常数项级数的概念

数的余项. 用近似值 sn 代替和 s 所产生的误差是| rn | .

注 2: 级数与数列极限有着紧密的联系.给定级数 ui , i 1 n 就有部分和数列{sn ui} ; 反之,给定数列{sn} , i 1
就有以{sn} 为部分和数列的级数:


s1 (s2 s1) (si si1) s1 (si si1) ui ,
当 q 1 时,
sn

a 1 q

aqn 1 q
lim qn
n
0,
从而
lim
n
sn
a 1 q
, 这时级数收敛.
当
q
1 时, lim qn n


,从而
lim
n
sn
,这时级数发散.
当q
1 时, sn

na ,
lim
n
sn

, 这时级数发散.

当 q 1 时,级数 aqi 成为 a a a a , i0
级数 ui 的前 n 项的和 sn u1 u2 un ui ,
i 1
i 1


称为级数 ui 的部分和. 级数 ui 的部分和数列 sn
i 1
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , ,
sn u1 u2 un , .
A a1 a2
an
A

lim
n
a1

a2

an
定义： 如果给定一个数列
u1 , u2 , u3 , , un , ,
那么由这数列构成的表达式
u1 +u2 +u3 + +un +

叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数,记作 ui ,

i 1
即 ui u1 u2 u3 ui ,


1 2

1 3


...


1 n

n
1
1

所以级数收敛,且和为 1.
1 1 n 1
1n ,
例 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 级数的部分和为
sn
1
2

3
n

n(n 1) 2
,
显然
lim
n
sn

例 级数1 2 3 n 的部分和为
sn 1 2
n n(n 1) . 2

定义：如果级数 ui 的部分和数列{sn} 有极限 s ,
i 1

即
lim
n
sn

s
, 则称无穷级数
i 1
ui
收敛, 极限 s 叫做
这级数的和,并写成 s u1 u2 ui ;
sn a , n 为奇数, 0 , n 为偶数,
sn 的极限不存在,
这时级数也发散.
综上所述,我们有：

当 q 1时，等比级数收敛, 且 aqi
a
;

i0
1 q
当 q 1 时,等比级数发散.
注 1: 当级数收敛时, 其部分和 sn 是级数的和 s 的近似值,
它们之间的差值 rn s sn un1 un2 叫做级
i2
i 1
其中 u1 s1 , un sn sn1 (n 2) .

注 3: 从定义可知,级数 ui 与数列{sn} 同时收敛
i1
或同时发散, 且在收敛时,有

n
i 1
ui

lim
n
sn
,
即
i 1
ui

lim
n
i 1
ui
.

如果{sn} 没有极限, 则称无穷级数 ui 发散. i 1
例 判定下列无穷级数的收敛性：
1 1 1
12 23
n(n 1)
解
un
1 n(n 1)
sn

1 1 2

1 23
...
1 n(n 1)
1 1 , n n1

1
1 2

i 1
第 n 项 un 叫做级数的一般项.
例:
1
11
1
1
,
n1 n
23
n
un

1 n
,

n 1 23 n ,
n 1
un n ,
1 n
34
1
n1 1 n2
5 10
1 n
1
n2

,
un

1 n 1 n2
.

n

,
因此所给级数发散.

例 无穷级数 aqi a aq aq2 aqi 叫做 i0
等比级数(又称几何级数),其中 a 0 , q 叫做级数的公比,
试讨论级数的收敛性.
解 如果 q 1, sn a aq aqn1
a aqn a aqn 1q 1q 1q
常数项级数的 概念和性质
常数项级数的概念 收敛级数的基本性质
常数项级数的概念
例如， 计算半径为 R 的圆面积 A . 作圆的内接正六边形，正六边形的面积为 a1 . R
A a1 圆的内接正十二边形的面积为 a1 +a2 ， A a1 a2
圆的内接正二十四边形的面积为 a1 +a2 +a3 . A a1 a2 a3 内接正 3 2n 边形的面积为 a1 a2 an .