线性连续系统的离散化

近似离散化方法(4/6)—例3-12
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
G(T
)

I

AT

1 0
T
1
2T

于是该连续系统的离散化状态方程为
H
(T )

BT

0
T

x(k
1)

1 0
T 1- 2T
x(k
)

T0 u(k
)
近似离散化方法(5/6)—例3-12
G

1 0
0.000999 0.998002
H

0.5106 0.000999
近似离散化方法(6/6)—例3-12
近似法的计算结果为
G

1 0
0.001 0.998
H

0 0.001
从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。
线性时变连续系统的离散化(1/6)
(k 1)T
H (k)
Φ[(k 1)T , τ]B(τ)dτ
kT
线性时变连续系统的离散化(4/6)
例3-13 试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态 方程。
x&
0
0
1
(t
1)2 0

x

1 1
u
解 由例3-9,该系统的转移矩阵函数为
3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 ➢ 整个系统工作于单一的离散状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 ➢ 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) Φ[(k 1)T τ ]dτ Bu(kT) kT
➢ 对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) 0 Φ(t)dtBu(kT)
➢ 将上式与线性定常离散系统的状态方程
(t,
t0
)

1
0
t t0
(t
1)(t0

1)

1
线性时变连续系统的离散化(5/6)
➢ 因此,由上述离散化计算公式，可分别计算
G(k
)

Φ[(k

1)T
,
kT
]

1
T

(kT

T
1)(kT
1)

0
1

H (k)
(k 1)T 1 kT
➢ 由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变,即 C(T)=C D(T)=D
➢ 离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样 周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。
线性定常连续系统的离散化(3/3)
在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态 空间模型。 ➢ 下面介绍两种离散化方法: ✓ 精确法、 ✓ 近似法。
1

T

线性时变连续系统的离散化(6/6)
➢ 将上述计算所得的G(k)和H(k)代入,则求得离散化状态方 程如下
x(k
1)

1
0
(kT

T
T 1)(kT
1)

x(k)

(k 1)T 2

(k
1)T
1

ln
(k
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)
➢ 对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组。
✓ 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。 ❖由此,提出了连续系统的离散化问题。
✓ 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制 时,都会遇到离散化问题。
为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如 下条件和假设。
➢ 在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。
➢ 保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采 样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有 u(t)=u(kT) kT≤t<(k+1)T
即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
➢ 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT
将上述近似离散法和精确离散法比较知, ➢ 由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一 次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法 的相应计算式的一次Taylor近似展开式。
1 (1- e2T )/2
G(T ) (T ) 0
e2T

T
T 1
H (T ) 0 (t)dtB 0 0
(1-
e2t ) e2t
/
2 0 dt 1

1 4
2T - (1- e2T

2(1- e2T )
)
于是该连续系统的离散化状态方程为
3.4.2 线性时变连续系统的离散化
线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定 的采样周期T下,将连续系统的状态方程
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
变换成线性时变离散系统的如下状态方程:
x(k 1) G(k)x(k) H(k)u(k)
线性时变连续系统的离散化(2/6)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
kT
线性时变连续系统的离散化(3/6)
➢ 比较下述两式
x(k 1) G(k)x(k) H(k)u(k)
(k 1)T
x(k 1) Φ[(k 1)T, kT ]x(k) Φ[(k 1)T, τ]B(τ)dτu(k) kT
➢ 可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下
G(k) Φ[(k 1)T , kT ]
用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。 ➢ 即,由于 x’(kT)=LimT0[x((k+1)T)-x(kT)]/T 故当采样周期较小时,有 x’(kT)[x((k+1)T)-x(kT)]/T
近似离散化方法(2/6)
➢ 将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT)
x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为
G(T)=(T)=eAT
H(T)
T
Φ(t)dtB
T eAtdtB
0
0
上两式即为精确离散化法的计算式。
精确离散化方法(3/4)—例3-11
例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du
变换成离散系统的如下状态空间模型: x((k 1)T ) G(T )x(kT) H (T )u(kT) y(kT) C(T )x(kT) D(T )u(kT)
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即 ➢ 研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。
主要讨论的问题为两种离散化方法: ➢ 精确法和 ➢ 近似法
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性时变连续系统的状态方程的离散化,就是利用时变系统 的状态轨迹求解公式来进行离散化。
➢ 由3.3节可知,连续系统状态方程的解可表示为:
t
x(t) Φ(t,t0 )x(t0 )
Φ(t, τ)B(τ)u(τ)dτ
t0
➢ 现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态 响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是
1 (1- e2T )/2
T/2 - (1- e2T )/4
x(k 1) 0
e2T
x(k)


(1- e2T )/2
u(k)
近似离散化方法(1/6)
2. 近似离散化方法
所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指 ➢ 在采样周期较小, ➢ 且对离散化的精度要求不高的情况下,
Ch.3 线性系统的时域分析
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5)
近似离散化方法(3/6)—例3-12
由上述推导过程可知,一般说来,采样周期T越小,则离散化精 度越高。
➢ 但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜 太小。
例3-12 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
x

0 0
12x 10u
(k 1)T
x(k 1) Φ[(k 1)T, kT ]x(k)
Φ[(k 1)T, τ]B(τ)u(τ)dτ
kT
➢ 考虑到u(t)在采样周期内保持不变,所以有
(k 1)T
x(k 1) Φ[(k 1)T, kT ]x(k)
Φ[(k 1)T, τ]B(τ)dτu(k)
0
(kT
kT T T 1)(
1

1)

1 1
dτ

(k 1)T kT
1

(kT
kT T T 1)(

1)

dτ

1



(k 1)T 2 (k 1)T
1

ln
(k
1)T kT 1
对上述近似离散化法的精度可检验如下:
1. 当T=1s时,精确法的计算结果为
G

1 0
0.432332 0.135335
近似法的计算结果为
H

0.283834 0.432332
G

1 0
1 1
H

0 1
2. 当T=0.001s时,精确法的计算结果为
x

0 0
1 0 2x 1u
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
Φ(t
)

L1[(sI
-
A)1
]

L1
s 0
-1 1 1 s 2 0
(1- e2t )/2
e2t

精确离散化方法(4/4)—例3-11
根据精确法计算式有
线性连续系统状态空间模型的离散化(3/5)
图3-3所示为连续系统化为离散系统的系统框图。
u(t) 保持器
连续系统 x(t)
y(t) 保持器
x(k)
u(k)
y(k)
D/A 数字 A/D 计算机
图 3-3 连续系统离散化的实现
线性连续系统状态空间模型的离散化(4/5)
线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采 样方式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价 的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间的关系 式。
线性连续系统状态空间模型的离散化(5/5)
➢ 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 ✓ 采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。
满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空 间模型。 ➢ 下面分别针对 ✓ 线性定常连续系统和 ✓ 线性时变连续系统 讨论离散化问题。
Φ(t τ
t0
)Bu(τ
)dτ
➢ 现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响 应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ kT
精确离散化方法(2/4)
➢ 考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
主要推荐?
精确离散化方法(1/4)
1. 精确离散化方法
所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是
➢ 利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状 态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。
连续系统的状态方程的求解公式如下:
t
x(t) Φ(t t0 )x(t0 )