压缩映射原理及其应用

定理1 （压缩映射原理）设X是完备的度量空间，T是X上的压 缩映射，那么T有且只有一个不动点（也就是说，方程 x=x ， 有且只有一个解）。 ，xn =Txn-1 =Tn x0， 。 证明：设是X中任意一点。令 x1 =Tx0，x2 =Tx1 =T2x0， 我们证明 xn点列是 X中柯西点列，事实上，
m m 1 n 1 d x0 , x1
1 nm d x0 , x1 1
m
因0＜＜1，所以1
nm
m d xm , xn d x0 , x1 （n＞m） （3） 1 所以当m , n 时，d xm , xn 0 ，即x 是X中柯西点列，由X 完备，存在 x X ，使 xm x m ，又由三点不等式和条件
n
＜1，于是得到
（1），我们有
d x, Tx d x, xm d xm , Tx d x, xm d xm1, x
上面不等式右端当m 时趋向于0，所以 d x, Tx 0 ，即 x Tx 。 X ，使 Tx x ，则由条件（1）， 下证唯一性。如果又有 x
0 ，即 x x 。证毕。 因 ＜1，所以必须 d x, x 压缩映射原理在分析、微分方程、积分方程、代数方程解的 存在和唯一性定理证明中起了重要作用。下文介绍隐函数存在定 理以及常微分方程解的存在性和唯一性定理（Picard）。
d Tx,Tx d x, x d x, x
§6 压缩映射原理及其应用wk.baidu.com
Banach空间的压缩映射原理是完备度量空间概念 的应用，它有助于证明微分方程、代数方程、积分 方程等问题中许多关于存在唯一性的定理。 定义1 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存 ，0＜＜1，使得对所有的x，y∈X，成立 在一个数 d（Tx，Ty）≤ d（x，y）， （1） 则称T是压缩映射。 压缩映射在几何上的意思是说点x和y经T映射后， ＜ 它们像的距离缩短了，不超过d（x，y）的 倍（ 1）。
1 f x, x 。按照定理条件，f x, y M
a x b, -∞＜y＜∞
现证A是压缩映射。任取 1，2 C a, b ，根据微分中值定理，存 在0＜ ＜1，满足 A2 x A1 x = =
2 x
2 x 1 x
定理3（Picard）设 f t , x 是矩形 D = t , x t t0 a, x x0 b 上的二元连续函数，设 f t , x M , t , x D，又 f t , x 在D上关 于x满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对任意的 t, x , t, v ， D 有 f t, x f t, v K x v ， 那么方程 dx f t , x 在区间 J = t0 , t0 上有唯一的满足初
定理2 设函数 f x, y 在带状域
中处处连续，且处处有关于y的偏导数 f y x, y 。如果还存在常 数m和M，满足 0＜m≤ f y x, y ≤M，m＜M。 则方程 f x, y =0在区间 a, b上必有唯一的连续函数 y= x 作 为解： f x, x 0, x a, b 。 证 在完备空间 C a, b 中作映射A，使对任意的函数 C a, b， 有 A x x 是连续的， 故 A x 也连续，即 A C a, b。所以A是 C a, b 到自身的映 射。
d x m+1，xm d Txm , Txm1 d x m，xm1
d Txm1,Txm2 2d xm-1，xm2
md x1，x0
（2）
由三点不等式，当n＞m时，
。 。
d xm , xn d xm , xm 1 d xm 1 , xm 2 d xn _1 , xn
dt
值条件 x t0 x0 的连续函数解，其中
b 1 a, , . ＜min M K 压缩映射原理不仅证明了方程 Tx x解的存在性和唯一性，
而且也提供了求解的方法——逐次逼近法，即只要任 xn 。如果在（3）中， 取 x0 X ，令 xn T n x0 ，则解 x lim n 令 n ，则有 m （4） d xm , x d x0 , x1
，则有0＜＜1，且
A 2 x A1 x 2 x 1 x
d A2 , A1 d 2 ,1 。
按 C a, b 中距离的定义，即知
因此，A是压缩映射。由定理1，存在唯一的 C a, b 满 1 足 A = ，即 x x f x, x ，这就是说 M f x, x 0, a x b 定理证毕。
1
（4）式给出了用逼近解x的误差估计式。
1 1 f x, 2 x 1 x f x, 1 x M M
m m 由于0＜ ＜1，所以令 = 1 M M
m 2 x 1 x 1 M
1 f y x, 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x M