信息光学标量衍射理论
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第二章 标量衍射理论
光的衍射现象： 当波面受到限制时都会表现 出衍射现象。如光通过｛单缝、 孔、光栅｝等产生偏离直线传播 的现象。
对光波的限制作用表现在： （1） 引起振幅分布变化（孔、狭缝、黑白光栅，照片底片） （2） 引起相位变化，即波面面形变化，（透镜、有折射率分布的 平板） 光波的衍射效应产生于光波的波动性。 光波是电磁波，因此是矢量波，精确描述与光波有关的现象应 当用电磁场理论-----麦克斯韦方程, 通过研究电磁场的边值问题，得 到解答;但普遍的解很复杂。实际应用上在很多情况下可以采用基尔 霍夫标量衍射理论处理。
观察面上的场分布正比于孔径面上出射场的傅里叶变换。其夫 琅和费衍射就是屏函数的傅里叶变换。空间频率值取
ξ＝x/l z; h =y/l z
夫琅和费衍射图样不随z改变，但图样会有缩放。
菲涅耳近似范围 夫琅和费近似范围
2.4.1透镜的相位变换作用
物点S经透镜成像在 S΄。透镜两顶点O1和O2，对于薄透镜，入 射和出射参考面P1、P2光线的入出高度相同(取相同的坐标系）。 透镜的复振幅透过率为
由cos＝ξ；cos＝
对
作傅里叶逆变换
孔径平面（x0,y0） 场分布U0(x0,y0) 角谱 观察面（x,y） 场分布U(x,y) 角谱
即
H表达式
H的逆变换
与傍轴近似下推导的脉冲响应相同.
h(x-x0,y-y0)代入
和菲涅耳衍射公式（2.1.22）相同。
将指数项中平方项展开，输出为
形式上可看成是 当用会聚光源
物理光学的应用 (1) 解释光学成像，发展出成像理论，研究孔径作用和影 响分辨率因素； (2) 图像处理、识别和分类； (3) 全息成像非破坏性的评估和测量； (4) 二元光学器件设计，用于波面校正，光束整形，光束 阵列发生器； (5) 天线和阵列设计； (6) 干涉仪； (7) 光谱仪； (8) 光运算。
1.惠更斯－菲涅尔 原理的数学表述
为光波的一个波面； U0（P）-------波面上任一点P的复振幅 U（Q）------光场中任一观察点Q的复振幅 K（θ）-------倾斜因子，表示 子波对Q的作用与角度有关。 C为常数. 问题 1）菲涅尔认为 即波面上任一点作为子 波源时，其振动相位超 前于光波传输到该点的 振动 π /2，振幅差1/λ。 2）K(θ)的表达式不能确定。
当用平面波垂直于P1面入射时U1(x,y)=1，P2上的分布为
正透镜 f>0 ，U1′是向透镜后方焦点F′会聚的球面波。 负透镜 f<0 ， U1′是由透镜前方虚焦点F发散的球面波。 实际透镜有一孔径，透镜孔径函数（光瞳函数）为
透镜的相位变换因子为
只要满足傍轴条件，就可对任意的入射波进 行变换。薄透镜的相位变换特性与入射波无关。
对衍射物（如孔 径）尺度远大于波长 ，观察点离衍射物不 太近时标量衍射理论 是适用的。当衍射物 的精细结构与波长可 比时该理论不适用。 矢量衍射理论还没有 发展成熟。
按照近似程度的不同，衍射场的计算可分为 （1）菲涅尔衍射―――――观察屏离衍射物不太远 （2）夫琅和费衍射――――光源与观察屏距屏都相当于无 穷远
(1). 亥姆霍兹方程
Q点的振动满足标量波动方程 为拉普拉斯算子 复振动u 可表示为复振幅与时间因子乘积
代入波动方程得 (亥姆霍兹方程) k＝2π/λ 为波数 亥姆霍兹方程与时间变量无关。亥姆霍兹方程与波动方程有相 同的重要意义。
亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理 亥姆霍兹方程 格林定理 任意复函数U和G在曲面Σ′及其内部都 有连续的一、二阶导数，则 Σ′ V Σε′ ε Q n n
若G也满足亥姆霍兹方程， 连同 则积分式左边为零 代入积分公式
选择G具有球面波形式 r表示Σ′内被考察点Q与V内任意一点P 的距离，r=0处，G为奇异点，需除去 Σ′ V Σε′ 将G的球面波形式代入， 在Σε′面上 n n ε Q
考虑ε→0的极限，在Σε′上
U和U的一阶微 商的连续性
有限
由
称亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理 曲面Σ′内任意一点Q的场值可以用曲面 上的场值U和∂U/∂n来表示。
在傍轴近似下，S点光源发出 发散球面波在P1上的场分布为
经透镜变换后，向S′点会聚。 在P2面上是会聚的球面波
x0=0, y0=0, z = p
因p、q是常数。
和
只引起常量的相位变化。
ห้องสมุดไป่ตู้
不影响P1、P2面上的位相相对分布，分析时可略去。 透过率因子 由透镜成像公式
得
说明透镜的相位变换作用是把一个发散的球面波变换成会聚的 球面波。
当光源P0 离开孔径较远，入射光在孔径上 各点入射角不大，(注意n 和r0的方向)
傍轴条件
如果观察面离开孔径较远且距离z远大于孔径，并且满足傍轴条件， 则
因此，倾斜因子的作用可忽略。
考察在傍轴条件下r、z的近似。分母r可用z 代替，但是在指数部分，要精确表达为
点扩散函数变成
孔径面坐标轴x0y0, 观察点位于xy面，复振幅
(6).复振幅透过率 衍射屏后的复振幅与屏前的复振幅之比。
t(P)可以是任意的图形， 或相位调制图 案；如光栅、照片、透镜、缝、孔等。
2.1.2惠更斯－菲涅尔原理与叠加积分
在基尔霍夫衍射公式中，令
则 为叠加公式。
h(P,Q)的物理意义： 整个积分是对面进行的；面元ds对观察点Q贡献 h(P,Q)表示在P点有一单位脉冲[U0(P)dS=1]时， 对 Q 点复振幅贡献。 h(P,Q) 称为脉冲响应或点扩 散函数。 Q点的复振幅U(Q)是面上所有面元的光振动在Q点引起复振幅 的相干叠加。 衍射过程可以视为U0到 U的线性系统的线性变换。 h(P,Q)代表了系统的全部性质。
当z足够大时展开式中第三项可忽略。即k[第三项]<<2π，这个近似 称菲涅耳近似或傍轴近似. 这时
(1)傍轴近似下的脉冲响应
将 代入
得 (2)傍轴近似下的菲涅耳衍射公式 将点扩散函数h(x-x0,y-y0)代入 观察面上的场可表示为叠加积分
＝
1 k exp( jkz )U 0 ( x, y ) *exp[ j ( x 2 y 2 )] jz 2z
Σ′ V Σε′ ε Q n n
(2).基尔霍夫衍射公式 衍射问题可简化为，研究光源P0发出的球面波照明无限大的 不透明屏上孔，计算孔径右边空间（衍射场）某点Q处的场值。
运用格林定理，可推导出更 严格的衍射公式，称基尔霍夫衍 射公式。
(3)索末菲辐射条件
由基尔霍夫衍射公式
证明 在s2上（n指向外）
时
作傅里叶逆变换得 光强 于是在
的距离上可观察到周期物体 的像（＋）。Zt为泰伯距离。 同样在 的距离上可观察到周期物体的负像（－）。
原物：
泰伯距离: zT = 像：
2d 2 自成像发生在泰伯距离的整数倍上.
λ
思考: 在两个自成像位置的中间位置, 光强度分布如何变化?
#
2.3.3夫琅禾费衍射 在菲涅耳衍射公式中当z增大到 可略去，即 或 该范围内的衍射为夫琅和费衍射
2.1基尔霍夫衍射理论
2.1.1惠更斯－菲涅尔原理与基尔霍夫理论
惠更斯原理 波前上每一点都可看作一个次级扰动中心，发出球面子波；在 后一时刻这些子波的包络就是新的波前。 惠更斯－菲涅尔原理 由于子波来源于同 一光源，它们是相干 的，因而波前外任一 点的光振动应是波前 上所有子波相干叠加 的结果。 要点： 子波相干叠加
相当于用二次抛物面代 替球面子波。
菲涅耳原理 傍轴近似
2.远场近似
r可表示为
当孔径面远小于z时 于是
可忽略。
称夫琅和费近似或远场近似。脉冲响应为
h不再是x-x0; y-y0的函数。不具有空间平移不变性。
2.2衍射的角谱理论
2.2.1单色平面波与本征函数 对于菲涅耳衍射，相干光场在给定两平面间的传播可看做通过 二维线性空不变系统。对于单色平面波 在空间传播一段距离后只是改变了相位，即乘了一个复常数。符合 本征函数的定义。 2.2.2角谱的传播 孔径光场可看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性 组合。每一分量的相对振幅和位相取决于角谱 。 孔径平面（x0,y0） 场分布U0(x0,y0) 角谱 观察面 （x,y） 场分布U(x,y) 角谱
变为
基尔霍夫衍射公式推导
设孔径的线度远大于波长，但远小于孔径到P0和Q到距离。 设∑上各点P的光场为
同理对G有
代入
称基尔霍夫衍射公式
(5).基尔霍夫衍射公式 已推导出的结果
与菲涅尔－惠更斯关系 孔径平面上复振幅分布是由球面波产生的， 可表示为
惠更斯－菲涅尔原理
代入菲涅尔－惠更斯公式得
与菲涅尔－惠更斯表达式比较得 依据基尔霍夫假设孔径外的阴影区场强为0，积分区可扩大到无穷。
1 1/R<<k, 1/R项可忽略
对S2的积分为
因此只要在任何方向上都有
则S2上的积分趋于0。这时
U(Q)的值由孔径部分的场和屏后部分的场确定。
索末菲条件成立原因
如果S2为一球面波，向外发散
所以有
(4)基尔霍夫假设 1)在孔径∑上，U和∂U/∂n的值由入射波决定，与不存在不透明 屏S1时完全相同； 2)在不透明屏部分S1面上各点有U 和∂U/∂n＝0。（该假设不自洽）
2.1.3相干光场在自由空间传播的平移不变性
Q点的复振幅U(Q)是面上所有面元的光振动在Q点引起复振幅 的相干叠加。 衍射过程可视为将U0 到 U的线性系统 的线性变换。h（P,Q）代表了系统的全部 性质。h是孔径平面坐标和观察平面坐标的 函数h(x’,y’,x,y)。下面我们考察在什么条件 下光场在自由空间传播满足平移不变性。 考察 其中
说明孔径上的透射场 U0(x0,y0) 和观察面上的光场 U(x,y) 之间存在 着卷积关系。 即当倾斜因子的作用可忽略时，光波在衍射孔径后的传播过程可 看成是光波通过一个线性平移不变系统。
2.1.4相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式 1. 傍轴近似 脉冲响应表达式为
表达式很复杂。r可表示为 当 时 、 都是小量，r可展开为
对孔径和观察面的傅里叶变换为
研究目的：找A0()和A()的关系。注意A()是z的函数 对U(x,y)应用亥姆霍兹方程
被积函数应为0，整理后得
解方程得
z=0处A=A0，于是
因此
讨论： 当 时
说明随z增大相应的角谱分量迅速减小，该分量称倏逝波。 从系统传输的角度看
把频谱作为输入和输出，传递函数为 角谱理论从频域上 讨论光的传输 。 可将系统视为低通 滤波器。高于 1/ 的空 间频率不能传输。
2.2.3孔径对角谱的影响
照明孔径的入射场和出射场关系 入射到孔径面上的场 Ui 衍射面出射场 Uo 衍射屏的透过率 t 入射、出射光角谱关系
T是t的傅里叶变换
反映了结构对出射场角谱的影响。
用单位振幅的平面波照射衍射屏（单一频谱）
孔径输出
用函数表征的入射光场的角谱变成了孔径函数的傅里叶 变换。空域上看是孔径限制了波面.输出波面与孔径一致。
2.4.2 透镜的傅里叶变换特性
用正透镜观察夫琅和费衍射；（实现傅里叶变换的途径）
（1）平行光照明下，在透镜的后 焦面上观察（在无穷远处照明,光 源的共轭面）。
（2）照明光源的共轭面上 物的位 置会影响衍射图样的大小， 但图样 分布图样不变。
1. 物在透镜之前
透明片的振幅透过率t（x0，y0），所在位置称输入面. 薄透镜的P1、P2面重合。 单色点光源发出的球面波在物的 前表面Σ0上的场分布为
2.3菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
2.3.1菲涅耳衍射 由菲涅耳衍射公式
在推导上式时，将r近似为，
第三项引起位相变化 当ϕ《2，即 为菲涅耳衍射的充分条件。
由近似的传递函数H推导菲涅耳公式
当
作展开
第三项的贡献远小于2。 z应满足 由几何关系 代入上式 与（2.3.2）一致
在菲涅耳衍射区
代入H表达式
透过物体后，即从输入面出射光场
忽略 exp( jkz )
到达透镜平面，（菲涅耳衍射公式）
通过透镜后的场分布（相位变换）
在输出面上，即光源的共轭面上光场分布 （再经一次菲涅耳衍 射，P（x,y)的作用转移到积分限）
的傅里叶变换。图样与z相关。 照明衍射物时，可使得指数
部分相消，得到U（x0,y0)的傅里叶变换。
2.3.2泰伯效应 1836 年 Talbot 发现，光源照 射周期物体，在透明片后的一些 距离上有自成像现象。 周期物体 物分布的空间频率 菲涅耳传递函数表达式 计算观察面上场分布的频谱
当z满足
exp 〔 − j 2πmn 2〕
光的衍射现象： 当波面受到限制时都会表现 出衍射现象。如光通过｛单缝、 孔、光栅｝等产生偏离直线传播 的现象。
对光波的限制作用表现在： （1） 引起振幅分布变化（孔、狭缝、黑白光栅，照片底片） （2） 引起相位变化，即波面面形变化，（透镜、有折射率分布的 平板） 光波的衍射效应产生于光波的波动性。 光波是电磁波，因此是矢量波，精确描述与光波有关的现象应 当用电磁场理论-----麦克斯韦方程, 通过研究电磁场的边值问题，得 到解答;但普遍的解很复杂。实际应用上在很多情况下可以采用基尔 霍夫标量衍射理论处理。
观察面上的场分布正比于孔径面上出射场的傅里叶变换。其夫 琅和费衍射就是屏函数的傅里叶变换。空间频率值取
ξ＝x/l z; h =y/l z
夫琅和费衍射图样不随z改变，但图样会有缩放。
菲涅耳近似范围 夫琅和费近似范围
2.4.1透镜的相位变换作用
物点S经透镜成像在 S΄。透镜两顶点O1和O2，对于薄透镜，入 射和出射参考面P1、P2光线的入出高度相同(取相同的坐标系）。 透镜的复振幅透过率为
由cos＝ξ；cos＝
对
作傅里叶逆变换
孔径平面（x0,y0） 场分布U0(x0,y0) 角谱 观察面（x,y） 场分布U(x,y) 角谱
即
H表达式
H的逆变换
与傍轴近似下推导的脉冲响应相同.
h(x-x0,y-y0)代入
和菲涅耳衍射公式（2.1.22）相同。
将指数项中平方项展开，输出为
形式上可看成是 当用会聚光源
物理光学的应用 (1) 解释光学成像，发展出成像理论，研究孔径作用和影 响分辨率因素； (2) 图像处理、识别和分类； (3) 全息成像非破坏性的评估和测量； (4) 二元光学器件设计，用于波面校正，光束整形，光束 阵列发生器； (5) 天线和阵列设计； (6) 干涉仪； (7) 光谱仪； (8) 光运算。
1.惠更斯－菲涅尔 原理的数学表述
为光波的一个波面； U0（P）-------波面上任一点P的复振幅 U（Q）------光场中任一观察点Q的复振幅 K（θ）-------倾斜因子，表示 子波对Q的作用与角度有关。 C为常数. 问题 1）菲涅尔认为 即波面上任一点作为子 波源时，其振动相位超 前于光波传输到该点的 振动 π /2，振幅差1/λ。 2）K(θ)的表达式不能确定。
当用平面波垂直于P1面入射时U1(x,y)=1，P2上的分布为
正透镜 f>0 ，U1′是向透镜后方焦点F′会聚的球面波。 负透镜 f<0 ， U1′是由透镜前方虚焦点F发散的球面波。 实际透镜有一孔径，透镜孔径函数（光瞳函数）为
透镜的相位变换因子为
只要满足傍轴条件，就可对任意的入射波进 行变换。薄透镜的相位变换特性与入射波无关。
对衍射物（如孔 径）尺度远大于波长 ，观察点离衍射物不 太近时标量衍射理论 是适用的。当衍射物 的精细结构与波长可 比时该理论不适用。 矢量衍射理论还没有 发展成熟。
按照近似程度的不同，衍射场的计算可分为 （1）菲涅尔衍射―――――观察屏离衍射物不太远 （2）夫琅和费衍射――――光源与观察屏距屏都相当于无 穷远
(1). 亥姆霍兹方程
Q点的振动满足标量波动方程 为拉普拉斯算子 复振动u 可表示为复振幅与时间因子乘积
代入波动方程得 (亥姆霍兹方程) k＝2π/λ 为波数 亥姆霍兹方程与时间变量无关。亥姆霍兹方程与波动方程有相 同的重要意义。
亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理 亥姆霍兹方程 格林定理 任意复函数U和G在曲面Σ′及其内部都 有连续的一、二阶导数，则 Σ′ V Σε′ ε Q n n
若G也满足亥姆霍兹方程， 连同 则积分式左边为零 代入积分公式
选择G具有球面波形式 r表示Σ′内被考察点Q与V内任意一点P 的距离，r=0处，G为奇异点，需除去 Σ′ V Σε′ 将G的球面波形式代入， 在Σε′面上 n n ε Q
考虑ε→0的极限，在Σε′上
U和U的一阶微 商的连续性
有限
由
称亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理 曲面Σ′内任意一点Q的场值可以用曲面 上的场值U和∂U/∂n来表示。
在傍轴近似下，S点光源发出 发散球面波在P1上的场分布为
经透镜变换后，向S′点会聚。 在P2面上是会聚的球面波
x0=0, y0=0, z = p
因p、q是常数。
和
只引起常量的相位变化。
ห้องสมุดไป่ตู้
不影响P1、P2面上的位相相对分布，分析时可略去。 透过率因子 由透镜成像公式
得
说明透镜的相位变换作用是把一个发散的球面波变换成会聚的 球面波。
当光源P0 离开孔径较远，入射光在孔径上 各点入射角不大，(注意n 和r0的方向)
傍轴条件
如果观察面离开孔径较远且距离z远大于孔径，并且满足傍轴条件， 则
因此，倾斜因子的作用可忽略。
考察在傍轴条件下r、z的近似。分母r可用z 代替，但是在指数部分，要精确表达为
点扩散函数变成
孔径面坐标轴x0y0, 观察点位于xy面，复振幅
(6).复振幅透过率 衍射屏后的复振幅与屏前的复振幅之比。
t(P)可以是任意的图形， 或相位调制图 案；如光栅、照片、透镜、缝、孔等。
2.1.2惠更斯－菲涅尔原理与叠加积分
在基尔霍夫衍射公式中，令
则 为叠加公式。
h(P,Q)的物理意义： 整个积分是对面进行的；面元ds对观察点Q贡献 h(P,Q)表示在P点有一单位脉冲[U0(P)dS=1]时， 对 Q 点复振幅贡献。 h(P,Q) 称为脉冲响应或点扩 散函数。 Q点的复振幅U(Q)是面上所有面元的光振动在Q点引起复振幅 的相干叠加。 衍射过程可以视为U0到 U的线性系统的线性变换。 h(P,Q)代表了系统的全部性质。
当z足够大时展开式中第三项可忽略。即k[第三项]<<2π，这个近似 称菲涅耳近似或傍轴近似. 这时
(1)傍轴近似下的脉冲响应
将 代入
得 (2)傍轴近似下的菲涅耳衍射公式 将点扩散函数h(x-x0,y-y0)代入 观察面上的场可表示为叠加积分
＝
1 k exp( jkz )U 0 ( x, y ) *exp[ j ( x 2 y 2 )] jz 2z
Σ′ V Σε′ ε Q n n
(2).基尔霍夫衍射公式 衍射问题可简化为，研究光源P0发出的球面波照明无限大的 不透明屏上孔，计算孔径右边空间（衍射场）某点Q处的场值。
运用格林定理，可推导出更 严格的衍射公式，称基尔霍夫衍 射公式。
(3)索末菲辐射条件
由基尔霍夫衍射公式
证明 在s2上（n指向外）
时
作傅里叶逆变换得 光强 于是在
的距离上可观察到周期物体 的像（＋）。Zt为泰伯距离。 同样在 的距离上可观察到周期物体的负像（－）。
原物：
泰伯距离: zT = 像：
2d 2 自成像发生在泰伯距离的整数倍上.
λ
思考: 在两个自成像位置的中间位置, 光强度分布如何变化?
#
2.3.3夫琅禾费衍射 在菲涅耳衍射公式中当z增大到 可略去，即 或 该范围内的衍射为夫琅和费衍射
2.1基尔霍夫衍射理论
2.1.1惠更斯－菲涅尔原理与基尔霍夫理论
惠更斯原理 波前上每一点都可看作一个次级扰动中心，发出球面子波；在 后一时刻这些子波的包络就是新的波前。 惠更斯－菲涅尔原理 由于子波来源于同 一光源，它们是相干 的，因而波前外任一 点的光振动应是波前 上所有子波相干叠加 的结果。 要点： 子波相干叠加
相当于用二次抛物面代 替球面子波。
菲涅耳原理 傍轴近似
2.远场近似
r可表示为
当孔径面远小于z时 于是
可忽略。
称夫琅和费近似或远场近似。脉冲响应为
h不再是x-x0; y-y0的函数。不具有空间平移不变性。
2.2衍射的角谱理论
2.2.1单色平面波与本征函数 对于菲涅耳衍射，相干光场在给定两平面间的传播可看做通过 二维线性空不变系统。对于单色平面波 在空间传播一段距离后只是改变了相位，即乘了一个复常数。符合 本征函数的定义。 2.2.2角谱的传播 孔径光场可看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性 组合。每一分量的相对振幅和位相取决于角谱 。 孔径平面（x0,y0） 场分布U0(x0,y0) 角谱 观察面 （x,y） 场分布U(x,y) 角谱
变为
基尔霍夫衍射公式推导
设孔径的线度远大于波长，但远小于孔径到P0和Q到距离。 设∑上各点P的光场为
同理对G有
代入
称基尔霍夫衍射公式
(5).基尔霍夫衍射公式 已推导出的结果
与菲涅尔－惠更斯关系 孔径平面上复振幅分布是由球面波产生的， 可表示为
惠更斯－菲涅尔原理
代入菲涅尔－惠更斯公式得
与菲涅尔－惠更斯表达式比较得 依据基尔霍夫假设孔径外的阴影区场强为0，积分区可扩大到无穷。
1 1/R<<k, 1/R项可忽略
对S2的积分为
因此只要在任何方向上都有
则S2上的积分趋于0。这时
U(Q)的值由孔径部分的场和屏后部分的场确定。
索末菲条件成立原因
如果S2为一球面波，向外发散
所以有
(4)基尔霍夫假设 1)在孔径∑上，U和∂U/∂n的值由入射波决定，与不存在不透明 屏S1时完全相同； 2)在不透明屏部分S1面上各点有U 和∂U/∂n＝0。（该假设不自洽）
2.1.3相干光场在自由空间传播的平移不变性
Q点的复振幅U(Q)是面上所有面元的光振动在Q点引起复振幅 的相干叠加。 衍射过程可视为将U0 到 U的线性系统 的线性变换。h（P,Q）代表了系统的全部 性质。h是孔径平面坐标和观察平面坐标的 函数h(x’,y’,x,y)。下面我们考察在什么条件 下光场在自由空间传播满足平移不变性。 考察 其中
说明孔径上的透射场 U0(x0,y0) 和观察面上的光场 U(x,y) 之间存在 着卷积关系。 即当倾斜因子的作用可忽略时，光波在衍射孔径后的传播过程可 看成是光波通过一个线性平移不变系统。
2.1.4相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式 1. 傍轴近似 脉冲响应表达式为
表达式很复杂。r可表示为 当 时 、 都是小量，r可展开为
对孔径和观察面的傅里叶变换为
研究目的：找A0()和A()的关系。注意A()是z的函数 对U(x,y)应用亥姆霍兹方程
被积函数应为0，整理后得
解方程得
z=0处A=A0，于是
因此
讨论： 当 时
说明随z增大相应的角谱分量迅速减小，该分量称倏逝波。 从系统传输的角度看
把频谱作为输入和输出，传递函数为 角谱理论从频域上 讨论光的传输 。 可将系统视为低通 滤波器。高于 1/ 的空 间频率不能传输。
2.2.3孔径对角谱的影响
照明孔径的入射场和出射场关系 入射到孔径面上的场 Ui 衍射面出射场 Uo 衍射屏的透过率 t 入射、出射光角谱关系
T是t的傅里叶变换
反映了结构对出射场角谱的影响。
用单位振幅的平面波照射衍射屏（单一频谱）
孔径输出
用函数表征的入射光场的角谱变成了孔径函数的傅里叶 变换。空域上看是孔径限制了波面.输出波面与孔径一致。
2.4.2 透镜的傅里叶变换特性
用正透镜观察夫琅和费衍射；（实现傅里叶变换的途径）
（1）平行光照明下，在透镜的后 焦面上观察（在无穷远处照明,光 源的共轭面）。
（2）照明光源的共轭面上 物的位 置会影响衍射图样的大小， 但图样 分布图样不变。
1. 物在透镜之前
透明片的振幅透过率t（x0，y0），所在位置称输入面. 薄透镜的P1、P2面重合。 单色点光源发出的球面波在物的 前表面Σ0上的场分布为
2.3菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
2.3.1菲涅耳衍射 由菲涅耳衍射公式
在推导上式时，将r近似为，
第三项引起位相变化 当ϕ《2，即 为菲涅耳衍射的充分条件。
由近似的传递函数H推导菲涅耳公式
当
作展开
第三项的贡献远小于2。 z应满足 由几何关系 代入上式 与（2.3.2）一致
在菲涅耳衍射区
代入H表达式
透过物体后，即从输入面出射光场
忽略 exp( jkz )
到达透镜平面，（菲涅耳衍射公式）
通过透镜后的场分布（相位变换）
在输出面上，即光源的共轭面上光场分布 （再经一次菲涅耳衍 射，P（x,y)的作用转移到积分限）
的傅里叶变换。图样与z相关。 照明衍射物时，可使得指数
部分相消，得到U（x0,y0)的傅里叶变换。
2.3.2泰伯效应 1836 年 Talbot 发现，光源照 射周期物体，在透明片后的一些 距离上有自成像现象。 周期物体 物分布的空间频率 菲涅耳传递函数表达式 计算观察面上场分布的频谱
当z满足
exp 〔 − j 2πmn 2〕