1.1.1变化率问题 (第一课时)

思考 当空气的容量从V1增加到V2时,气球的平
均膨胀率是多少? r r V2 r V1
V
V2 V1
问题二：高台跳水
人们发现, 在高台跳水运动中, 运动员相对于水
面的高度 h 单位: m与起跳后的时间t单位: s
存在函数关系ht 4.9t2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里,
v
h0.5
0.5
h0
0
4.05
m
/
s
;
在1 t 2这段时间里,
v
h2
2
h1
1
8.2
m
/
s.
探究 计算运动员在0 t 65 这段时间 49
里的平均速度,并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2你认为用平均速 度描述 运动员运动
状态有什么问题吗?
v h h t2 h t1
t
t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10
的图像，结合图形可知，h(65) h(0) ，
所以，
49 h
h( 65) h(0)
v 49
0(s / m)
65 0
49
O t 65 65
t
虽然运动员在
0 t 65 49
问题一：气球膨胀率
在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 从数学 的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道,气球的体积V 单位 : L与半径r(单
位
:
dm)之间的函数关系是V
r
4 3
r3,
如果把半径r表示为体积V的函数,那么
rV 3
3V
4
.
当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了
(1)y＝ax＋b； (2)y＝ln x.
例2：(1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；
(2)求函数f (x) = x2 在x=x0附近的平均变
化率。
1.1.1. 《变化率问题》
创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在 数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分， 微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体 在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
平均速度
r(v2 ) r(v1) (dm / l) v2 v1
v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的
平均变化率
f (x1) f (x2 ) x1 x2
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1)表示 x2 x1
x
x2 x1
1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
y x
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3、变式:
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
x
题型一：求函数的平均变化率
例1： 若自变量x的增量为Δx，求下列函数的 增量Δy.
98 49
这段时间里的平均
速度为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然
运动，并非静止，可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态．
在例1中：对于函数
r 3 3v
4
当空气容量从V1增加到V2时,
气球的
平均膨胀率
在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在0s到0.5s内的
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、 变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另 一个变量变化的快慢程度．
学习目标
1、理解平均变化率的概念; 2、会求函数在某一区间上的平均变化率； 3、会求函数在某点处附近的平均变化率。
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为 Vf f(x2 ) f (x1)
Vx
x2 x1
理解
y f (x2 ) f (x1)
r1 r0 0.62cm,
气球的平均膨胀率为 r 1 r 0 0.62dm / L.
1 0 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径
增加了r2 r1 0.16dm,
气球的平均膨胀率为 r 2 r 1 0.16dm / L.
2 1 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨
胀率逐渐变小了.