高三数学 第一轮复习导数及其应用课件(原创)

∵函数
y=(t-1)2-
2n m
+1
在
[1,
+∞)
上是增函数,
∴f(x) 在 [m, mn ) 上是减函数, 在 [ mn, n) 上是增函数.
(2)证: 由(1)知 f(x) 在 [m, n) 上的最小值为 f( mn )=2(
n m
-1)2,
最大值为
f(m)=(
n m
-1)2.
∴对任意的 x1, x2[m, n), 有
且仅当x＝1时取到．从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>
成立．
导数的应用举例
已知函数 f(x)=lnx. (1)求证: 当 1<x<e2 时, 有 x<
证: 当 x>a>0 时,
恒有
ax
<
x-a f(x)-f(a)
<
x+a 2
.
2+f(x) 2-f(x)
;
(2)求
证: (1)∵x<e2,
∴f(x)=lnx<2.
2
[法二]
当m 0时, 2 显然不成立；
当m 0时, 2 显然不成立；
当m 0时,
当m 0时m, 0
或2 或 2 mg(m mg(1mg0)1(2g0)或 (1m 0)m1m2)2mm m22m2,下 m 2m 2同法 0022
0
0
一.
m 2或m 2, 下同法一.
例6、已知函数f (x) 6 ln x ax2 例8x6、 b已(a知、函b为数常f (数x))， 6且lnxx3ax2
3．会利用导数解决某些实际问题. 4. 会计算常见函数的定积分，利用定积分会求曲边图形的面积.
一、知识梳理
f '(x) 0
f (x) f (x0)
f '(x) 0, f (x) f (x0)
二、基础练习
B
Retur n
三、能力提升
(高考命题研究专家原创卷)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
.
∴
∴ln
x a
>
2(axax+-11)
.
x-a lnx-lna
<
x+a 2
,即
x-a f(x)-f(a)
<
x+a 2
.
记
h(x)=lnx-
x-1 x
,
则 h(x)=
1 2
(
x
x -1)2 x
<0,
∴h(x) 在 (1, +∞) 上为减函数. ∴h(x)<h(1)=0.
∴对任意的 x(1, +∞),
转化成xln x>
.
证明xln x的最小值不小于
的最大值．
解：(1)f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)＝0，则x＝ .
当x∈
时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈
时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
①当0<t< <t＋2，即0<t< 时，f(x)min＝f( )＝－ ； ②当 ≤t<t＋2，即t≥ 时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，
|f(x1)-f(x2)|≤(
n m
-1)2-2(
n m
-1)2
=( mn
)2-4
n m
+4
n m
-1.
令 u=
n m
,
h(u)=u4-4u2+4u-1.
∵1≤m<n≤2,
∴1<
n m
≤2.
∴1<u≤ 2 .
∵h(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u+
5+1 2
)(u-
5-1 2
)>0,
∴h(u) 在 (1, 2 ] 上是增函数.
因为对一切x∈(0，＋∞),2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.
(3)问题等价于证明xln x>
(x∈(0，＋∞))，
由(1)知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－ ，当且仅当x＝ 时取到．设
m(x)＝
(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝
，易得m(x)max＝m(1)＝－ ，当
又 g(x) 在 x=1 处连续, ∴g(x)>g(1)=0.
∴
lnx>
2(x-1) x+1
成立.
∴当
1<x<e2
时,
有
x<
2+f(x) 2-f(x)
成立.
证:
(2)由(1)知对任意的
x(1,
+∞),
都有
lnx>
2(x-1) x+1
成立.
∵当 x>a>0 时,
x a
>1,
∴
lnx-lna>
2(x-a) x+a
mn )(x-
mn )
∵1≤m≤x<n≤2,
∴
2 m2x3
>0,
x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,
x+
mn >0.
∴由 f(x)<0 得 m≤x< mn ; 由 f(x)>0 得 mn <x<n.
∴f(x) 在 [m, mn ) 上是减函数, 在 [ mn, n) 上是增函数.
另解:
由题设
∴要证
x<
2+f(x) 2-f(x)
成立,
只要证明 x(2-lnx)<2+lnx,
即
lnx>
2(x-1) x+1
成立.
记
g(x)=lnx-
2(x-1) x+1
.
则 g(x)=
1 x
-
4 (x+1)2
=
(x-1)2 x(x+1)2
.
∵当 x>1 时, g(x)>0, ∴g(x) 在 (1, +∞) 上为增函数.
恒成立？若存在，求
m
的取值范围；若不存在，请说
明理由.
明理由.
[解析]
(1) f '(x) 4 2ax 2x2
Q f (x)在[1,1]上是增函，f '(x)0对x[1,1]恒成立. 即x2 ax 2 0对x [1,1]恒成立 1
设 (x) x2 ax 2
1
a 2
0
(1) 1 a 2 0
式|f(x1)-f(x2)|≤4 2 -5 恒成立.
(1)解:
∵f(x)=( mx
-1)2+(
n x
-1)2
=
x2 m2
+
n2 x2
-
2x m
-
2n x
+2,
∴f(x)=
2x m2
-
2n2 x3
-
2 m
+
2n x2
=
2 m2x3
(x4
-m2n2-mx3
+m2nx)
=
2 m2x3
(x2-mx+mn)(x+
∴h(u)≤h( 2 )=4-8+4 2-1=4 2 -5.
故对任意 x1, x2[m, n), |f(x1)-f(x2)|≤4 2 -5 恒成立.
例例
33：：已已知知
ff((xx))== 44xx
aaxx 2
2 33
xx 3 ((xx
RR))在在区区间间
3
例变3式：：已[[－－知11f，，(x)11=]]上上4x是是 增增ax函函2 数数2..x3 (x R) 在区间 [－1，1]上是增函数.
f(x)=(
x m
+
n x
-1)2-
2n m
+1.
∵1≤m<n≤2, x[m, n),
令
t=
x m
+
n x
,
则 t ≥2
x m
n x
=2
n m
>2,
t=
1 m
-
n x2
.
∴由 t<0 得 m≤x< mn ; 由 t>0 得 mn <x<n.
∴t(x) 在 [m, mn ) 上是减函数, 在 [ mn, n) 上是增函数.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞),2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>
成立．
思路点拨：(1)求出f′(x)，对t进行讨论，(2)列出a的不等式，求a的取值范围
转化成求函数的最值，(3)把不等式ln x＞
都有
lnx<
x-1 x
.
同理可证
ax
<
x-a f(x)-f(a)
.
∴
ax
<
x-a f(x)-f(a)
<
x+a 2
.
导数的应用举例
已知函数
f(x)=(
x m
-1)2+(
n x
-1)2
的定义域为
[m,
n),
且 1≤m<n
≤2. (1)讨论 f(x) 的单调性; (2)证明: 对任意 x1, x2[m, n), 不等
第10讲 导数(含积分)的运算与应用
知识梳理 基础练习 能力提升
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1. 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的 单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、 极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小 值(其中多项式函数一般不超过三次)．
3 x3220x.
1 3
x3
1 3 ,
x
3
,
得
(2)由4x : x 0或x2
ax2 2 3x3 ax 32
0.
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
得:xa02或x820a,xx21,x02是. 方程
得21:xx0a22的2xxxx0要1111两或xx08a使的22a个xxx2x221122不两x0非82,228等a个xaa零x2,,式从 从x0非实3要12,m.,a2而 而零x根使,2xx从2x.xx是实1110不11x,而t.m2x方根等x2xxx.是2程221式12方maxx,22程2x从aa122ax而tmx2x88ax221对a1x33任8..要2x2x2意使1xx30a11.的不0x2x的2a两2等x2对82两式个任 28个ma0非,,2意非从3零.而零txm实1 ,实xx根112根.是x. 方2x1程 xax22
1 要 要x使 使1a不 不x等 等2A对及式 式任mmt 22意[att1mm,1A]恒及11 成t xx立[11,1当,xx1且22]恒对 对仅成任 任当立意 意m,a当2 且A仅及t当m[21,1]恒成立,当且仅当
意立1tm,1,不aaa mtmt当是不a2]mm[恒222等2{mgg等 且1设Am或mAA成A((mt,式11及11mtt式及 及仅及g|mmm)]21立m恒2mt(ggm设)2或 ttttgg当((332设或.)11((m成2对 对tg[1m)221mmmg[即([[2m)t2)1t21m立(m或任 任t2)3,2t1m.m111)00对,m2],,m1m2意 意112恒对 对2m1]mt存m]]2恒2.2m恒 恒任m1tt成t22任 任.m2m0在成22存m成 成x意立对2[[2意 意t1存mx1m}立实t在2t,t立 立1.2m0任11其ttm2在2,x,,数0实11其,,223[取0当 当意x]]实[[m对恒 恒对数0222取0不a1值t对且 且2,11数0m任,成 成任使1值,,等范11,m]任m仅 仅0[意恒]]使 A立 立意恒 恒范对,围式及意使1当 当成..是 不 at围,成 成m2任12tggmm设即 即或]{等立((是 不 a 2恒mm 立 立[1A意222g[m)式1.及|{成(等 1tt)mmt1m mm,2A即tgg)221,设m或1立mt式 ((2]及 [1|m]m恒2恒g[2m)2m12m1m(或 221.tt)ggt成1设 m成或 2,2)m,((1m12m1t1]存m]mmx立g[立恒2恒2m )21m1t1(或 2m.t3)在2.,t1成m2成m其对)2,22m xm1存即mx实}立 2立]m t21.取0任2恒 m2在对2,m 1数00其 2.2值意x对 实成 m任2m222取02t范对,任存 数 m 0x意}立 使值t1.m围任m[意在 2,范,其 意使21tx实 围,122取 0][恒对 数 0值 1成m任 ,1范 ],立恒意 使围 .
非不恒明恒明零等成理成理实式立由立由根m？？为..2+若t若mx1、存+存1x≥在在2.试|，，x1问－求求：x2mm|是对的否的任存取取意在值值a∈实范范A数围围及m；；，t∈若不恒若使[－不等成不得1存式立存，在？在1m]，若，2+请存请tm说在说+1，≥求|x1－m
x2|对任意 的取值范
a∈ 围；
或
a 2
0
0 a 1
(1) 1 a 2 0
或 1 a 0 1 a 1.
对x [1,1], 只有当a 1时, f '(1) 0 以及当a 1时, f '(1) 0, A {a | 1 a 1}.
[法一] (2)由4x ax2 2 x3 2x
得(2:)由x 4x0或 axx22a32x
（Ⅰ）求实数 （Ⅰ）求实数
a a
的值3组成的集合
的值组成的集合
AA；；
（Ⅰ）求实数
[－1，1]上是增函数. （（（ⅠⅡⅡ）））求设设实数关关于于a 的xx值的的组方方成程程的集ff((xx合))==A22；xx
11 33
xx33 的的两两个个
（Ⅱ）设关于
a x
的值组成的集合 A；
的方程 f(x)=2x 1
f(x)min＝f(t)＝tln t．所以f(x)min＝
.
(2)2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋ .
设h(x)＝2ln x＋x＋ (x>0)，则h′(x)＝
.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，
h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4.
（非不非不Ⅱ零等零等）实式实式设根根关mm于为为22++txtmxmx的11、、++方11x≥x≥程22..试试||xxf1(1问问－x－)=：：xx222|是x|是对对否否任任13存存意意x 3在在的aa∈实∈实两A数A数个非及及零mm，t实，t∈∈使根使[[－－得得为11，，x11、1]]
3
x2.试问：是否存在实