运城学院数学分析期末试题3-17

运城学院应用数学系

2012—2013学年第一学期期末考试

数学分析Ⅲ试题（B ）

适用范围：数学与应用数学专业 1101/02班 命题人：王文娟

审核人：

一、填空题（每空2分，共20分）

1. 函数 ()

22tan ),(y x y x f += 的间断点集是 . 2. 设sin z uv t =+，而t

u e =，cos v t =，则全导数

dz

dt

=__________. 3．若函数2

3

2z x xy y =--，则2z

x y

∂=∂∂_________.

4. 函数),(y x f y x 2sin +=在点（0，2）处沿 方向的方向导数取最大值，最大值为 .

5. =++⎰

→dx x 1

2

2

011lim

α

α____________ .

6. 求函数1

220

()ln()(0)F y x y dx y =

+>⎰

的导数___________.

7. 设有一平面薄片（不计其厚度）占有xoy 面上的闭区域D ，它在点(x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 这里ρ(x , y )>0且在D 上连续. 试用二重积分表达该薄片的质量M = . 8. L 是按逆时针方向绕行的圆周1)1()1(22=-+-y x ，则

=+-⎰L y x ydx

xdy 22 .

9. 抛物面22

2

y x z +=在点()3,1,2法线方程为 . 二、选择题（每题2分，共20分）

1. 设()f x 是周期为2π的函数，()f x 在(],ππ-上的表达式为0,[,0)

(),[0,)x

x f x e x ππ∈-⎧=⎨∈⎩

()s x 为()f x 的傅里叶级数的和函数，则(0)s =( ) .

A ．1

B ．0

C ．

31 D ．2

1 2. 函数()22

,x y x y f x y x y

-++=+在()0,0点的极限（ ）.

A ．不存在

B ．存在，不唯一

C ．0

D ．不能确定

3.设函数⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=0),( 00),( ),(2

2y x y x y x xy

y x f 则在)0,0(点关于),(y x f 叙述正确的是

（ ）.

A. 连续且偏导存在

B. 不连续但偏导存在

C. 连续但偏导不存在

D. 不连续偏导也不存在 4. 设函数),(y x f 在),(00y x 处偏导数存在，则=),(00y x f x （ ）. A ．0

lim

→∆x x y x f y x x f ∆-∆+)

,(),(0000 B.0lim →∆x x y x f y x x f ∆-∆+),(),(00

C ．0

lim

→∆x x y x f y x x f ∆-∆+)

,(),( D ．0lim x ∆→x

x f x x f ∆-∆+)()(00

5. 设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，若),(y x f z =在),(00y x 可微，则在

),(00y x 处 （ ）.

A ．dz z =∆ B. y f x f z y x ∆+∆=∆ C ．dy f dx f z y x +=∆ D ． )(ρο+=∆dz z 6.设(,,)u f x xy xyz =，则u

x

∂∂=（ ）. A ．'

'

'

123f xf yzf ++

B. '

'

'

123f yf yzf ++

C ． '

'

23xf xzf + D ． '

3xyf 7.设2

2

{(,)|4,0}D x y x y y =+≤>，则

⎰⎰D

dxdy =（ ）.

A ．π16 B.π4 C ．π8 D ．π2 8.交换二次积分的次序

1

20

(,)y

dy f x y dx ⎰

⎰

=（ ）.

A ．

1200(,)y

dx f x y dy ⎰⎰ B.

2

20

0(,)y

dx f x y dy ⎰

⎰

C ． 210

2

(,)x dx f x y dy ⎰⎰

D ．

11

2

(,)x dx f x y dy ⎰⎰

9.设G 是一个单连通区域，),(y x P 与),(y x Q 在区域G 内具有一阶连续偏导数，则

x

Q x P ∂∂=∂∂是⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关的（ ）. A ．充分条件 B.必要条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件 10. 设Ω是由平面01=-++z y x 及坐标面所围成的区域,则三重积分，=⎰⎰⎰Ω

dxdydz

( ) . A ．

81 B.61 C ．3

1 D ．

2

1

三、解答题（每题6分，共18分）

1．把x x f =)(在区间(0,2)内展成正弦级数.

2．求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0

45320

3222z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线及法平面方程.

3．求

⎰⎰+-D

y

x y x dxdy e

，其中D 是由1,0,0=+==y x y x 所围区域.

四、应用题（每题7分，共35分）

1．在椭圆cos ,sin x a t y b t ==上每一点M 都有作用力F

，其大小等于从点M 到椭圆

中心的距离，而方向朝着椭圆中心．计算当质量为m 的质点P 沿椭圆位于第一象限中的

弧逆时针移动时力F

所做的功.

2．形状为椭球2

2

2

4416x y z ++≤的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热，1小时后在探测器的点(,,)x y z 处的温度2

8416600T x yz z =+-+，求探测器表面最热的