导数在经济学中的应用

导数与微分在经济中的简单应用

一、边际和弹性

（一）边际与边际分析

边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。

1、总成本、平均成本、边际成本

总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。

不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。

平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：

x

x c x x c ∆-∆+)

()(00

称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。

而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。 例1，设有某种商品的成本函数为：

x x x c 30135000)(++=

其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：

（元）

1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）

（元/27400

10800

)

(400

==

=x x

x c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：

4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c

728.1350

4

.686)

()(500

400

==

∆∆+=∆∆=∆=x x x

x x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。

类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：

7495.13)400()401()(=-=∆c c x c

7495.131

7495

.13)(1

400=∆∆=∆=x x x x c

表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。

产量由400吨减少1吨，即x ∆=-1时，总成本的变化为：

7505.13)400()399()(-=-=∆c c x c

表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。

在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x 0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x 0时的边际成本。即：

x

x c x x c ∆-∆+=

)

()(00边际成本

其中x ∆=1或x ∆=-1。

由例1的计算可知，在产量x 0=400吨时，增加1吨)1(=∆x 的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨)1(-=∆x 的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x 0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。

注意到总成本函数中自变量x 的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x 是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x 看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。

事实上，如果总成本函数c (x )是可导函数，则有：

x

x c x x c x c x ∆-∆+='→∆)

()(lim

)(0000

由极限存在与无穷小量的关系可知：

a x c x

x c x x c +'=∆-∆+)()

()(000 （1）

其中0lim 0

=→∆x α，当x ∆很小时有：

)()

()(000x c x

x c x x c '≈∆-∆+ （2）

产品的增加x ∆=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当x ∆=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x 0处的导数近似地代替产量为x 0时的边际成本。如在例1中，产

量x 0=400时的边际成本近似地为)(0x c '，即：

75.131513)()(400400

400=⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛+==

'===x x x x dx

x dc x c 误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导数如果存在就是唯一确定的。因此，现代经济学把边际成本定义为总成本函数c (x )在x 0处的导数，这样不仅克服了定义1边际成本不唯一的缺点，也使边际成本的计算更为简便。

定义2：设总成本函数c (x )为一可导函数，称

x

x c x x c x c x ∆-∆+='→∆)()(lim

)(0000

为产量是x 0时的边际成本。

其经济意义是：)(0x c '近似地等于产量为x 0时再增加（减少）一个单位产品所增加（减少）的总成本。 若成本函数c (x )在区间I 内可导，则)(x c '为c (x )在区间I 内的边际成本函数，产量为x 0时的边际)(0x c '为边际成本函数)(x c '在x 0处的函数值。

例2：已知某商品的成本函数为：

24

1

100)(Q Q c += （Q 表示产量）

求：（1）当Q =10时的平均成本及Q 为多少时，平均成本最小？ （2）Q =10时的边际成本并解释其经济意义。 解：（1）由2

4

1100)(Q Q c +

=得平均成本函数为： Q Q Q Q Q Q c 4

110041100)(2

+=+= 当Q =10时：

5.12104

110100)(10=⨯+==Q Q Q c

记Q Q c c )(=

，则32200

41

100Q

c Q

c =

''+-=' 令0='c 得：Q =20

Q =20时，平均成本最小。 这个不能省去的，见课本P155（第二充分条件） （2）由2

4

1100)(Q Q c +

=得边际成本函数为：