椭圆题型总结(较难)

椭圆题型总结

一、焦点三角形

1. 设F 1、F 2是椭圆12

32

2=+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。

（法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，，

根据椭圆的定义，1||AF m =

，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得

22

22)44cos )44cos m m m n n n αα

⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩，

∴m =

，n =

∴1

1211

||||2()sin 22

F AB

B A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+

α=

=令sin t α=，所以01t <≤，∴2

1()22t g t t t t

=

=++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2

πα=

时，max 1()3

g t =，故1ABF △

（法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2

+3y 2

=6联立，消x 得 (2m 2

+3)y 2

+4my-4=0 ∵ AB 过椭圆内定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则

Δ=48(m 2

+1)

1ABF S ∆=|y 1-y 2

|=

令 t=m 2

+1≥1，m 2

=t-1， 则 1ABF S ∆

=

∞) f(t)=144t t

++在t∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1

注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。

2. 如图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1) 求点P 的轨迹方程；(2) 若2

·1cos PM PN MPN

-∠＝

，求点P 的坐

标.

解：(1) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴 b =2

2

5a c -=， 所以椭圆

的方程为22

1.95

x y += (2) 由2

,1cos PM PN MPN

=

-g 得cos 2.PM PN MPN PM PN =-g g ①

因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形. 在△PMN 中，

4,MN =由余弦定理有222

2cos .MN PM PN PM PN MPN =+-g

②

将①代入②，得2

2

242(2).PM PN PM PN =+--g

故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为23的双曲线2

213

x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组2222

5945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得33,5.

2

x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩

即P 点坐标为335335335335

(,)-、（，-）、（-，）或（，-）.

二、点差法

定理 在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN

的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN -=⋅.

3. 直线l 经过点A (1，2)，交椭圆22

13616

x y +=于两点P 1、P 2，

（1）若A 是线段P 1P 2的中点，求l 的方程；（2）求P 1P 2的中点的轨迹．

解：（1）设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116

36116362

222

2

121y x y x ⇒

016

)

)((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*

∵A (1，2)是线段P 1P 2的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴016)(436)(22121=-+-y y x x ，即922121-=--x x y y 。 ∴l 的方程为2)1(92+--=x y ，即2x +9y -20=0．

（2）设P 1P 2的中点M (x ，y )，则x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，

代入*式，得y x x x y y k 942121-=--=，又直线l 经过点A (1，2)，∴2

1

y k x -=-，

整理，得4x (x -1)+9y (y -2)=0，∴P 1P 2的中点的轨迹：22

1

()(1)2151029

x y --+=。 4. 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆12

22

=+y x 有两个不同的交点P 和Q.

（1）求k 的取值范围；

（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量+与

共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

解：（1）直线l 的方程为.2+

=kx y

由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.

12

,

222y x kx y 得：.0224)12(2

2=+++kx x k Θ直线l 与椭圆

1222=+y x 有两个不同的交点， )12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得：k ＜22-

或k ＞2

2. ∴k 的取值范围是⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,22

22,Y . （2）在椭圆12

22

=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴B A