n,}
p 有理数集 Q { | p N , q Z , 且 p, q 互 素} q
解
(2) | x 1 | 2
(1) | x 1 | 3 3 x 1 3
2 x 1 4 .
3
1 3
3
1
1 3
x
(2) | x 1 | 2 x 1 2 或 x 1 2
x 1 或 x 3
1 2
1
1 2
几何意义：| a |表示数轴上点 a 到原点的距离.
|a|
0 a | a- b |表示数轴上两点 a 和 b 之间的距离.
x
绝对值不等式的解:
| x | a a x a ; | x | a x a 或 x a
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例1 解下列绝对值不等式：
(1) | x 1 | 3
数集{ x | | x a | } 称为点 a 的 邻域 , 记作
U (a , ) ,
a
a
a
x
. 点a称为这邻域的中心, 称为这邻域的半径
U (a , ) { x | a x a } 点 a 的 空心邻域: 记作 U (a , )
x
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绝对值的基本性质：
2 | a | 0 ; | a | | a | ; | a | a ;
| a | a | a |;
| a b | | a | | b |;
| a | | b| | a b|;
a |a| ,b0. | ab | | a | | b | ; | | b |b|
必须满足下述三个关系之一：
（2）实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭 的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。
。
（3）实数的大小关系具有传递性，即若
。
，则有
（4）实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何 ，若 ，则存在正整数 ，使得
nb a
（5）实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另 一个实数，且既有有理数，也有无理数。
8
实数的有序性:
a,b R
a b, a b, a b
实数对四则运算的封闭性:
a,b R
a b, ab, a / b R
实数的稠密性:
a ,b R, a b, c R, a c b
3.实数的绝对值
设 a 为一实数，则其绝对值定义为
a, a0 |a| a , a 0
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三、微积分学的基本结构 比如做家具：
方式一
原料：函数
极限 工具：
方式二
产品一：导数
产品二：积分
3
第一章 函数
4
由于实践和各门科学自身发展的需要， 到了16 世纪， 对物体运动的研究成为自然科学的中心问题. 与之相适应， 数学在经历了两千多年的发展之后进 入了一个新的时代，即变量数学的时代. 作为在运动 中变化的量(变量)及它们之间的依赖关系的反映，数 学中产生了变量和函数的概念. 例如，伽利略发现自由落体下落的距离 s 与经 历的时间 t 的平方成正比，得到著名的公式
1 2 s gt 2
确定了变量 t 与 s 之间的依赖关系，即函数关系， 这就是自由落体运动规律的数学表述.
5
数学的一项重要任务，就是要找出反映各种实 际问题中变量的变化规律，即其中所蕴含的变量之 间的函数关系. 函数是数学中最基本的概念之一，微积分研究 函数的一些局部的和整体的性态. 本章介绍函数的一般概念，几种常用的表示方 式，最基本的函数类——初等函数，函数的性质， 以及经济学中几种常用的函数.
立了微积分，微积分研究的主要对 象就是函数.
1
一、微积分的实际背景
1. 瞬时速度 2. 曲线的切线斜率 3. 曲边图形的面积
二、微积分学的思想方法
运动、变化、发展乃至质变,是微积分的根本思 想方法，但运动、变化的定量刻画却表现在它的反 面，即相对静止之中，也就是说，用定量的方法来 刻画变量的变化.
微积分(Calculus) 是一门以变 量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科，应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题，就产生了积分学. 英国数学家 牛顿 和德国数学家莱布尼兹 同时创
a
a
a
Baidu Nhomakorabea
x
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U (a , ) { x | 0 | x a | }
点a的左 邻域 :
(a , a )
x
a
a
a
点a的右 邻域 :
a
(a , a )
a
a
x
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练习：
P8 习题 一 1.
实数集
R { 全体实数 }
0
数轴
1
x
本书中如无特别说明，均限于实数范围内.
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区间：
闭区间
{ x | a x b} , 记作 [a, b]
o a x
b
开区间 { x | a x b} ， 记作 (a, b) .
o
a
b
x
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左开右闭区间 { x | a x b} , 记作 (a, b]
o
a
b
x
左闭右开区间 { x | a x b} , 记作 [a, b)
o
a
b
x
15
无穷区间
[a, ) { x | x a}
o
a
x
(, b) { x | x b}
(, ) {x | x R}
o o
b
x
x
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邻域： 设a与是两个实数, 且 0.
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第一节
一、实数与实数的绝对值
1.实数的组成
实数
p 有理数: q
其中p,q为整数, q0. 且
正整数 有理数 实数 整数 零 负整数 分数 无理数 (无限不循环小数)
数轴是一条有原点、正方向和单位长度的直线.
1
O
1
2
P
x
7
实数与数轴上的点是一一对应的.
2、实数的性质
（1）实数集是有序的，即任意两数