第二章线性规划模型和图解法全
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求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划模型的图解法
Page 23
可行解：满足约束条件（2）、(3)的解为可行解。所有可 行解的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
最优值：最优解带入目标函数所得的值称为线性规划的最 优值。
c ( x ) 3000 2 x
Page 6
边际成本是指在 c(x) 就是边际成本(Marginal Cost)， 产量变化时，总成本的变化率。
线性规划问题的数学模型
Page 7
易拉罐的设计理念
具体下料--模型的建立
线性规划问题的数学模型
2 线性规划模型的建立
例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使 企业总的利润最大？
设 备 产 品 甲 乙 有效台时 A B C D 利润（元）
Page 8
2
2 12
1
2 8
4
0 16
0
4 12
2
3
线性规划问题的数学模型
解：设x1、x2分别为甲、乙两种产 品的产量，则数学模型为： max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 s.t. 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
线性规划问题的数学模型
6 如何化标准形式 目标函数的转换 如果是求极小值即 则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。
minz c j x j
Page 15
即
z 也就是：令 z ，可得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量 其中： xj , xj 0 ，可令 xj
线性规划模型的图解法
1. 基本概念 线性规划问题
Page 22
max Z c j x j (1)
j 1
n
n a ij x j bi ( i 1,2,, m ) ( 2) s.t j1 x j 0, j 1,2,, n ( 3)
小结
Page 20
学习要点小结： 1.线性规划模型在管理中的应用：生产组织，下料问题 等 2.线性规划模型的构成：目标函数、约束条件； 3.将一般形式转化标准形式：目标函数求最大、最小时；
约束条件变为不等号时；常数项为负时；决策变量无约束 时；
作业
Page 21
作业： 课堂出题练习
思考：
建立模型后怎样进行求解？
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
Page 29
x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
D
max Z
凸集：如果集合C中任何两点连线上所有的点都是集合C 中的点，则称该集合为凸集。
线性规划模型的图解法
Page 24
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点，称C为凸集。
凸集
顶点
凸集
不是凸集
线性规划模型的图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法
Page 25
模型建立练习：P13
线性规划问题的数学模型
4. 线性规划数学模型的一般形式
Page 11
max (min) z 目标函数：
约束条件：
c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1 am1 x1 am 2 x2 amn xn ( ) bm x1 0 xn 0
17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
D
max Z
可行域
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2 （7.6，2）
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
x1
线性规划模型的图解法
max Z=3X1+5.7X2
线性规划问题的数学模型
1 数学模型的提出 例 1.1 某塑料制品公司生产各种各样的塑料 CD 盒， 几种产品可以在同一生产线上制造， 如果有新产品上就需 要对生产线改造。这个成本称为建造成本。有一种 CD 盒 建 造 成 本 为 3000 美 元 ， 这 个 成 本 就 是 固 定 成 本 (Fix Cost )， 如果生产一个 CD 盒劳动力和材料成本为 2 美元。 解 设生产 CD 盒的数量为 x 个，则成本数量模型为：
maxz z c j x j
x j xj xj
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
Page 16
a x
ij
j
bi
a
ij
x j x n i bi
称为松弛变量
x n i 0
a
ij
x j bi
a
ij
x j x n i bi
Chapter2 线性规划模型和图解法
(Linear Programming---LP)
本章主要内容：
LP方法应用的典型情况
LP的数学模型
LP模Fra Baidu bibliotek的图解法
LP问题的计算机求解
Chapter2 线性规划模型和图解法
本章教学目的、重点、难点：
掌握线性规划问题数学模型建立和线性规划模型的特征；
线性规划模型的一般形式及标准形式，解的相关概念；
Page 3
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
LP方法应用的典型情况
2 在管理中一些典型的线性规划应用
Page 4
图解法
单纯形法
两个变量、直角坐标 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
线性规划模型的图解法
Page 26
图解法简单直观，有助于领会线性规划的基本性质及一般 求解方法的基本思想。
s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8
X1 ，X2 ≥ 0
线性规划模型的图解法
max Z = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
Page 28
x2
4 = 2X1 + X2
X1 + 1.9X2 = 10.2(≤) 11 = 2X1 + X2
其中： C (c1 c 2 c n )
a11 a1n A a m 1 a mn
x1 X xn
b1 B bm
线性规划问题的数学模型
5. 线性规划问题的标准形式
Page 14
max Z c j x j
j 1
n
n a ij x j bi s.t j 1 i 1,2,, m x j 0, j 1,2,, n
特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
Page 17
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以 用 x x 替换 x3， 3 3
且 x3 , x3 0
;
线性规划问题的数学模型
Page 18
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式； (3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
掌握两个变量线性规划问题的几何作图求解方法； 掌握两个变量线性规划模型可行域的特点及最优解存在 的位置； 熟悉计算机QM软件求解线性规划问题的步骤。
LP方法应用的典型情况
1. 规划问题阐述 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题：
LP方法应用的典型情况
2 在管理中一些典型的线性规划应用
Page 5
（5）营销管理问题：要从几种媒体中选择一种组合， 使其在广告费用预算条件下广告效益最好。 （6）投资组合问题：选择一组股票或证券进行投资， 使得有最大的回报率。 （7）人力资源管理问题：在不同的时间段需要不同数 量的劳动力，如何安排劳动力才能用最少的劳动力来满 足工作的需要。
称为剩余变量
x n i 0
变量 x j 0 的变换 可令 xj x j ， 显然 x j 0
线性规划问题的数学模型
例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式
min Z 2 x 1 x 2 3 x 3 5 x1 x 2 x 3 7 x1 x 2 4 x 3 2 3 x 1 x 2 2 x 3 5 x1 , x 2 0, x 3 无 约 束
其中： C
(c1 c2 cn )
a1 j Pj a mj
x1 X xn
b1 B bm
线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
Page 13
max(min) Z CX AX ( ) B X 0
（1） 生产的组织与计划问题：合理利用现有的 人
力、物力、财力做出最优产品生产计划。
（2）运输问题：根据生产单位的产量和销售单位的
销量，制订产品调运方案，使得总运费最小。
（3）合理下料问题：如何裁截下料，既满足生产需 要，又使得所用的材料数量最少。 （4） 配料问题：在原料供应量限制和保证产品成分 含量的前提下，获取最优配料方案
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
Page 19
max Z 2 x1 x2 3( x3 x3) 0 x4 0 x5 7 5 x1 x2 ( x3 x3) x4 x x ( x x) x5 2 1 2 3 3 5 x1 x2 2( x3 x3) 5 x1 , x2 , x3 , x3, x4 , x5 0
Page 9
线性规划问题的数学模型
3. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 目标函数 Decision variables Objective function
Page 10
约束条件
Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
简写为：
max (min) Z
c x
j 1 j
n
j
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m) (j 1 2 n)
xj 0
线性规划问题的数学模型
向量形式： max (min) z CX
Page 12
p j x j ( ) B X 0
线性规划模型图解法基本步骤：
Step1：建立坐标系； Step2：图示约束条件； Step3：图示目标函数； Step4：确定最优解；
线性规划模型的图解法
例1.4 用图解法求解线性规划问题 max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8
Page 27
X1 - 1.9X2 ≤ 3.8
线性规划模型的图解法
Page 23
可行解：满足约束条件（2）、(3)的解为可行解。所有可 行解的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
最优值：最优解带入目标函数所得的值称为线性规划的最 优值。
c ( x ) 3000 2 x
Page 6
边际成本是指在 c(x) 就是边际成本(Marginal Cost)， 产量变化时，总成本的变化率。
线性规划问题的数学模型
Page 7
易拉罐的设计理念
具体下料--模型的建立
线性规划问题的数学模型
2 线性规划模型的建立
例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使 企业总的利润最大？
设 备 产 品 甲 乙 有效台时 A B C D 利润（元）
Page 8
2
2 12
1
2 8
4
0 16
0
4 12
2
3
线性规划问题的数学模型
解：设x1、x2分别为甲、乙两种产 品的产量，则数学模型为： max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 s.t. 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
线性规划问题的数学模型
6 如何化标准形式 目标函数的转换 如果是求极小值即 则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。
minz c j x j
Page 15
即
z 也就是：令 z ，可得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量 其中： xj , xj 0 ，可令 xj
线性规划模型的图解法
1. 基本概念 线性规划问题
Page 22
max Z c j x j (1)
j 1
n
n a ij x j bi ( i 1,2,, m ) ( 2) s.t j1 x j 0, j 1,2,, n ( 3)
小结
Page 20
学习要点小结： 1.线性规划模型在管理中的应用：生产组织，下料问题 等 2.线性规划模型的构成：目标函数、约束条件； 3.将一般形式转化标准形式：目标函数求最大、最小时；
约束条件变为不等号时；常数项为负时；决策变量无约束 时；
作业
Page 21
作业： 课堂出题练习
思考：
建立模型后怎样进行求解？
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
Page 29
x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
D
max Z
凸集：如果集合C中任何两点连线上所有的点都是集合C 中的点，则称该集合为凸集。
线性规划模型的图解法
Page 24
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点，称C为凸集。
凸集
顶点
凸集
不是凸集
线性规划模型的图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法
Page 25
模型建立练习：P13
线性规划问题的数学模型
4. 线性规划数学模型的一般形式
Page 11
max (min) z 目标函数：
约束条件：
c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1 am1 x1 am 2 x2 amn xn ( ) bm x1 0 xn 0
17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
D
max Z
可行域
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2 （7.6，2）
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
x1
线性规划模型的图解法
max Z=3X1+5.7X2
线性规划问题的数学模型
1 数学模型的提出 例 1.1 某塑料制品公司生产各种各样的塑料 CD 盒， 几种产品可以在同一生产线上制造， 如果有新产品上就需 要对生产线改造。这个成本称为建造成本。有一种 CD 盒 建 造 成 本 为 3000 美 元 ， 这 个 成 本 就 是 固 定 成 本 (Fix Cost )， 如果生产一个 CD 盒劳动力和材料成本为 2 美元。 解 设生产 CD 盒的数量为 x 个，则成本数量模型为：
maxz z c j x j
x j xj xj
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
Page 16
a x
ij
j
bi
a
ij
x j x n i bi
称为松弛变量
x n i 0
a
ij
x j bi
a
ij
x j x n i bi
Chapter2 线性规划模型和图解法
(Linear Programming---LP)
本章主要内容：
LP方法应用的典型情况
LP的数学模型
LP模Fra Baidu bibliotek的图解法
LP问题的计算机求解
Chapter2 线性规划模型和图解法
本章教学目的、重点、难点：
掌握线性规划问题数学模型建立和线性规划模型的特征；
线性规划模型的一般形式及标准形式，解的相关概念；
Page 3
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
LP方法应用的典型情况
2 在管理中一些典型的线性规划应用
Page 4
图解法
单纯形法
两个变量、直角坐标 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
线性规划模型的图解法
Page 26
图解法简单直观，有助于领会线性规划的基本性质及一般 求解方法的基本思想。
s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8
X1 ，X2 ≥ 0
线性规划模型的图解法
max Z = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
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x2
4 = 2X1 + X2
X1 + 1.9X2 = 10.2(≤) 11 = 2X1 + X2
其中： C (c1 c 2 c n )
a11 a1n A a m 1 a mn
x1 X xn
b1 B bm
线性规划问题的数学模型
5. 线性规划问题的标准形式
Page 14
max Z c j x j
j 1
n
n a ij x j bi s.t j 1 i 1,2,, m x j 0, j 1,2,, n
特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
Page 17
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以 用 x x 替换 x3， 3 3
且 x3 , x3 0
;
线性规划问题的数学模型
Page 18
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式； (3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
掌握两个变量线性规划问题的几何作图求解方法； 掌握两个变量线性规划模型可行域的特点及最优解存在 的位置； 熟悉计算机QM软件求解线性规划问题的步骤。
LP方法应用的典型情况
1. 规划问题阐述 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题：
LP方法应用的典型情况
2 在管理中一些典型的线性规划应用
Page 5
（5）营销管理问题：要从几种媒体中选择一种组合， 使其在广告费用预算条件下广告效益最好。 （6）投资组合问题：选择一组股票或证券进行投资， 使得有最大的回报率。 （7）人力资源管理问题：在不同的时间段需要不同数 量的劳动力，如何安排劳动力才能用最少的劳动力来满 足工作的需要。
称为剩余变量
x n i 0
变量 x j 0 的变换 可令 xj x j ， 显然 x j 0
线性规划问题的数学模型
例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式
min Z 2 x 1 x 2 3 x 3 5 x1 x 2 x 3 7 x1 x 2 4 x 3 2 3 x 1 x 2 2 x 3 5 x1 , x 2 0, x 3 无 约 束
其中： C
(c1 c2 cn )
a1 j Pj a mj
x1 X xn
b1 B bm
线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
Page 13
max(min) Z CX AX ( ) B X 0
（1） 生产的组织与计划问题：合理利用现有的 人
力、物力、财力做出最优产品生产计划。
（2）运输问题：根据生产单位的产量和销售单位的
销量，制订产品调运方案，使得总运费最小。
（3）合理下料问题：如何裁截下料，既满足生产需 要，又使得所用的材料数量最少。 （4） 配料问题：在原料供应量限制和保证产品成分 含量的前提下，获取最优配料方案
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
Page 19
max Z 2 x1 x2 3( x3 x3) 0 x4 0 x5 7 5 x1 x2 ( x3 x3) x4 x x ( x x) x5 2 1 2 3 3 5 x1 x2 2( x3 x3) 5 x1 , x2 , x3 , x3, x4 , x5 0
Page 9
线性规划问题的数学模型
3. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 目标函数 Decision variables Objective function
Page 10
约束条件
Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
简写为：
max (min) Z
c x
j 1 j
n
j
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m) (j 1 2 n)
xj 0
线性规划问题的数学模型
向量形式： max (min) z CX
Page 12
p j x j ( ) B X 0
线性规划模型图解法基本步骤：
Step1：建立坐标系； Step2：图示约束条件； Step3：图示目标函数； Step4：确定最优解；
线性规划模型的图解法
例1.4 用图解法求解线性规划问题 max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8
Page 27
X1 - 1.9X2 ≤ 3.8