大学物理第9章 恒定电流
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I
E0
R AB R r
k
E0
,r
R
εx εs
A
D
x
B
IR Ax IR AD
R Ax R AD
R Ax R AD
k1
Es
k2
G
Ex ε s
εs
l Ax l AD
Ex
练习：在如图所示的电路中，已知E1=12V， E2=
E3 =6V，R1=R2=R3=3，C=10F，设电源内阻均 忽略不计，试求电势差Vab，Vac，Vbc及电容C上的 电量。
解：设回路中电流的方向如图
I
1 2
R1 R 2
12 6 33
1( A )
R3 d
E3 C
a b
E1
R2 I
E2
（1）Vab=－E3 +IR2=－6+3=－3（V） （2）Vac=－E3－ E2 =－6－6=－12（V） （3）Vbc=－E1+IR1 =－12+3=－9（V）
*9.8 温差电现象 9.8.1 帕尔捷电动势
求电流的分布
R1
I
解：设电流方向如图
I1 I 2 I 3 0
1 , r1
R3
II
R2
I3
I1
I2
R4
对回路I ：
I 1 ( R1 r1 R 4 ) I 3 R 3 1 0
2 , r2
对回路II ：
I 2 ( R 2 r2 ) I 3 R 3 2 0
两层正、负电荷形成电偶极层，这个电偶极层产生 的电场指向金属外面，它是阻碍电子从金属表面的内 侧通过电偶极层跑到金属表面外侧，所以阻碍电子从 金属中逸出的力就是这电偶极层的静电力，反抗这静 电力所作的功就是逸出功。 F ------- ------++++++++++++
设金属外的电势为零，金属内的电势为U，那么 电子从金属表面逸出时所需的逸出功就等于eU，其 中e为电子电荷的绝对值，U称为逸出电势。
水池 泵
分析非静电力的作用 演示动画：电源的电动势
Fk
F
q
Fk q
K
为单位正电荷所受的 非静电力
W
q ( K E 电） d l
q K dl
L
L
qK dl
L
q E电 d l
=qE =ItE
9.2 欧姆定律 电阻率 欧姆定律微分形式 9.2.1 欧姆定律 部分均匀电路欧姆定律
I Va Vb R U R
V1
I
R
V2
或 U IR
R为比例系数，为电阻，单位为
电导： 电阻：
G
1 R
单位为西门子（S=-1）
l
R
l
Байду номын сангаас
S
S
（注意l与S 的取值）
9.2.2 电阻率 ( m) 与材料和温度有关
具有超导电性的物体称为 超导体（superconductor )
在这特定的温度下从 正常态变为超导态， 这温度叫做转变温度 或居里点。
0.16 0.08 0 2 4
He
T(K）
如He在4K以下电阻变为零
迄今为止，已发现28种金属元素（地球的常态下）以 及合金和化合物具有超导电性。还有一些元素只高压 下具有超导电性。提高超导临界温度是推广应用的重 要关键之一。超导的特性及应用有着广阔的前景。
气体
半导体
对于许多导体（如电离了的气体）或半导体，欧 姆定律并不成立。气体中的电流一般与电压不成正 比。
*9.3 金属导电的经典电子论的基本概念
1.无规则运动（热运动）平均速率
v
8 kT m
与m有关，所以电子的运动速率远大于分子，数 量级约105 m/s
2.平均定向（漂移）运动速率：u 数量级约10-4 m/s 是由电子在外电场的作用下获得的，无外电场时，定 向运动速率为零。电子运动=热运动+定向运动 3.j 与 u 的关系
R2
II
I2
对回路I ：
I 1 ( R1 r1 ) I 3 R 3 1 0
对回路II ：
I 2 ( R 2 r2 ) I 3 R 3 2 0
I 2 I 3 I1 4 I 1 4 I 3 12 2 I 4 I 8 3 2
例：如图
1 12 V , r1 1Ω , 2 8V , r2 0 . 5Ω , R 1 3Ω , R 2 1 . 5Ω , R 3 4Ω
试求通过每个电阻的电流
R1
解：设电流方向如图
I1 I 2 I 3 0
1 , r1
2 , r2
R3
I3
I
I1
9.2.3 欧姆定律的微分形式 如图一段电阻率为的导体 电阻dR为：
dR dl S
dU dR
dl
j
S
据一段均匀导体的欧姆定律有
I dU dR dU I S S 1 dU
dl
dl
即
j
1
E E
1 j E E
欧姆定律的微分形式
对于一般的金属或电解液，欧姆定律在相当大的 电压范围内是成立的，即电流和电压成正比。
I nes u
j ne u
S
u
j
9.4
电源
电动势
+ –
为了在导体内部形成稳恒电流 必须在导体内建立一个稳恒电场。 9.4.1 电源
• 单靠静电场不能在导体中维持稳恒的电流流动
• 必须有非静电力把正电荷从负极板搬到正极板， 才能在导体两端维持有稳恒的电势差，在导体中 维持稳恒的电场及稳恒的电流。 • 静电力使正电荷从高电势移到低电势 • 非静电力使正电荷从低电势移到高电势 电源：提供非静电力的装置 把其它形式的能量转换为电能
U
A
UB
IR
i i
i
Ei
i
R1
0
i
IR i
Ei
i
I
Ei R
i
I
R4
1 , r1
2 , r2
R2
R3
3 , r3
回路电压方程
基尔霍夫方程组
Ii 0 IiR i
节点电流方程
Ei 0
回路电压方程
若有n个回路，则有(n-1)个独立的回路电压方 程，有n个节点也只有（n-1）个是独立的。
电源的功
9.4.2 电动势
E
K dl
把单位正电荷从负极板经内电路搬至正极板，电 源非静电力做的功。
* 为了便于计算,规定 E 的方向由负极板经内电路
指向正极板，即正电荷运动的方向。
+ -
方向从负极指向正极
单位：焦耳/库仑=（伏特）（V）
* E 越大表示电源将其它形式能量转换为电能的本
例1: 一块扇形碳制电极厚为t，
电流从半径为r1的端面S1流向半 径为r2的端面S2，扇形张角为 。求S1和S2面之间的电阻。
S2 S1
I
t
r1
r2
解:扇形碳制电极横截面的面积不是常数，因此在
电极上取一半径为r，长度为dr的一微小长度，此 处电极横截面积为S=tr。其电阻为
dR
R
j//
S
j
电 流 线
由电流密度计算通过一个 有限截面S的电流强度
I
j dS
S
n
j
j j j//
电流强度就是电流密度矢量通过S面的通量
对封闭曲面 若是稳恒电流 S
j dS 0
I
S
j dS
－－稳恒电流条件
领越大。其大小与电源结构有关，与外电路无关。
因为电源外部没有非静电力，所以： E K dl
内电路
in
非静电力
如果整个回路中处处有非静电力，则：
E
K dl
9.5
基尔霍夫定律
R1
由多个电源和多个电阻的复杂联接
节点：三条或三条以上支路的联接点； 回路：几条支路构成的闭合回路。
( 4 ) Q C V ab 10 10
6 5
R1 c
3 3 10
(C )
9.6 电源的功率
9.6.1 电源的功率
电源的功
W q K dl
=qE =ItE
* 电源的瞬时功率：(单位时间内非静电力所做的功)
p IE
9.6.2 端电压 电源的输出与输入功率
端电压：静电力把单位正电荷由正极
移到负极所作的功 闭合回路欧姆定律
I
I
R
E
Rr
A
E, r
B
端电压：
开路时：
V A V B E－Ir
I
E0,r0 A B E,r
V A VB E
P I(V
A
输出功率
VB )
EI－I2r
2
充电时电源的输入功率为
P I I r
*9.7 电子的逸出功 要使电子能够从金属中逸出，必须反抗这作用力 作一定数量的功，这个功称为逸出功。
I 解得： 1 1 . 25 A , I 2 0 . 5 A , I 3 1 . 75 A ，I2与图示反向。
练习：如图
1 3V , r1 0 . 5Ω , 2 1V , r2 1Ω , R 1 4 . 5Ω , R 2 19 Ω , R 3 10 Ω , R 4 5Ω
E1 , r1 E2 , r2
R3
R2
II
I
9.5.1 基尔霍夫第一定律——节点电流定律
I
S
j dS 0
I2
I1
I3
n
Ii 0
i 1
节点电流方程
9.5.2 基尔霍夫第二定律——回路电压定律 一段不均匀（含源）电路欧姆定律
A
1 , r1
R1
2 , r2
B
R2
U A U B I ( r1 r2 R 1 R 2 ) E1－E2
I 2 I 3 I1 10 I 1 10 I 3 3 20 I 10 I 1 2 3
解得： I 1 0 . 16 A , I 2 0 . 02 A , I 3 0 . 14 A
电势差计 电势差计如图，E0为电动势比较稳定的电源，AB是 一根均匀电阻丝，Es是标准电池，它的电动势是已知标准 值，Ex为待测电动势。工作时，合上K后将K1、K2先合到 Es一侧，保持滑动接头位置D ，调R使G中无电流。再保持 R不变，K1、K2合向Es一侧，移动滑动接头寻找G无电流位 置x ，得出Es的值。
• 大小等于单位时间内在该点附近垂直于电荷运 动方向的单位截面上所通过的电量
| j | dI dS
dq dt dS
单位：安培/米2
设某点处电流密度为 j，n 为 dS
2. I 与 j 的关系：
S
面的法线方向
dI | j | dS jn dS j cosdS j dS
dl S
dr tr
r2
dr tr
t
ln
r2 r1
r1
例2： 同轴电缆的漏电阻。
dr
r
R1
R2
j
a
dR
R2
dr 2 ra
R
dR
dr 2 ra
2 a
ln
R2 R1
R1
超导体 当温度降到某一温度时，某些金属、合金
以及化合物的电阻率会突然降到很小，这种现象称 作超导电现象。
实验表明：化学纯的金属电阻率，都很有规律地 随温度的升高而增大。 在0℃附近、在温度变化不大的范围内，金属 的电阻率与温度的关系为：
0 [1 (T 2 - T1 ) ]
0是温度为零度时的电阻率，是电阻温度系数 电导率：
1
(S / m )
通常金属的电导率随温度上升而减小；电介质和 半导体的电导率随温度上升而增加。
1安培（A）=1库仑/秒
常用毫安（mA）、微安（A）
方向：正电荷运动的方向
9.1.2
电流密度
I
必要性：当通过任一截面的电量不
均匀时，用电流强度来描述就不够 用了，有必要引入一个描述空间不 同点电流的大小。
1. 电流密度矢量 j
• 空间某点处电流密度矢量 j 的方向为该点处正电 荷的运动方向 （或说为该点电场强度的方向） 在大块导体中各点j有不同的数值和方向，这就构成 一矢量场，即电流场。像电场用电场线来形象描绘 一样，电流场用电流线来描绘，曲线上各点的切线 方向代表该点的电流密度j的方向。
9.1 电流 电流密度 9.1.1 电流
形成电流的条件：
• 在导体内要有可以自由移动的电荷或叫载流 子 • 在导体内要维持一个电场，或者 说在导体两端要存在有电势差。 I 电流强度I 单位时间内通过导体任一截面的电量
I lim q t
t 0
dq dt
（I是电学的基本单位）
单位：安培
第九章 恒定电流
内容 ：
1. 电流 电流密度 2. 欧姆定律 电阻率 欧姆定律微分形式 *3. 金属导电的经典电子论的基本概念 4. 电源 电动势 5. 基尔霍夫定律 6. 电源的功率 *7. 电子的逸出功 *8. 温差电现象 9. RC电路的暂态过程
重点： 基尔霍夫方程 难点： 正确理解基尔霍夫方程回路
E0
R AB R r
k
E0
,r
R
εx εs
A
D
x
B
IR Ax IR AD
R Ax R AD
R Ax R AD
k1
Es
k2
G
Ex ε s
εs
l Ax l AD
Ex
练习：在如图所示的电路中，已知E1=12V， E2=
E3 =6V，R1=R2=R3=3，C=10F，设电源内阻均 忽略不计，试求电势差Vab，Vac，Vbc及电容C上的 电量。
解：设回路中电流的方向如图
I
1 2
R1 R 2
12 6 33
1( A )
R3 d
E3 C
a b
E1
R2 I
E2
（1）Vab=－E3 +IR2=－6+3=－3（V） （2）Vac=－E3－ E2 =－6－6=－12（V） （3）Vbc=－E1+IR1 =－12+3=－9（V）
*9.8 温差电现象 9.8.1 帕尔捷电动势
求电流的分布
R1
I
解：设电流方向如图
I1 I 2 I 3 0
1 , r1
R3
II
R2
I3
I1
I2
R4
对回路I ：
I 1 ( R1 r1 R 4 ) I 3 R 3 1 0
2 , r2
对回路II ：
I 2 ( R 2 r2 ) I 3 R 3 2 0
两层正、负电荷形成电偶极层，这个电偶极层产生 的电场指向金属外面，它是阻碍电子从金属表面的内 侧通过电偶极层跑到金属表面外侧，所以阻碍电子从 金属中逸出的力就是这电偶极层的静电力，反抗这静 电力所作的功就是逸出功。 F ------- ------++++++++++++
设金属外的电势为零，金属内的电势为U，那么 电子从金属表面逸出时所需的逸出功就等于eU，其 中e为电子电荷的绝对值，U称为逸出电势。
水池 泵
分析非静电力的作用 演示动画：电源的电动势
Fk
F
q
Fk q
K
为单位正电荷所受的 非静电力
W
q ( K E 电） d l
q K dl
L
L
qK dl
L
q E电 d l
=qE =ItE
9.2 欧姆定律 电阻率 欧姆定律微分形式 9.2.1 欧姆定律 部分均匀电路欧姆定律
I Va Vb R U R
V1
I
R
V2
或 U IR
R为比例系数，为电阻，单位为
电导： 电阻：
G
1 R
单位为西门子（S=-1）
l
R
l
Байду номын сангаас
S
S
（注意l与S 的取值）
9.2.2 电阻率 ( m) 与材料和温度有关
具有超导电性的物体称为 超导体（superconductor )
在这特定的温度下从 正常态变为超导态， 这温度叫做转变温度 或居里点。
0.16 0.08 0 2 4
He
T(K）
如He在4K以下电阻变为零
迄今为止，已发现28种金属元素（地球的常态下）以 及合金和化合物具有超导电性。还有一些元素只高压 下具有超导电性。提高超导临界温度是推广应用的重 要关键之一。超导的特性及应用有着广阔的前景。
气体
半导体
对于许多导体（如电离了的气体）或半导体，欧 姆定律并不成立。气体中的电流一般与电压不成正 比。
*9.3 金属导电的经典电子论的基本概念
1.无规则运动（热运动）平均速率
v
8 kT m
与m有关，所以电子的运动速率远大于分子，数 量级约105 m/s
2.平均定向（漂移）运动速率：u 数量级约10-4 m/s 是由电子在外电场的作用下获得的，无外电场时，定 向运动速率为零。电子运动=热运动+定向运动 3.j 与 u 的关系
R2
II
I2
对回路I ：
I 1 ( R1 r1 ) I 3 R 3 1 0
对回路II ：
I 2 ( R 2 r2 ) I 3 R 3 2 0
I 2 I 3 I1 4 I 1 4 I 3 12 2 I 4 I 8 3 2
例：如图
1 12 V , r1 1Ω , 2 8V , r2 0 . 5Ω , R 1 3Ω , R 2 1 . 5Ω , R 3 4Ω
试求通过每个电阻的电流
R1
解：设电流方向如图
I1 I 2 I 3 0
1 , r1
2 , r2
R3
I3
I
I1
9.2.3 欧姆定律的微分形式 如图一段电阻率为的导体 电阻dR为：
dR dl S
dU dR
dl
j
S
据一段均匀导体的欧姆定律有
I dU dR dU I S S 1 dU
dl
dl
即
j
1
E E
1 j E E
欧姆定律的微分形式
对于一般的金属或电解液，欧姆定律在相当大的 电压范围内是成立的，即电流和电压成正比。
I nes u
j ne u
S
u
j
9.4
电源
电动势
+ –
为了在导体内部形成稳恒电流 必须在导体内建立一个稳恒电场。 9.4.1 电源
• 单靠静电场不能在导体中维持稳恒的电流流动
• 必须有非静电力把正电荷从负极板搬到正极板， 才能在导体两端维持有稳恒的电势差，在导体中 维持稳恒的电场及稳恒的电流。 • 静电力使正电荷从高电势移到低电势 • 非静电力使正电荷从低电势移到高电势 电源：提供非静电力的装置 把其它形式的能量转换为电能
U
A
UB
IR
i i
i
Ei
i
R1
0
i
IR i
Ei
i
I
Ei R
i
I
R4
1 , r1
2 , r2
R2
R3
3 , r3
回路电压方程
基尔霍夫方程组
Ii 0 IiR i
节点电流方程
Ei 0
回路电压方程
若有n个回路，则有(n-1)个独立的回路电压方 程，有n个节点也只有（n-1）个是独立的。
电源的功
9.4.2 电动势
E
K dl
把单位正电荷从负极板经内电路搬至正极板，电 源非静电力做的功。
* 为了便于计算,规定 E 的方向由负极板经内电路
指向正极板，即正电荷运动的方向。
+ -
方向从负极指向正极
单位：焦耳/库仑=（伏特）（V）
* E 越大表示电源将其它形式能量转换为电能的本
例1: 一块扇形碳制电极厚为t，
电流从半径为r1的端面S1流向半 径为r2的端面S2，扇形张角为 。求S1和S2面之间的电阻。
S2 S1
I
t
r1
r2
解:扇形碳制电极横截面的面积不是常数，因此在
电极上取一半径为r，长度为dr的一微小长度，此 处电极横截面积为S=tr。其电阻为
dR
R
j//
S
j
电 流 线
由电流密度计算通过一个 有限截面S的电流强度
I
j dS
S
n
j
j j j//
电流强度就是电流密度矢量通过S面的通量
对封闭曲面 若是稳恒电流 S
j dS 0
I
S
j dS
－－稳恒电流条件
领越大。其大小与电源结构有关，与外电路无关。
因为电源外部没有非静电力，所以： E K dl
内电路
in
非静电力
如果整个回路中处处有非静电力，则：
E
K dl
9.5
基尔霍夫定律
R1
由多个电源和多个电阻的复杂联接
节点：三条或三条以上支路的联接点； 回路：几条支路构成的闭合回路。
( 4 ) Q C V ab 10 10
6 5
R1 c
3 3 10
(C )
9.6 电源的功率
9.6.1 电源的功率
电源的功
W q K dl
=qE =ItE
* 电源的瞬时功率：(单位时间内非静电力所做的功)
p IE
9.6.2 端电压 电源的输出与输入功率
端电压：静电力把单位正电荷由正极
移到负极所作的功 闭合回路欧姆定律
I
I
R
E
Rr
A
E, r
B
端电压：
开路时：
V A V B E－Ir
I
E0,r0 A B E,r
V A VB E
P I(V
A
输出功率
VB )
EI－I2r
2
充电时电源的输入功率为
P I I r
*9.7 电子的逸出功 要使电子能够从金属中逸出，必须反抗这作用力 作一定数量的功，这个功称为逸出功。
I 解得： 1 1 . 25 A , I 2 0 . 5 A , I 3 1 . 75 A ，I2与图示反向。
练习：如图
1 3V , r1 0 . 5Ω , 2 1V , r2 1Ω , R 1 4 . 5Ω , R 2 19 Ω , R 3 10 Ω , R 4 5Ω
E1 , r1 E2 , r2
R3
R2
II
I
9.5.1 基尔霍夫第一定律——节点电流定律
I
S
j dS 0
I2
I1
I3
n
Ii 0
i 1
节点电流方程
9.5.2 基尔霍夫第二定律——回路电压定律 一段不均匀（含源）电路欧姆定律
A
1 , r1
R1
2 , r2
B
R2
U A U B I ( r1 r2 R 1 R 2 ) E1－E2
I 2 I 3 I1 10 I 1 10 I 3 3 20 I 10 I 1 2 3
解得： I 1 0 . 16 A , I 2 0 . 02 A , I 3 0 . 14 A
电势差计 电势差计如图，E0为电动势比较稳定的电源，AB是 一根均匀电阻丝，Es是标准电池，它的电动势是已知标准 值，Ex为待测电动势。工作时，合上K后将K1、K2先合到 Es一侧，保持滑动接头位置D ，调R使G中无电流。再保持 R不变，K1、K2合向Es一侧，移动滑动接头寻找G无电流位 置x ，得出Es的值。
• 大小等于单位时间内在该点附近垂直于电荷运 动方向的单位截面上所通过的电量
| j | dI dS
dq dt dS
单位：安培/米2
设某点处电流密度为 j，n 为 dS
2. I 与 j 的关系：
S
面的法线方向
dI | j | dS jn dS j cosdS j dS
dl S
dr tr
r2
dr tr
t
ln
r2 r1
r1
例2： 同轴电缆的漏电阻。
dr
r
R1
R2
j
a
dR
R2
dr 2 ra
R
dR
dr 2 ra
2 a
ln
R2 R1
R1
超导体 当温度降到某一温度时，某些金属、合金
以及化合物的电阻率会突然降到很小，这种现象称 作超导电现象。
实验表明：化学纯的金属电阻率，都很有规律地 随温度的升高而增大。 在0℃附近、在温度变化不大的范围内，金属 的电阻率与温度的关系为：
0 [1 (T 2 - T1 ) ]
0是温度为零度时的电阻率，是电阻温度系数 电导率：
1
(S / m )
通常金属的电导率随温度上升而减小；电介质和 半导体的电导率随温度上升而增加。
1安培（A）=1库仑/秒
常用毫安（mA）、微安（A）
方向：正电荷运动的方向
9.1.2
电流密度
I
必要性：当通过任一截面的电量不
均匀时，用电流强度来描述就不够 用了，有必要引入一个描述空间不 同点电流的大小。
1. 电流密度矢量 j
• 空间某点处电流密度矢量 j 的方向为该点处正电 荷的运动方向 （或说为该点电场强度的方向） 在大块导体中各点j有不同的数值和方向，这就构成 一矢量场，即电流场。像电场用电场线来形象描绘 一样，电流场用电流线来描绘，曲线上各点的切线 方向代表该点的电流密度j的方向。
9.1 电流 电流密度 9.1.1 电流
形成电流的条件：
• 在导体内要有可以自由移动的电荷或叫载流 子 • 在导体内要维持一个电场，或者 说在导体两端要存在有电势差。 I 电流强度I 单位时间内通过导体任一截面的电量
I lim q t
t 0
dq dt
（I是电学的基本单位）
单位：安培
第九章 恒定电流
内容 ：
1. 电流 电流密度 2. 欧姆定律 电阻率 欧姆定律微分形式 *3. 金属导电的经典电子论的基本概念 4. 电源 电动势 5. 基尔霍夫定律 6. 电源的功率 *7. 电子的逸出功 *8. 温差电现象 9. RC电路的暂态过程
重点： 基尔霍夫方程 难点： 正确理解基尔霍夫方程回路