分类讨论的原因_方法及应用
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0} , 求 A ∩B .
分析 集合 B 易求 , 集合 A 中含有参数 a , 既要考察不等式是否有解及解的情况 , 又要 考察 A 与 B 的交集 . 解 : B = { x | x 2 - x - 2 < 0 } = { x | - 1 < x < 2} ;
2 2 A = { x | x - ( 2 a + 1) x + a + a - 2 ≤ 0}
x 的系数是 a , 该不等式是二次不等式还是一次不等式由 a 是否为 0 确定 . 对
2
于二次不等式 ( a ≠ 0) , 既要考虑抛物线的开口方向 , 又要考虑 因而要分类讨论 . 解 :原不等式可化为 ax 2 + ( a - 2) x - 2 ≥ 0.
( 1) 当 a = 0 时 , x ≤- 1 . ( 2) 当 a ≠ 0 时 , 原不等式可化为 ( ax - 2) ( x + 1) ≥ 0.
去;
( 3) 当
2
< - 1 , 即 a < - 2 时 , f ( x ) 在 [ - 1 , 1 ]上
要结合其他数学思想方法 ;
( 3) 审题时不仅要重视
是增函数 , f ( - 1) = 1 + a + 3 = - 3 , 所以 a = - 7 . 综上所述 , 实数 a 的值为 ± 7.
( 责任编辑 朱 宁)
f ( x) = xa
2
- 1 ( n = 1) ,
2
+3-
a
2
4
, 由于 a 的值不定 , f ( x ) 在 [ - 1 , 1 ] 上的单调性随之
而定 . 解 : f ( x ) = x 2 - ax + 3 =
a xa
2
2
+3-
a2
4
.
文华点精
> 1 , 即 a > 2 时 , f ( x ) 在 [ - 1 , 1 ] 上是减 2 函数 , f ( 1) = 1 - a + 3 , 故 a = 7 ;
;
② 当 a - 1 < 2 且 a - 1 > - 1 时 , 即 0 < a < 3 , A ∩B = { x | a - 1 ≤x < 2} ; ④ 当 a + 2 > - 1 且 a + 2 < 2 时 , 即 - 3 < a < 0 , A ∩B = { x | - 1 < x ≤a + 2} . 二、 因类型差异引起分类讨论 一次函数 、 二次函数既是高中数学的基本内容 , 又是解决其他问题的基础 . 两项 内容在解题中经常遇到 , 涉及到变量系数的讨论 . 例2 解关于 x 的不等式 ax 2 - 2 ≥ 2 x - ax ( a ∈R) . 分析
明显条件 , 还要仔细发掘隐 含条件及解题中的中间结 论.
S HU L I HUA
( 高中版) / 2004・ 《中学生数理化》 7- 8
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② 当 - 2 < a < 0 时 ,有
2
a
2
a
- ( - 1) =
④ 当 a < - 2 时 ,有 三、 因概念引起分类讨论
- ( - 1) =
( a + 2) 2 > 0 , 原不等式的解为 - 1 ≤x ≤ . a a
例3 已知数列{ an } 的前 n 项和 S n = an - 1 ( a ∈R) , 求数列{ an } 的通项公式 , 并 判断该数列是什么数列 . 解 : ( 1) 当 n = 1 时 , a1 = a - 1及应用
■ 河南 付祥俊
分类讨论就是把某个问题分成几个部分或几种情况进行解答 , 是中学数学的重 要思想方法之一 , 在培养思维品质 , 提高思维能力方面有重要作用 . 这里略举几例 , 从 中探究分类讨论的原因和方法 , 从而悟出分类讨论的实质 . 一、 因大小关系引起分类讨论 大小关系在数学中最常见 , 而有些数学概念 、 公式 、 法则 、 性质等都以大小关系为 基础 , 从而引起分类讨论 . 这类问题常涉及参变数 , 因而要引起我们的注意 . 例1 已知集合 A = { x | x 2 - ( 2 a + 1 ) x + a2 + a - 2 ≤ 0} , B = { x | x 2 - x - 2 <
= { x | [ x - ( a - 1) ][ x - ( a + 2) ] ≤ 0} = { x | a - 1 ≤x ≤a + 2} .
① 当 a- 1≥ 2 或 a + 2 ≤- 1 时 , 即 a ≥ 3 或 a ≤- 3 , A ∩B = ③ 当 a - 1 = - 1 时 , 即 a = 0 , A ∩B = { x | - 1 < x < 2} ;
( 1) 当 ( 2) 当 - 1 ≤ a
分类讨论应用广泛 , 在 此只能挂一漏万 . 但以上内 容说明 :
( 1) 平时重视基础知识
2
≤1 , 即 - 2 ≤a ≤2 时 , f
a
2
=3
-
a
2
4
= - 3 , 所以 a = ± 2 6 , 这与 - 2 ≤a ≤ 2 矛盾 , 舍
a
的学习 , 增强自己捕捉信息 的能力 ; ( 2 ) 应用分类讨论时 ,
2
a
与 - 1 的大小关系 ,
① 当 a > 0 时 ,有 38
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a
> - 1 , 原不等式的解为 x ≤- 1 或 x ≥
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a
;
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解题思想方法
( a + 2) 2 < 0 , 原不等式的解为 ≤x ≤- 1 ; a a ③ 当 a = - 2 时 , 原不等式的解为 x = - 1 ;
( 2) 当 n ≥ 2 时 , an = S n - S n 1
= a n - 1 ( a - 1) .
当 a = 0 时 , an =
该数列既不是等差数列 , 又不是等比数列 ; 0 ( n ≥ 2) , 当 a = 1 时 , an = 0 , 该数列是等差数列 ; 当 a≠ 0且 a≠ 1 时 , an = an - an - 1 该数列是等比数列 . 四、 因性质引起的分类讨论 指 ( 对) 数函数 , 二次函数的单调性时常需要分类讨论 , 这种情况常借助其他数学 思想方法 . 例4 已知函数 f ( x ) = x 2 - ax + 3 在区间 x ∈[ - 1 , 1 ]上的最小值为 - 3 , 求实 数 a 的值 . 分析
分析 集合 B 易求 , 集合 A 中含有参数 a , 既要考察不等式是否有解及解的情况 , 又要 考察 A 与 B 的交集 . 解 : B = { x | x 2 - x - 2 < 0 } = { x | - 1 < x < 2} ;
2 2 A = { x | x - ( 2 a + 1) x + a + a - 2 ≤ 0}
x 的系数是 a , 该不等式是二次不等式还是一次不等式由 a 是否为 0 确定 . 对
2
于二次不等式 ( a ≠ 0) , 既要考虑抛物线的开口方向 , 又要考虑 因而要分类讨论 . 解 :原不等式可化为 ax 2 + ( a - 2) x - 2 ≥ 0.
( 1) 当 a = 0 时 , x ≤- 1 . ( 2) 当 a ≠ 0 时 , 原不等式可化为 ( ax - 2) ( x + 1) ≥ 0.
去;
( 3) 当
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< - 1 , 即 a < - 2 时 , f ( x ) 在 [ - 1 , 1 ]上
要结合其他数学思想方法 ;
( 3) 审题时不仅要重视
是增函数 , f ( - 1) = 1 + a + 3 = - 3 , 所以 a = - 7 . 综上所述 , 实数 a 的值为 ± 7.
( 责任编辑 朱 宁)
f ( x) = xa
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- 1 ( n = 1) ,
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+3-
a
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, 由于 a 的值不定 , f ( x ) 在 [ - 1 , 1 ] 上的单调性随之
而定 . 解 : f ( x ) = x 2 - ax + 3 =
a xa
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+3-
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文华点精
> 1 , 即 a > 2 时 , f ( x ) 在 [ - 1 , 1 ] 上是减 2 函数 , f ( 1) = 1 - a + 3 , 故 a = 7 ;
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② 当 a - 1 < 2 且 a - 1 > - 1 时 , 即 0 < a < 3 , A ∩B = { x | a - 1 ≤x < 2} ; ④ 当 a + 2 > - 1 且 a + 2 < 2 时 , 即 - 3 < a < 0 , A ∩B = { x | - 1 < x ≤a + 2} . 二、 因类型差异引起分类讨论 一次函数 、 二次函数既是高中数学的基本内容 , 又是解决其他问题的基础 . 两项 内容在解题中经常遇到 , 涉及到变量系数的讨论 . 例2 解关于 x 的不等式 ax 2 - 2 ≥ 2 x - ax ( a ∈R) . 分析
明显条件 , 还要仔细发掘隐 含条件及解题中的中间结 论.
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② 当 - 2 < a < 0 时 ,有
2
a
2
a
- ( - 1) =
④ 当 a < - 2 时 ,有 三、 因概念引起分类讨论
- ( - 1) =
( a + 2) 2 > 0 , 原不等式的解为 - 1 ≤x ≤ . a a
例3 已知数列{ an } 的前 n 项和 S n = an - 1 ( a ∈R) , 求数列{ an } 的通项公式 , 并 判断该数列是什么数列 . 解 : ( 1) 当 n = 1 时 , a1 = a - 1及应用
■ 河南 付祥俊
分类讨论就是把某个问题分成几个部分或几种情况进行解答 , 是中学数学的重 要思想方法之一 , 在培养思维品质 , 提高思维能力方面有重要作用 . 这里略举几例 , 从 中探究分类讨论的原因和方法 , 从而悟出分类讨论的实质 . 一、 因大小关系引起分类讨论 大小关系在数学中最常见 , 而有些数学概念 、 公式 、 法则 、 性质等都以大小关系为 基础 , 从而引起分类讨论 . 这类问题常涉及参变数 , 因而要引起我们的注意 . 例1 已知集合 A = { x | x 2 - ( 2 a + 1 ) x + a2 + a - 2 ≤ 0} , B = { x | x 2 - x - 2 <
= { x | [ x - ( a - 1) ][ x - ( a + 2) ] ≤ 0} = { x | a - 1 ≤x ≤a + 2} .
① 当 a- 1≥ 2 或 a + 2 ≤- 1 时 , 即 a ≥ 3 或 a ≤- 3 , A ∩B = ③ 当 a - 1 = - 1 时 , 即 a = 0 , A ∩B = { x | - 1 < x < 2} ;
( 1) 当 ( 2) 当 - 1 ≤ a
分类讨论应用广泛 , 在 此只能挂一漏万 . 但以上内 容说明 :
( 1) 平时重视基础知识
2
≤1 , 即 - 2 ≤a ≤2 时 , f
a
2
=3
-
a
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= - 3 , 所以 a = ± 2 6 , 这与 - 2 ≤a ≤ 2 矛盾 , 舍
a
的学习 , 增强自己捕捉信息 的能力 ; ( 2 ) 应用分类讨论时 ,
2
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与 - 1 的大小关系 ,
① 当 a > 0 时 ,有 38
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> - 1 , 原不等式的解为 x ≤- 1 或 x ≥
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a
;
( 高中版) / 2004・ 《中学生数理化》 7- 8
XS SL H
解题思想方法
( a + 2) 2 < 0 , 原不等式的解为 ≤x ≤- 1 ; a a ③ 当 a = - 2 时 , 原不等式的解为 x = - 1 ;
( 2) 当 n ≥ 2 时 , an = S n - S n 1
= a n - 1 ( a - 1) .
当 a = 0 时 , an =
该数列既不是等差数列 , 又不是等比数列 ; 0 ( n ≥ 2) , 当 a = 1 时 , an = 0 , 该数列是等差数列 ; 当 a≠ 0且 a≠ 1 时 , an = an - an - 1 该数列是等比数列 . 四、 因性质引起的分类讨论 指 ( 对) 数函数 , 二次函数的单调性时常需要分类讨论 , 这种情况常借助其他数学 思想方法 . 例4 已知函数 f ( x ) = x 2 - ax + 3 在区间 x ∈[ - 1 , 1 ]上的最小值为 - 3 , 求实 数 a 的值 . 分析