平面向量 小结_优质课件
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所以 a2＝b2，即(6)正确．故选 D. 答案：D
点评：学习向量时，概念多，而且这些概念稍不注意就会弄错， 所以对向量的概念要透彻理解其含义，弄清其外延，在解题时要认 真审题，看清题意．如单位向量、共线向量、相反向量、同向共线、 反向共线、两向量垂直与平行等，都是考试的重点和热点，常与向 量的线性运算、坐标运算、向量的数量积及三角函数、平面几何、 解析几何等结合起来考查．
因为 0<|a|≤2，所以，
当 sin x＝－|a2|时，f(x)取最大值|a4|2－|b|＋1；
当 sin x＝1 时，f(x)取最小值－|a|－|b|.
从而|a4|2－|b|＋1＝0， －|a|－|b|＝－4，
解得 ||ab||＝ ＝22， ，
于是|a＋b|＝ |a＋b|2＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2
五、平面向量的应用 【例 8】 设 0<|a|≤2，函数 f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值 为 0，最小值为－4，且 a 与 b 的夹角为 45°.求|a＋b|的值．
解：f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|＝1－sin2x－|a|sin x－|b|＝－
sin
x＋|a2|2＋|a4|2－|b|＋1.
知识网络
ຫໍສະໝຸດ Baidu
要点归纳 一、平面向量的基本概念 主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等 向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择 题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形 式结合考查，往往一些学生只求出一个而遗漏另一个． 二、向量的线性运算 主要应掌握向量的加法三角形法则与平行四边形法则，甚至推 广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；向量数 乘运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点 共线、两线段相等及两直线平行等问题．
要点整合
一、平面向量的基本概念 【例 1】 给出下列等式： (1)a·0＝0； (2)0·a＝0； (3)若 a，b 同向共线，则 a·b＝|a|·|b|； (4)a≠0，b≠0，则 a·b≠0； (5)a·b＝0，则 a、b 中至少有一个为 0； (6)若 a，b 均是单位向量，则 a2＝b2. 以上成立的是( ) A．(1)(2)(5)(6) B．(3)(6) C．(2)(3)(4)
出方程 λ2295＋8215＝4.
【例 5】 已知A→B＝(6,1)，C→D＝(－2，－3)，设B→C＝(x，y)． (1)若四边形 ABCD 是以 AD，BC 为底边的梯形，求 x，y 之间 的关系；
(2)若以上梯形 ABCD 的对角线互相垂直，求B→C.
解： (1)由向量加法法则可得，A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝(x＋4，y－2)， 于是由A→D∥B→C可得，x(y－2)－y(x＋4)＝0，即 y＝－12x(x≠0)为所 求 x，y 之间的关系． (2)因为A→C＝A→B＋B→C＝(x＋6，y＋1)，B→D＝B→C＋C→D＝(x－2， y－3)，于是由 AC 与 BD 垂直可得，(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 即 x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
x2＋y2＝22＋－2 32
则 cos
150°＝
2x－2 3y x2＋y2· 22＋－2
＝－ 32
3 2
，
解得xy＝＝－2，2 3， (舍去)或xy＝ ＝04， . 故O→A＝(0,4)．
点评：如果对向量旋转这类试题接触不多，就会对这类试题感 到无从下手．其实，仔细一想，向量旋转类试题向我们提供了两个 隐含信息：一是旋转前后两个向量的模相等；二是旋转前后两向量 的夹角就是旋转的角度．抓住这两条，就找到了解题的突破口．
四、平面向量的数量积
【例 6】 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 60°，且 a＝2e1＋e2， b＝－3e1＋2e2.求：
(1)a·b； (2)a 与 b 的夹角．
解：
(1)因为单位向量 e1 与 e2 的夹角为 60°，所以 e1·e2＝1×1×cos 60°＝12.
所以 a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋e1·e2＋2e22＝－6＋12
D．(3)(6)
解析：因为 a·0 ＝0，所以(1)错；因为 0·a＝0，所以(2)错； 当 a，b 同向共线时，cos〈a，b〉＝1，此时 a·b＝|a|·|b|，所以(3)
对；若 a⊥b，尽管 a≠0，b≠0，仍有 a·b＝0，所以(4)错；当 a≠0， b≠0，且 a⊥b 时，a·b＝0，所以(5)错；因为 a，b 均是单位向量，
＝ 22＋2×2×2·cos 45°＋22
＝ 8＋4 2＝2 2＋ 2.
点评：平面向量的应用主要体现在两个方面：一是用平面向量 求解平面几何与解析几何问题；二是用平面向量求解物理问题．而 把向量与函数、三角函数结合起来，这样的试题就不多见了，特别 是与求函数最值结合起来，就成了难度很大的一道试题了．尽管难 度大，但解题的方法还是可寻的，本题变形后，看作关于 sin x 的 二次函数，解答也就不难了.
将 y＝－12x 代入并解得，xy＝ ＝3－6， 或xy＝ ＝2－，1. 故B→C＝(－6,3)或B→C＝(2，－1)．
点评： 解答(1)时，只需利用向量平行的坐标表示即可．解答(2)时， 先求出对角线向量A→C，B→D，利用A→C，B→D互相垂直，求得 x2＋y2 ＋4x－2y－15＝0，结合在(1)中求得的 y＝－12x，解出 x，y 值，达 到解题之目的．
点评：用基向量表示平面内的向量，是考试的重点和热点，解 答这类试题的关键是利用向量加法和减法法则，寻找题中要表示的 向量与基向量之间的关系．
【例 3】 如图所示，PQ 过△OAB 的重心 G，O→A＝a，O→B＝b， O→P＝ma，O→Q＝nb.
求证：m1 ＋1n＝3.
证明：设P→G＝tG→Q，则O→G－O→P＝t(O→Q－O→G)．
＋2＝－72.
(2)因为|a|2＝a2＝(2e1＋e2)2＝4e21＋4e1·e2＋e22＝4＋4×12＋1＝
7，|b|2＝b2＝(－3e1＋2e2)2＝9e21－12e1·e2＋4e22＝9－12×12＋4＝7.
从而|a|＝
7，|b|＝
7，所以 cos α＝|aa|··b|b|＝
－72 7×
7＝－12，故
与 b 分别是与O→A，O→B共线的单位向量．因为点 C 在∠AOB 的平分
线上，所以O→C与 a＋b 共线．设O→C＝λ(a＋b)(λ>0)，则O→C＝λ－35，95.
∵|O→C|＝2，∴λ2295＋8215＝4，得 λ＝
10 3.
故O→C＝－ 510，3 510.
点评： 解答本题用到了如下技巧：一是找出与O→A，O→B共线的单位向 量 a 与 b，其中单位向量 b＝|OO→→BB|是常用的技巧之一；二是利用O→C 与 a＋b 共线，巧设O→C＝λ(a＋b)(λ>0)；最后用已知条件|O→C|＝2 列
α＝120°.
点评： 根据向量数量积的定义求两向量的数量积和两向量的夹角，是 考试的重点和热点，这类试题难度不大，只要看清题意，用对公式， 计算正确，即可大功告成．
【例 7】 把向量O→A绕原点逆时针方向旋转 150°，得到向量 O→A′，若O→A′＝(2，－2 3)，求向量O→A.
解：设O→A＝(x，y)，
二、向量的线性运算
【例 2】 如图，O 是△ABC 内一点，PQ∥BC，且PBQC＝t，O→A ＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用 a，b，c 表示O→P与O→Q.
解： 因为PBQC＝t，所以AAPB＝t，得到 BP＝(1－t)AB， O→P＝O→B＋B→P＝b＋(1－t)B→A＝b＋(1－t)(a－b)＝(1－t)a＋tb. 同理可得，O→Q＝(1－t)a＋tc.
三、向量的坐标运算 主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘 运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线； 能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量． 四、平面向量的数量积 平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量 积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是进行向量的模、夹角、 平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角， 证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题． 五、平面向量的应用 一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几 何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些 物理问题，如力、位移、速度等问题．
由于O→G＝23O→C＝23×12(a＋b)＝13(a＋b)，
所以13－ma＋13b＝tn－13b－13ta，
即1313－ ＝mtn＝－－1331，t，
消去 t，得 m＋n＝3mn，故m1 ＋1n＝3.
点评：本题利用向量共线定理，将向量P→G，G→Q用基向量O→A＝
a，O→B＝b 表示出来，再根据向量相等，列出含 m，n 的方程组，
由这个方程组消去引入的参数 t，达到证明的目的．
三、向量的坐标运算
【例 4】 已知点 A(0,1)和点 B(－3,4)，O 为坐标原点，若点 C
在∠AOB 的平分线上，且|O→C|＝2，求向量O→C的坐标．
解：设 a＝O→A＝(0,1)，b＝|OO→ →BB|＝－35，45，则|a|＝|b|＝1.即 a
点评：学习向量时，概念多，而且这些概念稍不注意就会弄错， 所以对向量的概念要透彻理解其含义，弄清其外延，在解题时要认 真审题，看清题意．如单位向量、共线向量、相反向量、同向共线、 反向共线、两向量垂直与平行等，都是考试的重点和热点，常与向 量的线性运算、坐标运算、向量的数量积及三角函数、平面几何、 解析几何等结合起来考查．
因为 0<|a|≤2，所以，
当 sin x＝－|a2|时，f(x)取最大值|a4|2－|b|＋1；
当 sin x＝1 时，f(x)取最小值－|a|－|b|.
从而|a4|2－|b|＋1＝0， －|a|－|b|＝－4，
解得 ||ab||＝ ＝22， ，
于是|a＋b|＝ |a＋b|2＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2
五、平面向量的应用 【例 8】 设 0<|a|≤2，函数 f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值 为 0，最小值为－4，且 a 与 b 的夹角为 45°.求|a＋b|的值．
解：f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|＝1－sin2x－|a|sin x－|b|＝－
sin
x＋|a2|2＋|a4|2－|b|＋1.
知识网络
ຫໍສະໝຸດ Baidu
要点归纳 一、平面向量的基本概念 主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等 向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择 题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形 式结合考查，往往一些学生只求出一个而遗漏另一个． 二、向量的线性运算 主要应掌握向量的加法三角形法则与平行四边形法则，甚至推 广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；向量数 乘运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点 共线、两线段相等及两直线平行等问题．
要点整合
一、平面向量的基本概念 【例 1】 给出下列等式： (1)a·0＝0； (2)0·a＝0； (3)若 a，b 同向共线，则 a·b＝|a|·|b|； (4)a≠0，b≠0，则 a·b≠0； (5)a·b＝0，则 a、b 中至少有一个为 0； (6)若 a，b 均是单位向量，则 a2＝b2. 以上成立的是( ) A．(1)(2)(5)(6) B．(3)(6) C．(2)(3)(4)
出方程 λ2295＋8215＝4.
【例 5】 已知A→B＝(6,1)，C→D＝(－2，－3)，设B→C＝(x，y)． (1)若四边形 ABCD 是以 AD，BC 为底边的梯形，求 x，y 之间 的关系；
(2)若以上梯形 ABCD 的对角线互相垂直，求B→C.
解： (1)由向量加法法则可得，A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝(x＋4，y－2)， 于是由A→D∥B→C可得，x(y－2)－y(x＋4)＝0，即 y＝－12x(x≠0)为所 求 x，y 之间的关系． (2)因为A→C＝A→B＋B→C＝(x＋6，y＋1)，B→D＝B→C＋C→D＝(x－2， y－3)，于是由 AC 与 BD 垂直可得，(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 即 x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
x2＋y2＝22＋－2 32
则 cos
150°＝
2x－2 3y x2＋y2· 22＋－2
＝－ 32
3 2
，
解得xy＝＝－2，2 3， (舍去)或xy＝ ＝04， . 故O→A＝(0,4)．
点评：如果对向量旋转这类试题接触不多，就会对这类试题感 到无从下手．其实，仔细一想，向量旋转类试题向我们提供了两个 隐含信息：一是旋转前后两个向量的模相等；二是旋转前后两向量 的夹角就是旋转的角度．抓住这两条，就找到了解题的突破口．
四、平面向量的数量积
【例 6】 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 60°，且 a＝2e1＋e2， b＝－3e1＋2e2.求：
(1)a·b； (2)a 与 b 的夹角．
解：
(1)因为单位向量 e1 与 e2 的夹角为 60°，所以 e1·e2＝1×1×cos 60°＝12.
所以 a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋e1·e2＋2e22＝－6＋12
D．(3)(6)
解析：因为 a·0 ＝0，所以(1)错；因为 0·a＝0，所以(2)错； 当 a，b 同向共线时，cos〈a，b〉＝1，此时 a·b＝|a|·|b|，所以(3)
对；若 a⊥b，尽管 a≠0，b≠0，仍有 a·b＝0，所以(4)错；当 a≠0， b≠0，且 a⊥b 时，a·b＝0，所以(5)错；因为 a，b 均是单位向量，
＝ 22＋2×2×2·cos 45°＋22
＝ 8＋4 2＝2 2＋ 2.
点评：平面向量的应用主要体现在两个方面：一是用平面向量 求解平面几何与解析几何问题；二是用平面向量求解物理问题．而 把向量与函数、三角函数结合起来，这样的试题就不多见了，特别 是与求函数最值结合起来，就成了难度很大的一道试题了．尽管难 度大，但解题的方法还是可寻的，本题变形后，看作关于 sin x 的 二次函数，解答也就不难了.
将 y＝－12x 代入并解得，xy＝ ＝3－6， 或xy＝ ＝2－，1. 故B→C＝(－6,3)或B→C＝(2，－1)．
点评： 解答(1)时，只需利用向量平行的坐标表示即可．解答(2)时， 先求出对角线向量A→C，B→D，利用A→C，B→D互相垂直，求得 x2＋y2 ＋4x－2y－15＝0，结合在(1)中求得的 y＝－12x，解出 x，y 值，达 到解题之目的．
点评：用基向量表示平面内的向量，是考试的重点和热点，解 答这类试题的关键是利用向量加法和减法法则，寻找题中要表示的 向量与基向量之间的关系．
【例 3】 如图所示，PQ 过△OAB 的重心 G，O→A＝a，O→B＝b， O→P＝ma，O→Q＝nb.
求证：m1 ＋1n＝3.
证明：设P→G＝tG→Q，则O→G－O→P＝t(O→Q－O→G)．
＋2＝－72.
(2)因为|a|2＝a2＝(2e1＋e2)2＝4e21＋4e1·e2＋e22＝4＋4×12＋1＝
7，|b|2＝b2＝(－3e1＋2e2)2＝9e21－12e1·e2＋4e22＝9－12×12＋4＝7.
从而|a|＝
7，|b|＝
7，所以 cos α＝|aa|··b|b|＝
－72 7×
7＝－12，故
与 b 分别是与O→A，O→B共线的单位向量．因为点 C 在∠AOB 的平分
线上，所以O→C与 a＋b 共线．设O→C＝λ(a＋b)(λ>0)，则O→C＝λ－35，95.
∵|O→C|＝2，∴λ2295＋8215＝4，得 λ＝
10 3.
故O→C＝－ 510，3 510.
点评： 解答本题用到了如下技巧：一是找出与O→A，O→B共线的单位向 量 a 与 b，其中单位向量 b＝|OO→→BB|是常用的技巧之一；二是利用O→C 与 a＋b 共线，巧设O→C＝λ(a＋b)(λ>0)；最后用已知条件|O→C|＝2 列
α＝120°.
点评： 根据向量数量积的定义求两向量的数量积和两向量的夹角，是 考试的重点和热点，这类试题难度不大，只要看清题意，用对公式， 计算正确，即可大功告成．
【例 7】 把向量O→A绕原点逆时针方向旋转 150°，得到向量 O→A′，若O→A′＝(2，－2 3)，求向量O→A.
解：设O→A＝(x，y)，
二、向量的线性运算
【例 2】 如图，O 是△ABC 内一点，PQ∥BC，且PBQC＝t，O→A ＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用 a，b，c 表示O→P与O→Q.
解： 因为PBQC＝t，所以AAPB＝t，得到 BP＝(1－t)AB， O→P＝O→B＋B→P＝b＋(1－t)B→A＝b＋(1－t)(a－b)＝(1－t)a＋tb. 同理可得，O→Q＝(1－t)a＋tc.
三、向量的坐标运算 主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘 运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线； 能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量． 四、平面向量的数量积 平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量 积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是进行向量的模、夹角、 平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角， 证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题． 五、平面向量的应用 一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几 何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些 物理问题，如力、位移、速度等问题．
由于O→G＝23O→C＝23×12(a＋b)＝13(a＋b)，
所以13－ma＋13b＝tn－13b－13ta，
即1313－ ＝mtn＝－－1331，t，
消去 t，得 m＋n＝3mn，故m1 ＋1n＝3.
点评：本题利用向量共线定理，将向量P→G，G→Q用基向量O→A＝
a，O→B＝b 表示出来，再根据向量相等，列出含 m，n 的方程组，
由这个方程组消去引入的参数 t，达到证明的目的．
三、向量的坐标运算
【例 4】 已知点 A(0,1)和点 B(－3,4)，O 为坐标原点，若点 C
在∠AOB 的平分线上，且|O→C|＝2，求向量O→C的坐标．
解：设 a＝O→A＝(0,1)，b＝|OO→ →BB|＝－35，45，则|a|＝|b|＝1.即 a