小波阈值去噪及MATLAB仿真

摘要
小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时—频分析，借助时—频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。

利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。

小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB 中的小波工具箱，对一个含噪信号进行阈值去噪，实例验证理论的实际效果，证实了理论的可靠性。

本文设计了几种小波去噪方法，其中的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。

关键词：小波变换；去噪；阈值
-I-
Abstract
Wavelet analysis theory is a new theory of signal process and it has good localization in both frequency and time do-mains.It makes the wavelet analysis suitable for time-frequency analysis.Wavelet analysis has played a particularly impor-tant role in denoising,due to the fact that it has the property of time- frequency analysis. Using wavelet methods in de-noising, is an important aspect in the application of wavelet analysis. The key of wavelet de-noising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory through the wavelet threshold de-noising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold de-noising for a signal with noise and actual results of the example confirmation theory.In this paper,the method of Wavelet Analysis is analyzed.and the method of threshold denoising is a good method of easy realization and effective to reduce the noise.
Keywords：Wavelet analysis；denoising；threshold
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目录
摘要 (I)
Abstract ........................................................................................................................ I I
第1章绪论 (1)
1.1 研究背景和意义 (1)
1.2 国内外研究历史和现状 (2)
1.3 本文研究内容 (4)
第2章小波变换的基本理论 (5)
2.1 傅立叶变换 (5)
2.2 加窗傅立叶变换 (6)
2.3 小波变换 (7)
2.3.1 连续小波变换 (8)
2.3.2 离散小波变换 (9)
2.4 多分辨分析 (12)
本章小结 (13)
第3章经典噪声类型及去噪方法 (14)
3.1 经典噪声类型 (14)
3.2 常用滤波器 (17)
3.2.1 线性滤波器 (18)
3.2.2 均值滤波器 (18)
3.2.3 顺序统计滤波器 (19)
3.2.4 其他滤波器 (19)
3.3 经典去噪方法 (20)
3.4 Matlab工具 (21)
3.4.1 Matlab 发展历程 (21)
3.4.2 Matlab 简介 (21)
本章小结 (22)
第四章小波阈值去噪及MATLAB仿真 (23)
4.1 小波阈值去噪概述 (23)
4.1.1 小波阈值去噪方法 (24)
4.1.2 图像质量评价标准 (24)
4.2 基于MATLAB的小波去噪函数简介 (25)
4.3小波去噪对比试验 (27)
本章小结 (34)
结论 (35)
-III-
致谢 (36)
附录1 译文 (38)
附录2 英文参考资料 (39)
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第1章绪论
1.1 研究背景和意义
随着计算机技术的飞速发展，数字图像处理技术获得了飞速的发展。

去除图像的噪声是图像处理过程中的一个重要环节，其结果直接影响到图像质量和特征提取的精确性。

现实中由于获取图像的环境、设备及传输过程存在不确定因素，使得图像受到噪声污染是不可避免的。

现代医学中, 影像被广泛应用于诊断和治疗, 是必不可少的手段和工具. 医学图像的好坏直接影响着医生对病情的诊断和治疗. 医学图像在获得的过程中都会混有各种噪声, 因此有必要进行去噪研究。

如何减少甚至消除噪声一直是图像处理研究中的课题之一。

噪声是影响图像质量的重要因素；噪声的存在导致图像的某些特征细节不能被辨识, 图像信噪比下降。

在图像处理中如何有效地去除噪声, 提取图像信息变得尤为重要。

利用计算机等设备处理图像，容易受噪声干扰造成质量下降，极大影响了人们从图像中提取信息，所以非常有必要在利用图像之前消除噪声。

信号在生成和传输的过程中会受到各种各样噪声的干扰，对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。

寻求一种既能有效地减小噪声，又能很好地保留信号原始信息的方法，是人们一直追求的目标。

利用振动信号或状态量对设备进行诊断是设备故障诊断中最有效、最常用的方法 ,过去常用传统的基于快速傅里叶变换( FFT)的频谱分析方法进行振动信号处理,但是傅里叶分析存在着严重的不足,它只适于分析时不变系统的平稳信号 ,而不适于分析非平稳信号,且傅里叶变换对在检测信号中包含的趋势、突变事件的开始和结束等特征分析时也显得无能为力。

出于对非平稳信号和突变信号的分析的迫切要求 ,法国地球物理学家Morlet 于1984 年提出了一种新的线性时频分析方法——小波分析理论,为机械故障诊断中的非平稳信号分析,弱信号提取，信号滤波等提供了一条有效的途径。

从数学上看，小波去噪本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最佳逼近，完成原信号和噪声信号的区分。

由此小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复。

从信号分析的角度看，小波去噪是信号滤波问题，尽管在很大程度上小波去噪可以看成是
-1-
低通滤波，但是由于去噪后还能成功地保留图像特征，在这一点上又优于传统的低通滤波器，所以小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合。

小波变换能够很好地保留边缘(这是因为小波变换的多分辨率特性)，小波变换后，由于对应图像特征(边缘等)处的系数幅值较大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。

相对于早期的方法，小波去噪对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因而更利于理论分析。

小波去噪的成功主要在于小波变换有如下特点:
(1)低熵性。

小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；
(2)多分辨率特性。

由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辨率下根据信号和噪声分布特点进行去噪；
(3)去相关性。

因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；
(4)选基灵活性。

由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等，对不同相应场合，可以选择不同的小波母函数。

小波分析是时频分析方法，具有良好的时频局部性，并且有快速算法(Mallat 算法)加以实现。

这样，小波变换理论就为噪声消除问题提供了一个新的思路，其应用也日渐广泛。

1.2 国内外研究历史和现状
在早期，人们通过对边缘进行某些处理，以缓解低通滤波产生的边缘模糊。

在这一点上，虽然这种方法同小波去噪很相似，但是小波变换之所以能够很好地保留边缘，是因为小波变换的多分辨率特性，小波变化后，由于对应图像特征(边缘等)处的系数幅值变大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。

相对早期的方法而言，小波噪声对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因而便于系统的理论分析。

在许多国内外研究学者的努力下，小波去噪技术在信号处理领域中不断得到发展和完善。

早期的小波去噪工作类似有损压缩技术，即先对含噪信号进行正交小波变换，再选定一个固定的阈值与小波系数比较进行取舍，低于此阈值的小波系数设为零，然后进行小波重构恢复原信号，上述算法中的阈值选取完全取决于经验和实际应用。

Mallat是最早从事小波在信号处理中的应用的研究者之一，他提出的利用
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小波变换模极大值原理进行信号去噪的方法是小波去噪中最经典的方法。

其基本原理是在小波变换域内去除由噪声对应的模极大值点，仅保留由真实信号所对应的模极大值点。

然而仅仅利用这些有限的模极大值点进行信号重构，误差是很大的。

因此，基于模极大值原理进行信号去噪时，存在一个由模极大值点重构小波系数的问题。

Mallat提出的交替投影方法较好地解决了这个问题。

然而，交替投影方法计算量很大，需要通过迭代实现，有时还不稳定。

陈德智、刘贵忠、赵瑞珍等人分别对小波系数的重构问题作了进一步的研究和改进，提出了较易实现的算法。

Xu等人于1994年提出了一种基于空域相关性的噪声去除方法，根据信号与噪声的小波变换系数在相邻尺度之间的相关性进行滤波，该方法虽不够精确，但很直接，易于实现。

在该算法的实现过程中，噪声能量的估计非常关键。

潘泉等人推导出噪声能量阈值的理论计算公式，并给出了一种估计信号噪声方差的有效方法，使得空域相关滤波算法具有自适应性。

赵瑞珍等人在相关去噪的基础上，提出了一种基于区域相关的小波滤波算法，克服了通常相关算法中由于各尺度间小波系数的偏移导致的判断准确率低的缺点。

Stanford 大学以Donoho为首的一个学术群体致力于信号的去噪，取得了大量的成果。

Donoho和Johnstone等人于1994年提出了信号去噪的软阈值方法和硬阈值方法(WaveShrink)，还给出了t=σ2ln(N)的阈值，并从渐进意义上证明了WaveShrink的最优性；同年Coifman和Donoho提出了平移不变小波去噪。

Gao和Bruce把软阈值和硬阈值方法进行推广，提出了semisoft阈值方法，研究了不同收缩(shrinkage)函数的特性，推导出最小最大阈值，并给出阈值估计的偏差、方差等的计算公式。

Johnstone等人1997年给出一种相关噪声去除的小波阈值估计器。

Nowak 于1997年提出Cross Validation方法进行最优信号估计，同年Jansen等人采用GCV(Generalized Cross Validation)估计器来估计小波阈值，从而对图像中的相关噪声进行去除。

Nowak 等人1999年提出了针对光子图像系统的小波变换域滤波算法，在该系统中的噪声属于Poisson噪声Nowak提出了PRESS-最优非线性小波滤波方法，根据图像局部区域的大小，来调整PRESS-最优滤波器，使其与Poisson噪声的方差水平相匹配。

事实上PRESS-最优非线性小波滤波方法也是介于软阈值和硬阈值之间的一种方法。

Speckle 噪声实际上是一种乘性噪声，其去除方法由Fukuda 等人提出，随后又有不少学者对乘性噪声的去除作了进一步的研究。

Chang等人在2000年将自适应阈值和平移不变量去噪思想结合起来，提出一种针对图像的空域自适应
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小波阈值去噪方法，所选阈值可随图像本身的统计特性而作自适应改变。

Oktem等人提出了一种Film-grain型噪声的去除与含噪图像压缩的变换域方法。

赵瑞珍等人提出了一种Poisson噪声去除的小波变换局部域复合滤波算法。

Chen等人根据图像小波系数在小波分解后的相关性，提出了使用邻域小波系数的图像阈值去噪算法。

Zhang等人提出了基于神经网络的图像去噪算法。

Jansen提出了对于重噪声的最小风险阈值方法。

总之，目前小波去噪方法的研究非常活跃，不断有新的方法出现，尤其是有关Gaussian噪声的去除已取得了不少好的结果。

1.3本文研究内容
目前，小波去噪的基本方法有：（1）利用小波变换模极大去噪；（2）基于各尺度下小波系数相关性进行去噪；（3）采用非线性小波变换阈值法去噪、平移不变量小波去噪。

此外，还有基于投影原理的匹配追踪（matching persuit）去噪法以及多小波（multiwavelet）去噪法等。

阈值法由于具有能得到原始信号的近似最优估计、计算速度快以及具有广泛适应性等优点，是小波去噪方法中应用最广泛的一种，因此是本论文中主要研究的去噪方法。

本文内容安排如下：
首先，介绍小波变换基本理论。

对傅里叶变换和小波变换进行了分析，分析了它们各自之间的区别和联系，指出小波变换适合信号处理的原因，同时介绍了小波变换的数学背景，这是后面讨论的理论基础。

其次，介绍了几种经典的噪声的类型，并介绍了几种经典的去噪方法和Matlab仿真工具，接着给出了小波消噪综述。

介绍小波变换消噪的优势、原理以及基函数的选取问题。

再次，为一维信号和二维图像小波变换去噪算法的研究。

第四步是Matlab仿真实验。

给出了图像去噪的一般模型和图像质量评价标准，通过编程实现小波阈值去噪，得到去噪后信号的直观图形，以及去噪的信噪比和最小平方误差，从而直观地证明了基于小波阈值消噪方法的优越性。

最后为全文的工作的总结。

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第2章小波变换的基本理论
小波分析（Wavelet Analysis）是数字信号处理中非常有力的一种工具。

它是20世纪80年代初，由Morlet在分析研究地球物理信号时提出来的，是一种刚刚发展，但具有强大生命力的新学科技术。

近些年来，小波分析成为信号处理研究的热点，不仅仅在理论上取得了很多突破性的进展，而且还在图像处理、语音信号处理、地震信号处理以及数据压缩处理等许多领域中得到了极广泛的应用。

小波分析，是泛函分析、傅里叶分析及数值分析等多个学科相互交叉、相互融合的结晶。

小波分析属时频分析的一种。

它是一种多尺度的信号分析方法，使分析非平稳信号的强有力的工具。

它克服了短时傅里叶变换固定分辨率的缺定，即能分析信号的整个轮廓，又可以进行信号细节的分析。

一般说来，传统上使用Fourier分析的地方，现在都可以用小波分析并能够取得更好的结果，小波分析能对几乎所有的常见函数空间给出简单的刻画，也能用小波展开系数描述函数的局部性质。

小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化特性，克服了传统Fourier分析的不足，由于小波分析对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节。

这一优越的局部分析性能，使小波分析在数据压缩、边缘检测、信号处理和语音分析等领域得到了广泛应用。

近年来小波理论得到了进一步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质的小波，同时也从另外一个角度去放宽正交小波基的条件，去研究更一般的非正交向量族，使得小波理论不断完善。

随着小波理论的不断完善，它的应用领域也越来越广泛。

小波分析与Fourier分析的区别在于，Fourier分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单个变量（时间或频率）的函数表示信号，时频分析在时频平面上表示非平稳信号，小波分析则联合时间，尺度函数分析非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在时间—尺度平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观察信号，这种对信号分析的多尺度观点是小波分析的基本特征。

本章给出了关于小波分析的一些基本概念、定理及算法。

2.1 傅立叶变换
自Fourier提出了Fourier分析这一全新的观点后，傅立叶变换在分析领域内产生了极为重要的影响，使数学和物理等学科发生了很大的变化，引起了众多科学家的广泛关注。

FFT(快速Fourier变换)的提出更使Fourier方法从理论走
-5-
-6- 向实践，成为大们进行分析的强有力工具。

傅立叶变换（Fourier Transform ）定义为：给定信号)(t f ，如果它满足
∞<⎰+∞
∞-dt t f 2
)( (2-1) 那么可对其进行傅立叶变换
dt e
t f w F jwt -+∞∞-⎰=)()( (2-2)
其逆变换为
dw e w F t f jwt )(21)(∞
-∞+⎰=π (2-3) )(t f 与)(w F 是一一对应的变换对。

傅立叶变换在信号分析和图像处理等领域里有着重要的应用，能将信号的时域特征和频域特征联系起来，是信号分析与信号处理的重要工具。

傅立叶变换有很强的频域定位和频域局部化能力，但是没有时间定位和时间局部化能力。

傅立叶变换反映不出信号频率随时间变化的非平稳信号，即时变信号，它只能给出一个总的平均效果。

受海森堡测不准原理的制约，时间分辨率和频率分辨率不可能同时达到最好，也无法根据信号的特点来自动调节时域及频域的分辨率。

为了从模拟信号中提取频谱，就要取出无限的时间量，使用过去的和将来的信息只为计算单个频率的频谱。

由定义可知属于某一给定的区间反映不出)(t f 在其时间区域上的信息。

因为信号的频率反比于其时间周期长，因此对高频谱信息而言，时间区域应相对窄，而对低频谱信息而言，时间区域应相对宽，即应给一个可调时频窗，Fourier 分析不能做到这一点，从而不适于做局部分析。

2.2 加窗傅立叶变换
由于傅立叶变换不能将信号的时域特征和频域特征有机结合起来，DennisGabor 于1946年提出了短时傅立叶变换(Short Fourier Transform)，也称为加窗傅立叶变换(Windowed Fourier Transform)。

设)()(2R L x g ∈,而且
0)()(2≠⎰=dx x g x g ，如果∞<⋅⎰+∞∞
-dx x g x 2)(，则称)(x g 是一个窗函数。

)(x g 的中心)(g E 和半径)(g ∆分别定义为：
)(g E dx x g dx
x g x 22)()(∞
+∞-+∞
∞-⎰⋅⎰= )(g ∆=dx x g dx x g g E x 222)()()]([∞
+∞-∞+∞-⎰-⎰ (2-4)
如果窗函数)(x g 的傅立叶变换)(w G 也满足窗函数的条件，)(w G 的频率中心
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)(G E 和频窗半径)(G ∆分别定义为：
)(G E dw w G dw
w G w 22)()(∞
+∞-+∞
∞-⎰⋅⎰= )(G ∆=dw w G dw w G G E w 222)()()]([∞
+∞-∞+∞-⎰-⎰ (2-5)
对任意固定的t 和w ，加窗傅立叶变换给出了信号在时频平面上的一个时频窗
)]()(),()([)]()(),()([G w G E G w G E t t g E t t g E ∆++∆-+⨯∆++∆-+ (2-6) 选定窗口函数)(x g 之后，这个时频窗是时频平面上的一个具有固定面积)()(4G g ∆∆的矩形。

加窗傅里叶变换发展了傅里叶变换，能够满足信号处理的某些特殊需要。

但是当窗口函数选定以后，它不能随着所要分析的的信号成份在高频信息和低频信息而相应变化，对非平稳信号的分析能力是很有限的，不适合分析频带较宽的频谱。

而我们希望对高频信号进行分析时窗口要窄一些，对低频信号分析时窗口要宽一些，而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口的宽度，具有敏感的变焦距特性，能够满足我们分析的需要。

2.3 小波变换
令)()(2R L t ∈ψ（)(2R L 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），其傅里叶变换为)(Ωψ。

当)(Ωψ满足下面的允许条件时
∞<ΩΩΩψ=⎰d C R 2)
(ψ (2 -7)
则)(t ψ就是一个基本函数，令
)(1
)(,a
b t a t b a -=ψψ 式中，a ，b 均为常数，且a >0。

a 称为尺度因子，b 为位置参数，若a ，b 不断地变化，可得到一组函数)(,t b a ψ。

则x (t )的小波变换（wavelet transform, WT ）定义为
⎰⎰>=<=-=)(),()()()(1),(,*,*t t x dt t x dt a b t t x a
b a WT b a b a x ψψψ (2-8) 小波变换可理解为用一组分析宽度不断变化的基函数对x (t )做分析，这一变化正好适应了对信号分析时在不同频率范围需要不同的分辨率这一基本要求。

令x (t )的傅里叶变换为)(ΩX ，)(t ψ的傅里叶变换为)(Ωψ，由傅里叶变换的性质，)(,t b a ψ的傅里叶变换为
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b j b a e a a a b t a t Ω-Ωψ=Ωψ⇔-=)()()(1)(,ψψ (2-9)
由Parseval 定理可得
ΩΩψΩ>=ΩψΩ<=Ω∞∞
-⎰d e a X 2a X b a WT b j b a x )()()(),(21),(*,ππ (2-10) 此式即为小波并变换的频率表达式。

可以看出当a 减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且b 的窗口中心向Ω增大方向移动。

这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低。

这便是它优于短时傅里叶变换与经典傅里叶变换的地方。

总的来说，小波变换具有更好的时频窗口特性。

2.3.1 连续小波变换
设)(t ψ是平方可积函数，即)(t ψ)(2R L ∈，若)(t ψ的傅立叶变换)(w ψ满足条件： ∞<ψ⎰∞+
∞-dw w w 2)( (2-11)
则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，称式(2-11)为小波函数的可容许性条件。

将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移得小波基函数：
R b a a
b t a t b a ∈>-=-,0),()(21
,ψψ (2-12) 其中a 为伸缩因子（又称尺度因子），b 为平移因子。

连续小波变换(CWT)定义为：设函数f(t)平方可积，
)(t ψ表示)(t ψ的复共轭，则f(t)的连续小波变换为：
dt a
b t t f a t t f b a WT b a f ⎰∞
+∞--==)()(1
)(),(),(,ψψ (2-13) 由CWT 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换。

由于小波基不同于傅立叶基，小波变换与傅立叶变换有许多不同之处，其中最重要的是，小波基具有尺度a 、平移b 两个参数，将函数在小波基下展开，就意味着将一个时间函数投影到二维的时间，尺度相平面上。

从频率域的角度来看，
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小波变换已经没有像傅立叶变换那样的频率点的概念，取而代之的是本质意义上的频带概念，从时间域来看，小波变换所反映的也不再是某个准确的时间点处的变化，而是体现了原信号在某个时间段内的变化情况。

CWT 系数具有很大冗余量，从节约计算量来说，这是它的缺点之一，但是从另一方面来讲，我们可以利用CWT 的冗余性实现去噪和数据恢复的目的，其冗余性又成为CWT 不可替代的优势。

连续小波变换是一种线形变换，它具有以下几方面的性质：
（1）叠加性：设)(t x ，)()(2R L t y ∈，21,k k 是任意常数，x(t)的CWT 为),(b a W T x ，y(t)的CWT 为),(b a W T y ，)()()(21t y k t x k t z +=，则z(t)的CWT 为：
),(),(),(21b a W T k b a W T k b a W T y x z +== (2-14)
（2）时移不变性：若x(t)的CWT 为),(b a W T x ，则)(0t t x -的CWT 为),(0t b a W T x -。

x(t)的时移对应于WT 的b 移。

（3）尺度变换：若x(t)的CWT 为),(b a W T x ，0>λ，则)(λt x 的CWT 为),(λλλb a WT x 。

此性质表明，当信号在时域作某一倍数伸缩时，其小波变换在a,b 两轴上也作同一倍数伸缩，形状不变。

（4）内积定理（Moyal 定理）：设R L t x t x 221)(),(∈，它们的CWT 分别为),(1b a W T x 和),(2b a W T x ，则有： )(),(),(),,(2121t x t x C b a WT b a WT x x ψ= (2-15) 式中⎰∞+ψ=02)
(dw w w C ψ。

任何变换只有存在逆变化才有实际意义。

对连续小波而言，若采用的小波满足可容许性条件，则其逆变换存在，即根据信号的小波变换系数就可以精确地恢复原信号，并满足连续小波变换的逆变换公式：
db a b t a
b a WT a da C t x x )(1),(1
)(02-=⎰⎰+∞∞-+∞ψψ (2-16) 其中∞<ψ=⎰∞+da a aw C 02)
(ψ。

2.3.2 离散小波变换
通常用冗余度这一概念来衡量函数族是否构成正交性，若信号损失部分后
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仍能传递同样的信息量，则称此信号有冗余，冗余的大小程度称为冗余度。

连续小波变换的尺度因子a 和移位因子b 都是连续变化的，冗余度很大，为了减小冗余度，可以将尺度因子a 和移位因子b 离散化。

现在的问题是，怎样离散化才能得到构成空间)(2R L 的正交小波基。

由连续小波变换的时—频分析得知 小波的品质因数不变，因此我们可以对尺度因子a 按二进的方式离散化，得到的二进小波和二进小波变换，之后再将时间中心参数b 按二进整数倍的方式离散化，从而得到正交小波和函数的小波级数表达式，真正实现小波变化的连续形式和离散形式在普通函数形式上的完全统一。

由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量a ，b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取
Z k j a k b j j ∈==,;2
1,2，这时 ()()()
k t t t j j k b a j j -==222/2,21,ψψψ (2-17)
常简写为：()t k j ,ψ。

变换形式为：k j j j f f k WT ,,2,21ψ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 为了能重构信号()t f ，要求{}Z
k j k j ∈,,ψ是()R L 2的Riesz 基。

一个函数()R L 2∈ψ称为一个R 函数，如果{}Z k j k j ∈,,ψ在下述意义上是一个
Risez 基：Z k j k j ∈,,,ψ的线性张成在()R L 2中是稠密的，
并且存在正常数A 与B ，∞<≤<B A 0，使
{}{}2,2
2,,2,22l
k j j k k j k j l k j c B c c A ≤≤
∑∑∞-∞=∞-∞=ψ 对所有二重双无限平方可和序列{}k j c ,成立，即对于{}∞<=
∑∑∞-∞=∞-∞=2,2,2j k k j l k j c c 的{}k j c ,成立。

假定ψ是一个R 函数，那么存在()R L 2的一个唯一的Riesz 基{}Z k j k j ∈,,ψ，它
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在意义
Z m l k j m k l j m l k j ∈=,,,,,,,,,δδψψ
上与{}k j ,ψ对偶。

这时，每个()()R L t f 2∈有如式(2-18)的唯一级数表示：
()()∑∑∞-∞=∞-∞==
j k k j k j t f t f ,,,ψψ (2 -18) 特别地，若{}Z
k j k
j ∈,,ψ构成()R L 2的规范正交基时，有k j k j ,,ψψ= 重构公式为： ()()t f t f j k j k k j ∑∑∞-∞=∞-∞==
,,,ψψ (2 -19)
图像可以看作是二维的矩阵，一般假设图像矩阵的大小为N N ⨯，且有n N 2=（n 为非负的整数）。

那么每次小波变换后，图像便分解为4个大小为原来尺寸1/4的子块区域，如图2-1所示，分别包含了相应频带的小波系数，相当于在水平方向和坚直方向上进行隔点采样。

进行下一层小波变换时，变换数据集中在LL 频带上，图2-2所示为3层小波变换的系数分布。

LL 1
HL 1 LH 1
HH 1
图2-1 一次离散小波变换后的频率分布
LL 3 HL 3
HL 2 HL 1
LH 3 HH 3 LH 2 HH 2。