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初中数学竞赛教程

七年级

第一讲有理数（一）

一、【能力训练点】

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：

3、有理数的本质定义，能表成m （n 0, m, n互质）。

n

4、性质：①顺序性（可比较大小）；

②四则运算的封闭性（ 0 不作除数）；

③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：

① | a |a(a 0)②非负性 (| a | 0, a

20)

a(a 0)

③非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为 0，则他们都为 0。

二、【典型例题解析】：

1．如果 m 是大于1的有理数，那么 m 一定小于它的（）

A. 相反数

B.倒数

C.绝对值

D.平

方

2.已知两数 a 、b互为相反数， c 、d互为倒数， x 的绝

对值是 2，求x2( a b cd ) x (a b)2006( cd )2007的值。

3.如果在数轴上表示 a 、b两上实数点的位置，如下图所示，那么| a b | | a b |化简的结果等于（）

A.2a

B.2a

C.0

D. 2b

4. 有 3 个有理数 a,b,c ，两两不等，那么a b,b c,c a中

b c c a a b 有几个负数？

5.设三个互不相等的有理数，既可表示为 1，a b, a的

形式式，又可表示为0，b，b的形式，求a2006b2007 。

a

6.三个有理数 a, b, c 的积为负数，和为正数，且

则ax3bx 2cx 1的值是多少？

X abc| ab| | bc| | ac |

| a | |b | | c |ab bc ac

7. 若a, b, c为整数，且| a b |2007| c a |20071，试求| c a | | a b | | b c |的值。

第二讲有理数（二）

一、【能力训练点】：

1、绝对值的几何意义

① | a | | a 0 | 表示数 a 对应的点到原点的距离。②

| a b |表示数 a 、b对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：

1．若 2 a 0 ，化简| a 2 | | a 2 | 2 ．试化简| x 1|| x 2 |

3.若 | x 5 | | x 2| 7，求 x 的取值范围。

4. 已知f (x) | x 1| | x 2 | | x 3| L| x 2002 |求 f ( x) 的最小值。

5．若| a b 1|与( a b 1)2互为相反数，求3a 2b 1的值。

6. 如果

abc 0，求| a| | b| | c|的值。

a b c

7. x是什么样的有理数时| (x 2) ( x 4) | | x 2 | | x 4 | 等式成立？

第三讲有理数（三）

一、【能力训练点】：

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

3、巧算的一般性技巧：

①凑整（凑 0）；② 巧用分配律③去、添括号法则；④ 裂项法

4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：

1．计算：0.7 12 6.6 3 2.270.79 3.37

1173118

2．(111L1)(111L1)(11 1 L 1 )(111L 1 ) 23199623419972319972341996

221321421

L n21

3．计算：S n 2

12

14

2

1n

2

1

23

4. 比较S n 1234n

的大小。24816L2n

与2

5. 计算（1）11111（2）22L

992

428701302081335101

第四讲代数式（一）

一、【能力训练点】：

（1）列代数式；（2）代数式的意义；

（3）代数式的求值（整体代入法）

二、【典型例题解析】：

1.求代数式的值：

（1）已知2a b5，求代数式 2(2 a b) 3(a b) 的值。

a b a b2a b

（2）已知x 2 y25的值是 7，求代数式3x 6y24的值。

（3）已知1

1 3

，求2a2b ab 的值。

b a a b2ab

（4）已知：当x 1时，代数式Px3qx 1的值为 2007，求当x 1 时，代数式Px3qx 1的值。

（5）已知等式(2 A 7B)x (3 A 8B) 8x 10对一切x都成立，求A、B 的值。

（6）已知(1 x)2(1 x) a bx cx2dx3，求a b c d的值。

（7）当多项式m2m 1 0时，求多项式m32m22006的值。

2.已知多项式2y 5x29xy23x 3nxy2my 7 经合并后，不含有 y 的项，求 2m n 的值。

3. 当50 (2a 3b)2达到最大值时，求 1 4a29b2的值。

4. 若a, b, c互异，且x y，求 x y Z 的值。

a b b c c a

5. 已知m2mn 15, mn n2 6 ，求 3m2mn2n2的值。

6. 已知abc 1，求a b c的值。

ab a 1bc b 1ac c 1

7. 已知ab 1，比较 M、N的大小。