非线性控制系统

平衡点可以是孤立的，也可能有一个平衡点的连续统。
3。本质非线性现象：
•有限逃逸时间：非稳定线性系统的状态只有当时间趋于无穷时才会
达到无穷，而非线性系统的状态可以在有限时间内达到无穷
•多孤立平衡点：线性系统只有一个孤立的平衡点，而非线性系统
可以有多个孤立平衡点，其状态可能收敛于几个稳态工作点之一， 收敛于哪个工作点取决于系统的初始状态。
x f (t , x)
非自治系统 / 时变系统
自治系统 / 时不变系统：
x f ( x)
如果系统不是自治的，就称为非自治系统或时变系统。
2。平衡点
对于状态空间中的点x*只要状态从点x*开始，在将来的任何时 刻都将保持在点x*不变，那么这点称为系统的平衡点。
自治系统的平衡点：
f ( x) 0
my Ff Fsp F
运动方程
对于硬化弹簧，考虑线性粘滞摩擦力和一个周期外力 F=Acosωt，可以得到Duffing方程：
my cy ky ka 2 y 3 A cos t
这是研究具有周期激励的非线性系统的经典例子。
5。线性弹簧的例子 ：
对于线性弹簧，考虑静态摩擦力、库仑摩擦力和线性粘滞 摩擦力，且当外力F=0时可得到：
d 2v dv CL 2 v Lh ' (v) 0 dt dt
变量代换： t
CL
d 2v d 2v CL 2 d 2 dt
dv dv CL , d dt
v
dv d
v h' (v)v v 0, L C
v f (v)v g (v) 0
Van der Pol方程有惟一的平衡点：
3。状态方程：
vv0
取
x1 v, x2 v
x1 x2 x2 x1 h( x1 ) x2
取 z1 iL ,
z2 vC
1 z2 L 1 z2 z1 h( z2 ) C z1
1.2.7 一般非线性问题
1, u 0 sgn(u ) 0, u 0 1, u 0
u, sat(u ) sgn(u ),
u 1 u 1
作业：习题1.9
第2章
二阶自治系统：
二阶系统
（2.1） （2.2）
x1 f1 ( x1 , x2 ) x2 f 2 ( x1 , x2 )
f1 (t , x, u) f (t , x, u) f (t , x, u) 2 f n (t , x, u)
x f (t , x, u)
x f (t , x, u ) y h (t , x, u )
无激励状态方程： 状态方程 输出方程 状态空间模型
1. 2 1 0时
z2 cz12
e ●当t→∞时，
●e
2t
1
1t
0, e2t 0
称λ 比e1t 较快趋于零， 2为快特征值，λ 1为慢特征值
称V2为快特征向量，V1为慢特征向量 ●当z1>1时，z2变化快，曲线斜率>1，当z1<1时，z2变化慢， 曲线斜率<1.
假设参考点位于g(0)=0处 2。回复力分析： 位移较小时： 位移较大时： 弹性系数
Fsp g ( y )
g ( y) ky
ay 1
软化弹簧 硬化弹簧
g ( y ) k (1 a 2 y 2 ) y,
g ( y ) k (1 a 2 y 2 ) y
3。摩擦阻力分析：
阻力Ff包括： 静摩擦力Fs 库仑摩擦力Fc 粘滞摩擦力Fv
非线性控制系统
硕士研究生课程 2008年2月

参考书目：
《非线性系统》（第三版），Hassan K. Khalil ，电子工业出版社
《非线性控制系统理论与应用》，胡跃明 编 著，国防工业出版社 《非线性系统的分析与控制》，洪奕光 程代 展 著，科学出版社 《非线性理论数学基础》，姚妙新 陈芳启主 编，天津大学出版社
•极限环：在现实生活中，只有非线性系统才能产生稳定振荡，有些
非线性系统可以产生频率和幅度都固定的振荡，而与初始状态无关， 这类振荡就是一个极限环。
•分频振荡、倍频振荡或殆周期振荡：非线性系统在周期信号激
励下，可以产生具有输入信号频率的分频或倍频振荡，甚至可以产 生殆周期振荡。
•混沌：非线性系统的稳态特性可能更为复杂，它既不是平衡点，
输入力矩
1.2.2 隧道二极管电路
通过结点c的电流代数和为零：iC
Байду номын сангаасiR iL 0
电压定律： vC E RiL vL 0 取状态变量： x1
vC , x2 iL , u E
iC h( x1 ) x2 vL x1 Rx2 u
1 h( x1 ) x2 C 1 x2 x1 Rx2 u L x1
(n ,0), n 0, 1, 2,
(0,0)和( ,0)
单摆可以停留在平衡点（0，0）上， 几乎不可能停留在平衡点（π，0）上。
3。无摩擦单摆方程
设k=0：
x1 x2 x2 g sin x1 l
4。有控制输入的单摆方程
x1 x2 x2 g k 1 sin x1 x2 2 T l m ml
隧道二极管电路
0 h( x1 ) x2 0 x1 Rx2 u
h( x1 ) E 1 x1 的根为系统的平衡点 R R
1.2.3 质量-弹簧系统
1。运动方程：
my Ff Fsp F
Ff
为摩擦阻力
Fsp 为弹簧的回复力，只是位移y的函数g(y)
无摩擦单摆系统：
x1 x2 x2 10sin x1
所有轨线或解的曲线称为系统的相图。
2.1 线性系统的特性
线性系统：
解：
x Ax
x(t ) M exp(J r t )M 1x0
M 1AM J r
M为实满秩线性变换矩阵 Jr为实Jordan型
Jr可取为：
1 0
当x2<0时以上模型简化为线性模型：
1.2.4 负阻振荡器
h( 满足以下条件： )
h(0) 0, h' (0) 0 h(v) 当v , h(v) 当v
1。运动方程：
iC iL i 0
C dv 1 t v( s)ds h(v) 0 dt L
x(t ) ( x1 (t ), x2 (t )) 是方程的解，初始状态为 x0 ( x10 , x20 )
对于所有t≥0，x(t)的解在x1-x2平面的轨线是一条通过x0点的曲 线，该曲线称为状态方程始于x0点的轨线或轨道。 x1-x2平面称为状态平面或相平面。
方程（2.1）（2.2）的右边表示曲线的切向量：
dz2 ( c 2 z1 2 dz1 1
1 ) 1
当|z1|→0时，曲线斜率→0 ，当|z1|→∞时，曲线斜率→∞. 当轨线趋于原点时与z1轴相切，当轨线趋于∞时与z2轴平行。
a。静摩擦力： 静摩擦系数
Fs s mg ,
b。库仑摩擦力：
0 s 1
k mg , 当v 0 Fc k mg , 当v 0
v y
c。粘滞摩擦力：
Fv h(v), h(0) 0
当速度较小时：
Fv cv, v y
4。硬化弹簧的Duffing方程 ：
x2 f 2 (t , x1 , , xn , u1 ,, u p ) xn f n (t , x1 ,, xn , u1 ,, u p )
时间变量 状态变量 输入变量
x1 x x 2 xn
u1 u 2 u u p
当h(v) v 1 v3时 3
特例
Lienard 方程
v (1 v 2 )v v 0 Van der Pol方程
Van der Pol方程是非线性振荡理论的基本例子。
v (1 v 2 )v v 0 Van der Pol方程
2。平衡点：
第一部分 基本分析 第1章至第4
第二部分 反馈系统分析 第5章至第7章
第三部分 现代分析 第8章至第11章
第四部分 非线性反馈控制 第12章至第14章
第一章 绪论
1.1 非线性模型和非线性现象 1。状态空间模型的几个基本概念
一阶常微分方程组： x1 f1 (t , x1 , , xn , u1 ,, u p )
当 y 0 当y 0 且 y s mg / k 当y 0 且 y s mg / k
● 以上模型有一组平衡点 ● 以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数。 当x2>0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2 x2 x1 x2 x2 k c x1 x2 k g m m k c x1 x2 k g m m
1.2.1 单摆方程
1。单摆方程
摆锤沿切线方向的运动方程： （k为摩擦系数）
ml mg sin kl
取状态变量：
x1 ,
x1 x2 x2
x2
状态方程为：
g k sin x1 x2 l m
单摆方程
2。单摆的平衡点
解方程得平衡点： 实际平衡点：
0 2
0
k


第一种情况
两个特征值都为实数， 1 2 0
线性坐标变换：
z M 1x
z1 2 z2
z10 e2t z20
z1 1 z 2
取 x1 y, x2 y
状态模型为：
x1 x2 x2 k c 1 x1 x2 ( x1 , x2 ) m m m
x1 x2 x2 k c 1 x1 x2 ( x1 , x2 ) m m m
k mg sign( y ), ( y, y) ky, mg sign( y ), s
my ky cy ( y, y) 0
其中：
k mg sign( y ), ( y, y) ky, mg sign( y ), s
当 y 0 当y 0 且 y s mg / k 当y 0 且 y s mg / k
x f ( x)
f(x)可以看成是状态平面的向量场
例如：
f (x) (2 x12 , x2 )
在相平面内的每一点画出该点的切向 量，即可得到一个向量场图。 为方便好看，在各点画等长的箭头。
从给定的初始点x0出发，在x0点沿向量场移动，即可近似地 构造从x0点开始的轨线，这样到达新的一点xa，然后在xa点 沿向量场继续近似地构造轨线。如果把相邻点选得足够近， 就可以得到通过x0点的合理的近似轨线。
也不是周期振荡或殆周期振荡，这种特性通常称为混沌。
•特性的多模式：同一非线性系统显示出两种或多种模式。无激励
系统可能有不止一个极限环。具有周期激励的系统可能会显示倍频、 分频或更复杂的稳态特性，这取决于输入信号的幅度和频率。甚至 当激励幅度和频率平滑变化时，也会显示出不连续的跳跃性能模式。
1.2 示例
z1 1 z1 z2 2 z2
z10 e1t z1 e Jrt z 2 z20
z1 (t ) z10 e1t z2 (t ) z20 e2t
1
z2 cz12 1 ,
c z20 ( z10 )2