线性代数课件-分块矩阵

Asr
A
T 1r
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
A
T s 1
AsTr
A1
A
A2
O
O
A A 1A 2 A s.
As
A1
A
A2
O
O
As
A 可 逆 A i可 i 逆 1 ,2 , ,s且
A 1diA a 1 1,A g 2 1, ,A s 1.
1 b
a 1 0 0
A
0 1
0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
A E
O B
,
其中OBEA ab01 100
011 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A 1A 2A 3A 4 ,其中 AA 2413 a01b0
0 1 1 b
1b0
二、分块矩阵的运算规则
AB
Cs1 Csr
t
其 C ij 中 A ik B kji 1 , ,s ;j 1 , ,r.
k 1
4设A
A11
As1
A1r
AA1T1T11
,则 则AATT
Asr
A1ATr1Tr
AAsTsT11 .. AAsTsTrr
5设A为n阶矩,若 阵 A的分块矩阵只角有线在
1 设矩 A 与 B 的 阵行,列 数数 相 ,采 相 同 用 同
相同的 ,有分块法
A 11 A 1r
B11 B1r
A , B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
A11B11 AB
As1Bs1
A1r B1r .
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解
把A,B分A 块 A 成 101111011012
0 00 1 00 211 100
0 0
0 0
1010
E A1
OE ,
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E OB11 E A1 EB21 B22
B11
E .
A1B11B21 A1B22
A B B 11
E .
A 1B 11 B 21 A 1B 22
又 A1B11B21 1 11 2 1 10 2 1 1 0 1
3 0
A2
, As
若 A i 0 i 1 ,2 , ,s ,则 A 0 ,并有
A1 1
o
A
1
A2 1
o
. As 1
A1 0 0B1 0 0
70
A2
0 0
B2
0
0 0 As 0 0 Bs
A1B1
0
0
0 A2B2
0
0
0
.
AsBs
例1 设
1 0 0 0

上有非零 ,其子 余块 子块都,为 且零 非矩 零阵 子块
是方.即 阵
A1
A
A2
O
O
,
As
A1
A
A2
O
O
,
As
其 A i中 i 1 ,2 , s都是 ,那 方 末 A 为 阵 称 分
对角 . 矩阵
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2A s.
A1
o
o 6设A
3 设 A 为 m l矩 ,B 为 阵 l n 矩 ,分 阵 块
A 11 A 1t
B 11 B 1r
A , B ,
A s1 A st
B t1 B tr
其A 中 i1,Ai2,,Ai的 t 列数分 B1j,别 B2j, 等 ,Bij于
的行 ,那 数末C11 C1r
AsrBsr
2
设
A
A11
As1
A1r ,为数,那末
Asr
A11 A
As1
A1r
.
Asr
例
2,
1 A3
2 2
3 1
4 5 6
1 2 2 2 3 2 2A3 2 2 2 1 2
4 2 5 2 6 2
4 4 6 6 4 2 .
8 10 12
41 2 1
0 1
2 1
4, 1
A 1B 22 11
24 1 2
1 0
3 3
3 , 1
于是
A B B 11
E
A 1B 11 B 21 A 1B 22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
1 3
.
1 1 3 1
三、小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法.
第五节 分块矩阵
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了
简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将
矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，以子
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例
a
A
0 1
0
1 a 0 1
0 0 b 1
分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1) 加法 同型矩,阵 采用相同的分块法 (2) 数乘 数 k乘矩 A,需 阵 k乘 A的每个子 (3) 乘法 若 A 与 B 相,需 乘 A 的列的 B 的 划 划 分 分 与 相
(4) 转置
A11 A
As1
A1r
AT
A1T1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
即
A
a
0
0 0
1 a
1 1
0 0
1 1
0 0
bb
B 1
B B
2 3
a 1 0 0
A
0 1
0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
C1 C3
C2 , C4
a 1 0 0
即
A
0 1 0
a 0 1
0 b
0 1
C C
1 3
C 2 C 4