高三数列专题训练

2013届高三数列专题训练

1、设数列{}n a 与}{n b 满足：对任意*∈N n ，都有()21n n n ba b S -=-，12-⋅-=n n n n a b ．其中n S 为数列{}n a

的前n 项和． （1）当2b =时，求数列{}n a 与}{n b 的通项公式；（2）当2≠b 时，求数列{}n a 的前n 项和n S ．

由题意知12a =，

且()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-，两式相减得()()1121n

n n n b a a b a ++--=- 即1

2n n n a ba +=+ ①，

（1）当2b =时，由①知122n

n n a a +=+ 于是()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅，又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是

首项为1，公比为2的等比数列．故知，12-=n n b ， 再由1

2-⋅-=n n n n a b ，得()112n n a n -=+．

另解：

111222n n n n a a ++=+，2n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭

是首项为1112a =，公差为12的等差数列，111222n n

a n n -+∴=+=， ()112n n a n -∴=+⋅，()1111222n n n n

b n n ---=+⋅-⋅=；

（2）当2b

≠时，由①得1111122222n n n n n a ba b b +++-

⋅=+-⋅--122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭

若0=b ，n n S 2=，若1=b ，n n a 2=，221

-=+n n S ，若10、≠b ，数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⋅--n n b a 221是以

b b --2)1(2为首项，以b 为公比的等比数列，故12)1(2221-⋅--=⋅--n n n b b b b a ，()[]

122221

--+-=n n n b b b

a

()()

1

213212)1(2222221-+⋅⋅⋅+++--++⋅⋅⋅+++-=n n n b

b b b

b b S 、2(2)2n n n b S b -=- 1b =时，122n n S +=-符合上式，所以，当0≠b 时，2(2)2n n n b S b -=-，当0=b 时，n

n S 2=

另解： 当1n =时，112S a == ，当2n ≥时，()21n n n ba b S -=-Q ，()()121n

n n n b S S b S -∴--=-，

12n n n S bS -∴=+ ，若0=b ，n n S 2=，若0≠b ，两边同除以2n 得

1

1

1222n n n n S S b --=⋅+， 令111222n n n n S S b m m --+=⋅++，即1122()222n n n n S S b m m b --++=⋅+，由22m m b +=得22m b =-，2

{}22

n n S b ∴+

-是以2b b -为首项，2b 为公比的等比数列，12()2222

n n n S b b

b b -∴+

=⋅--， 所以，当0≠b 时，2(2)2n n n b S b

-=-．

2、已知定义域为R 的二次函数f x ()的最小值为0，且有f x f x ()()

11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()

aa g af a n N n n n n

+-+=∈10*

． （1）求函数

f x ()的解析式； （2）求数列{}a n 的通项公式；

（3）设()()b f a g a n n n =-+31

，求数列{}b n 的最值及相应的n ．

（1）设()()01)(2

>-=a x a x f ，则直线()4(1)g x x =-与

)(x f y =图像的两个交点为(1,0)，4

116a a +⎛⎝ ⎫⎭

⎪，，

()01741642

2>=⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a Θ，()∴==-a fx x 112，()； （2）

()()()()f a a g a a n n n n

=-=-1412

，，()()()Θa a a a n n n n +--+-=12

4110·， ()()

∴---=+a a a n n n 143101，Θa a a a n n n 11214310=∴≠--=+，，， ()∴-=--=+a a a n n 1

1134111，，数列{}a n -1是首项为1，公比为3

4

的等比数列，

∴-=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫

⎭⎪+--a a n n n

n 13434

111

，； （3）()()b a a n n n =---+314121

21333444n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫

=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2

1133344n n --⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭

令b y u n

n ==⎛⎝ ⎫

⎭

⎪-，341

， 则y u u =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭

⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-312143123

422

， Θn N ∈*

，∴u

的值分别为1349162764，，，……，经比较916距12最近，

∴当n =3时，b n 有最小值是-189

256

， 当n =1

时，b n 有最大值是0 3、若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．如：若

⎩⎨

⎧+-=.

9414为偶数时，当为奇数时；

，当n n n n c n 则{}n c 是公差为8的准等差数列． （1）求上述准等差数列{}n c 的第8项8c 、第9项9c 以及前9项的和9T ；

（2）设数列

{}n a 满足：a a =1，对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++．求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；

（3）设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201263>S ，求a 的取值范围．

（1）418=c ，359=c ，.2112

4

)4117(25)353(9=⨯++⨯+=

T

（2）n a a n n 21=++Θ

①

)1(221+=+++n a a n n ②，②-①得22=-+n n a a ． 所以{}n a 为公差为2的准等差数列．