高等光学教程-第2章参考答案要点

第二章 干涉理论基础和干涉仪
2.1用迈克耳逊干涉仪进行精密测长，光源波长为633nm ，其谱线宽度为104-nm ，光电接收元件的灵敏度可达1/10个条纹，问这台仪器测长精度是多少？一次测长量程是多少？ 解答：设测长精度为l δ，则l δ由探测器接受灵敏度10λδ=N 所决定，N l δδ=2
∴ m 032.02
μδδ≈=
N
l （32nm ）
一次测长量程M l 由相干长度c l 所决定，c M l l =2
∴ m l l c M
221212
≈∆==λ
λ
2.2 雨过天晴，马路边上的积水上有油膜，太阳光照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色，
解释为什么油膜较厚时彩色消失。

解答：太阳光是一多色光，相干长度较小。

当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超
过了入射光的相干长度，因而干涉条纹消失。

2.3计算下列光的相干长度
(1)高压汞灯的绿线，546.15nm nm λλ=∆=
(2)HeNe 激光器发出的光，6331nm MHz λν=∆=
解答：计算相干长度
（1） m 6.592
μλλ≈∆=c L
（2） 300m c c
L ν
=≈∆
2.4在杨氏双缝实验中
（1）若以一单色线光源照明，设线光源平行于狭缝，光在通过狭缝以后光强之比为1:2，求产生的干涉条纹可见度。

（2）若以直径为0.1mm 的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm ，双缝必须与灯丝相距多远？设λ=550nm
解答：（1） δcos 2220000I I I I I ⋅++= V ∴=
（2）由(2-104)式 d
b
P λ=
0 λ
dP b =
∴ 182.0>b M
2.5图p2-5所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为p ，光源波长为5893
A ，针孔P 1、P 2大小相同，相距为d ，Z 0=1m ， Z 1=1m
（1）当两孔P 1、P 2相距d=2mm 时，计算光源的宽度由p =0增大到0.1mm 时观察屏上可见度变化范围。

（2）设p=0.2mm ，Z 0、Z 1不变，改变P 1P 2之间的孔距d ，当可见度第一次为0时 d=? （3）仍设p=0.2mm ，若d=3mm ， 01Z m =.求0∑面上z 轴附近的可见度函数。

图p2-5
解答：（1）由(2-106)式 000
sin sin 0.82pd Z
pd V c pd Z Z πλπλλ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
=
=≈
（2）由(2-107)式 0 2.95Z d p
λ
=
≈mm （3） 30
1076.419
.319
.3sin sin
-⨯≈=
=
Z pd Z pd V λπλπ
2.6 有两束振幅相等的平行光，设它们相干，在原点处这两束光的初相位02010==δδ，
偏振方向均垂直于xoy 平面，这两束光的入射方向与x 轴的夹角大小相等（如图p2-6所示），对称地斜射在记录面yoz 上，光波波长为633nm 。

(1) 作出yoz 平面，并在该平面上大致画出干涉条纹的形状，画三条即可。

(2) 当两束光的夹角 10和 30时，求yoz 平面上干涉条纹的间距和空间频率。

(3) 设置于yoz 平面上记录面感光物质的空间分辨率为2000条/mm ，若要记录干涉条
纹，问上述相干涉的两束光波波矢方向的夹角α最大不能超过多少度。

图p2-6-1
解答：参考教材(2-31)式，干涉条纹的间距
θ
λ
sin 2=
d
（1） 在yoz 平面上干涉条纹的大致形状如图p2-6-2所示。

图p2-6-2
（2）两光束夹角0
110α=时， 51=θ，
11
0.633m 3.63m 2sin 2sin5d λ
μμθ=
=
≈ ， 11
1
276f d =≈条/mm
两光束夹角0
230α=时， 215θ=，
22
0.633m 1.22m 2sin 2sin15d λ
μμθ=
=
≈ ， 22
1
820f d =≈条/mm
（3） 由
120002sin 2
mm λα=
和633nm λ=计算得到0
78.5α≈ 2.7如图p2-7所示，三束相干平行光传播方向均与xz 平面平行，与z 轴夹角分别为θ、0、θ-。

光波波长为λ，振幅之比1:2:1::321=A A A 。

设它们的偏振方向均垂直于xz 平面，在原点o 处的初相位0302010===δδδ。

求在0=z 的平面上 (1) 合成振幅分布
(2) 光强分布 (3) 条纹间距
图p2-7
解答：
（1）三束光在xoy 平面上的复振幅分布分别为
)
sin exp(),(2),()sin exp(),(321θθjkx A y x A
y x jkx A y x -===U U U
总的复振幅分布
[])sin cos(12),(321θkx A y x +=++=U U U U
（2）在xoy 平面上光强分布
[]222
)sin cos(14)
,(),(θkx A y x y x I +==U
（3）条纹间距 θ
π
sin 2k x =
∆ 2.8 如图p2-8所示，S 为一单色点光源，P 1、P 2为大小相同的小孔，孔径间距为d ，透镜的半径为a ，焦距为f ，P 1、P 2关于z 轴对称。

（1）若在观察平面∑上看到干涉条纹，条纹的形状和间距如何？
（2）当观察屏∑的位置由Z=0开始增大时，求∑面上观察到的条纹横向总宽度，讨论条纹总数与Z 的关系。

图p2-8-1
解答：
图p2-8-2
由P 1P 2点发出的光波经透镜后变成两束平行光，设这两束光与z 轴的夹角大小为θ，两束光重叠区域z 坐标的最大值为0Z 。

当观察屏∑由0=z 开始向右移动时屏上干涉区域的横向宽度为X ∆。

（1） 2
/122
)
4(sin f d d +=θ
条纹垂直于纸面，间距
2/122)4(2sin 2f d d
l +=
=
∆λ
θλ
（2）
d af f
d a
a Z 22tg 0===
θ
增至0z Z ≥时条纹消失，由
00
1
2X Z z
a Z ∆-= 当0<z <0Z 时，条纹的总宽度 002()2Z z a d
X a z Z f
-∆=
=-
条纹总数 22221/224(4)2d a z X f
N l f d f
d f d
λλ-
∆=
==
∆++ 2.9 在图P2-9所示的维纳驻波实验中，设光不是垂直入射而是以 45角入射。

对于以下两种情况，求电能密度的时间平均值
(1) 入射光的偏振方向垂直于入射面； (2) 入射光的偏振方向平行于入射面；
(3) 以上两种情形中那一种会使感光乳胶在曝光、显影后得到明暗相间的条纹。

当图中乳胶膜与镜M 成α角时，求乳胶膜F 上条纹的间距。

图p2-9 维纳驻波实验
解答：
（1）入射光的偏振方向垂直于入射面时0)(//
0=i E ，在入射角
45=θ时由（2-41）式给出 0
222exp 22sin 20)
(0=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
=⊥
z i y x E kx t j kz E E E πω
所以电矢量的振幅以及电能密度的时间平均值沿z 方向是周期变化的。

由（1-81）式，电能
密度的时间平均值
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⋅=⋅=⊥
kz E n n i 22sin )Re(4
)Re(4122
)(020*20*
εεωE E D E
结果与坐标z 有关，与坐标x 、y 无关。

（2）入射光的偏振方向平行于入射面时，0)(0=⊥i E ，在入射角
45=θ时，由（2-41）式给
出
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
--⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=kx t j kz E E E kx t j kz E E i z y i x 22exp 22cos 20
222exp 22sin 2)(//0)
(//
0ωπω
由（1-81）式电能密度的时间平均值
2
)(//
020*
*20*20*2
)(4)Re(4)Re(41i z z x x E n E E E E n n εεεω=+=⋅=⋅=E E D E
经时间平均后电能密度与z 无关。

（3）比较以上结果，当入射光的偏振方向平行于入射面时，ω与z 无关因而感光乳胶在曝光、显影后变黑是均匀的。

当入射光的偏振方向垂直于入射面时，ω与z 有关，与x 、y 无关，在照像底片上能够得到明暗相间的条纹。

干涉条纹的间距 λθλ
2
2
sin 2=
=
d
考虑到乳胶膜与镜M 成α角，在乳胶膜上得到的条纹的间距
α
λ
αsin 22sin =
=
d D
2.10 在杨氏实验中光源为一双谱线点光源，发出波长为1λ和2λ的光，光强均为I 0，双孔距离为d ，孔所在的屏与观察屏的距离为D ，求： （1）观察屏上条纹的可见度函数。

（2）在可见度变化的一个周期中干涉条纹变化的次数。

（3）设1λ=5890
A ，2λ=5896
A ,d=2mm,D=50cm,求条纹第一次取极小值及可见度函数第一次为0时在观察屏上的位置。

解答：
（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x D d I x I 1012cos 12)(λπ ， ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=x D d I x I 2022cos 12)(λπ ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
∆+=+=x D d k x D d k I x I x I x I cos cos 14)()()(021
其中 1
12λπ
=
k ， 2
22λπ
=
k
图p2.10
212k k k +≈以及21k k k -=∆，)(x I 表达式中有一个函数⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
∆x D d k x D d k cos cos ，它是周
期函数⎪⎭⎫ ⎝⎛D kdx cos 被一个⎪⎭
⎫
⎝⎛∆x D
kd
cos 的振幅包络所调制的结果(见图P2-10)， 条纹的可见度 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∆=x D d k x V cos )(
（2）可见度变化周期 d D
k D d k l T ∆=
∆=
ππ
条纹间距为 d D
k D
d k l ππ22=
=∆ 在可见度变化的一个周期中明暗的变化次数为N ，则有
λλ
ππ∆=∆=∆=∆=
222)(k k kd
D kd D
l
x l N T 式中 12λλλ-= （N
2λ
λ=∆）
（3）由2
π
=∆x D d k
，得 23.482≅∆=
k
d D
x πmm （可见度函数第一次为0）
由2
π
=x D d k
，得 492D
x m dk
πμ=
≅ （条纹第一次消失）
2.11 光源的光谱分布规律如图p2-11所示，图中以波数k 作为横轴，波数的中心值为0k 在光谱宽度k ∆范围内F(k )不变，将
从光源来的光分成强度相等的两束，设这两束光再度 相遇时的偏振方向相同，光程差为S ∆，试求：
（1）两光束干涉后所得光强的表达式I(S ∆) （2）干涉条纹的对比度V()S ∆
（3）对比度V 的第一个零点所对应的S ∆=？
图p2-11
解答：两束光的每一束在dk 范围内光的强度为
k
dk
I I I ∆=
=2021
， S k ∆=δ （1） )cos 1(22cos 2)(02121S k k
dk
I I I I I x dI ∆+∆=++=δ
∴ ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎪⎭⎫
⎝⎛∆∆+=∆+∆=
⎰
∆+∆-S k S k S k I S k k dk I x I k k k k 00220cos 22sin 1)cos 1()(00 （2）可见度 0k k <<∆ sin 2()2k S V k S ∆∆⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴∆=∆∆
（3）第一个零点处0)2sin(=∆∆k ，由这一关系式得到λ
λ∆=∆2
||S
2.12 如图p2-12所示，一辐射波长范围为λ∆、中心波长为λ的准单色点光源S 置于z 轴上，与透镜L a 相距a f （a f 为L a 的焦距）在与z 轴相垂直的屏∑0上有两个长狭缝S 1、S 2，它们垂直于纸面对称放置，透镜L b 紧靠在∑0在L b 的后焦∑面上观察干涉条纹，当X 由0增大时求条纹第一个零点所对应的X 值。

图p2-12-1
解答：
图p2-12-1
方法一 c L d =θsin ， λ
λθ∆=2
d
∴ λ
λθ∆=d 2
， λλθ∆==d f f X b b 2
方法二 θd S ≅∆ 即 222
d k S πθλπ⎛⎫
∆ ⎪∆∆⎝⎭== ，∴λλθ∆=2d ，
b X f θ=2b
f d λλ
=∆
2.13 图p2-13所示是一个由光波导制成的马赫—曾特尔干涉仪。

它由三个部分组成：第I
部分是对输入信号进行分路的耦合器，耦合器的长度为d ；第II 部分是长度相差L ∆的
两条波导，它们的折射率eff n n n ==21；第III 部分与第I 部分的结构和功能相同，也是一个耦合器，其作用是将信号进行复合。

以下讨论中不计光在波导中的传输损耗。

耦合区长度为d 的耦合器传输矩阵为
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=d d j d j d
M coupler κκκκcos sin sin cos
式中κ为常数。

图p2-13中第II 部分的传输矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=2exp 002exp II L jk L jk M (1) 若I 、III 部分的耦合器对每一路输入信号均具有分束并平分功率的功能，试证明它的传输矩阵为 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=
1121j j M (2) 设频率ν附近有频率相差ν∆（νν<<∆）的两个单色光信号1,in E 、2,in E 分别从图p2-13
中左端的两个入口处输入，在进入端口时它们的初始相位相同。

若要全部光功率只在右端
的同一个端口，如端口2探测到，求干涉仪两臂差应满足的条件。

图p2-13
2.13解（1）对于一个平分功率的3dB 耦合器来说，传输矩阵coupler M 中4
π
κ=
d ，因此有
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
1121coupler j j M （2）两个臂的输出光场out,1E 和out,2E 与输入场in,1E 和in,2E 的关系为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,in 1,in 2,out 1,out E E M E E （P2.13-1）
式中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⋅⋅=2sin 2cos 2cos 2sin 2221
1211
L k L k L k L k j M M M M M M M M coupler coupler （P2.13-2）
图P2-13所示的结构就构成了一个复用器，设波长为1λ的光从1,in E 处注入，波长为2λ的光从2,in E 处注入。

利用（P2.13-1）式得到输出场out,1E 和out,2E 分别是两个输入场单独分布时的总和：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=2cos )(2sin )(222,in 111,in 1,out L k E L k E j E λλ （P2.13-3a ）
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=2sin )(2cos )(222,in 111,in 2,out L k E L k E j E λλ （P2.13-3b ）
式中j eff j n k π2=，（2 , 1=j ）。

输出光功率
2,in 221,in 122
out,1
out,12cos 2sin P L k P L k E P ⎪⎭⎫
⎝⎛∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆== （P2.13-4a ）
2,in 221,in 122
out,2
out,22sin 2cos P L k P L k E P ⎪⎭
⎫
⎝⎛∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆== （P2.13-4b ）
式中2,in ,in j j E P =，（2 , 1=j ）。

在推导以上两式时，由于交叉项的频率是光载波频率的两倍，光探测器不能响应，因而在式中没有写出该项。

由以上两式可以看出，若要全部光功率只在右端的同一个端口如端口2探测到，需要有π=∆21L k 及π=∆22L k ，或者
πλλπ=∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∆-L n L k k 21eff 21112)( （P2.13-5） 因此干涉仪两臂的长度差应满足
νλλ∆=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆-eff 121eff 2112n c n L （P2.13-6）
式中ν∆是由端口入射的两光波之间的频率差。

2.14 一直径为1cm 单色扩展圆形面发光光源，面上各面元发出的光波相互独立，如果用干涉孔径角来量度的话，其空间相干范围是多少弧度？如果用相干面积量度, 求离光源1m 远处的相干面积有多大？10m 远处的相干面积有多大？ 设光源波长0.55m λμ=。

解答：光源线度1=P cm ，由(2-119)式，d A λθ=，对于角直径为θ的均匀圆盘光源
22.1=A ∴ d λθ22.1= p b
θ= ∴ 1.22p b d λ= 51.22 1.220.550.6710rad 1cm
d m b p λμα-⨯≅==≈⨯ 相干面积计算的准则，参考(2-109)式所下的定义，由
00P b
d d b
P λλ=→= ∴ 20222P b d λ=
在近似估计时所采用将线度平方的方法，根据这一方法，对于圆形光源由
222)22.1(22.1P b d P b d λλ=→= ∴ 2
(1.22)4c s b A A λπ≈⨯ 当1=b m 时， 924.510c A m -≈⨯
当10=b m 时 724.510c A m -≈⨯
2.15 (1)什么是定域条纹，什么是非定域条纹。

(2)结合图2-30说明对于一个楔角很小的平面劈如何确定以S 为中心的扩展光源产生的定域条纹的位置。

(3)在图2-32所示的情形中，若入射的平行光垂直于劈角0≠α的尖劈表面，问干涉条纹定域在什么位置。

提示：（1）参考教材§2-6中有关部分。

（2）参考教材§2-6中图2-30及其说明（3）定域在尖劈的上表面。