抛物型方程的差分方法

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1 2
(20)
Lh , IIIu j
n

u j n 1 u j n

1 u j 1 2
n 1
2u j n 1 u j -1n 1 h2
u j 1n 2u j n u j -1n 0 2 h
(21)
或:
uj
n 1
r n 1 n 1 n 1 n n n uj u 2 u u ( u 2 u u ) j 1 j j 1 j 1 j j 1 2
4h 2
2u n j
1 n n 1 un 2 u u j j j
2
1)格式 I显示格式 (FTCS格式)
由(4)、(7)代入(1),有
u ( j , n) 2 Lu 2 u ( j , n) x t u ( j , n 1) u ( j , n)
2 2

u ( j 1, n) 2u ( j , n) u ( j 1, n) u 2h 4 ( j , n) u ( j , n) 2 2 4 h 2 t 4! x
n
(8)
0
Lu j
n
Lh, u j R j n
式中:
2 4 2 2 h Rn u( j, n) u( j, n) j 4 2 4! x 2 t
j-1 j j+1
n-1
3)格式Ⅲ Crank—NicoLson 格式(CTCS)
1 对时间和空间都用中心差分,在 ( j , n ) 点对u作泰勒展开,得: 2
1 2 1 3 u( j, n 1) (u ut utt ( ) uttt 2 2! 4 3! 2
1 2 1 u( j, n) (u ut utt ( )3 uttt 2 2! 4 3! 2
(2)
同理,对于节点(j, n-1)有:
1 u( j, n 1) u ut 2utt 2 j ,n
(3)
由(2)得:
u( j, n) u( j, n 1) u( j, n) 2 u( j, n) 2 t 2 t
j-1
j
j+1
1)推广Crank—Nicolson (格式III)
格式III将差分格式建立在( j , n 1) 和 ( j , n) 的中点( j , n ) 基础上的。现进 一步推广,将差分格式建立在( j, n 1) 和 ( j , n) 中间任意一点上,即( j , n ) ,
(18)
而:
u ( j 1, n 1 ) - 2u ( j , n 1) u ( j 1, n 1) 2 u xx ( j , n 1) O ( h ) 2 h
(19)
由(15)式和(18)式得
u ( j 1, n) - 2u ( j , n) u ( j 1, n) 2 u xx ( j , n) O ( h ) 2 h
(4)
其中 O( ) 表示 一次和一次以 上的小量项. 由(3)得:
u( j, n) u( j, n) u( j, n 1) 2 u( j, n) 2 t 2 t
(5)
(4)-(5)得:
2 u( j, n 1) 2u( j, n) u( j, n 1) 2 2 4 u( j, n) u( j, n) 2 2 4 t 4! t
(6)
同理:
2 u( j 1, n) 2u( j, n) u( j 1, n) 2h2 4 u( j, n) u( j, n) 2 2 4 x h 4! x
(7)
下面引入几个概念:
(1)向前差分 (forward difference)
hu n j
n
LIh , u n j
记号:
1 n un u j j


n n un 2 u u j 1 j j 1
h
2
0
(9)
u j
uj
n
n
表示微分方程的解 u ( x, t ) 在结点 j, n 处的准确值;
表示差分方程的解,它是
n
u j 的近似值;
n
Lu j
在第n层和第n+1层上关于x的二阶中
n
1 2
④ 隐式格式。 ⑤
心差商的算术平均值来逼近,这一思想已被广泛地应用于一般微分方程,以建
立其差分格式。
4)格式(IV)(CTCS)(Richardson 格式)
对时间中心差分步长放大一倍,空间也中心差分。
Lh, IVu j n
注意: ①R ②
n j
u j n u j n 1


u j 1n 2u j n u j 1n h
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
(12)
n n n1 (1 2r )un ru ru u j j 1 j 1 j
注意:由(12)式不能直接计算出解,而要联立求解代数方程,故 称之为隐式格式。
n
Rj n O( h2 )
u j n1 u j n 1 2

u j 1n 2u j n u j -1n h2
0 (23)
(24)
u j n1 2r(u j 1n - 2u j n u j 1n ) u j n1
O( 2 h2 )
——全二阶精度格式。
n+1
三层显示格式。
n
n-1
2.1.1定解区域的离散
在x-t平面上,取 h x 和
t分别为函数 u ( x, t ) 的自变量x和t的改变
)两组平行线构成的矩形网格覆盖
1 量,由 ( j=0,1,…N, h= N
, n=0,1,…M , T M
x-t平面。h为空间步长, 为时间步长。
t
T 方 向 节 点 编 号

)
j ,n
1 2
(13)

)
j ,n
1 2
(14)
1 u( j, n 1) u( j, n) 2 1 ut j, n uttt ( j, n ) 2 24 2
1 1 ( j , n ) 对 uxx 点作泰勒展开: u ( j , n ) 下面来求 xx 。在 2 2
2 hu
n j
u
n j 1
u
n j 1
2h
2 u n j
2
(4)二阶中心差分(central difference)
h u j
2 n
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
22hu n j
n n un 2 u u j 2 j j 2
表示微分方程左端项在结点 j, n 处的准确值;
n
Lh , u j 表示用准确值 u( x j , tn ) 构造差商;
Lh, u j n
表示用近似值 u
n j
构造差商;
Rjn
表示差商近似微商所产生的截断误差。
令 r
差分格式

h2
,则(9)式可化为:
1 n n n un (1 2 r ) u r ( u u j j j 1 j 1 )
(j,n+1) (j-1,n) (j ,n) (j+1,n) (j,n-1)
n
j
X方向节点编号
x
定义:
网格节点上的值:
tn n , n 0,1,
, M
x j jh, j 0,1, , N
半网格节点上的值:
1 tn 1/ 2 n , n 0,1, , M 1 2 1 x j 1/ 2 j h, j 0,1, , N 1 2
非线性动力学数值方法
第二章 抛物型方程的差分方法
2.1 定解问题的离散
2.1 定解问题的离散
一维热传导方程为:
u 2u Lu 2 0 t x

0 x 1, 0 t T
(1)
Lu
u ( x, 0) ( x)
ut uxx 0
对这样一个问题的求解,分为以下三个步骤来离散。
网格节点上的函数值 u( x j , tn ) 简记为u (j, n) 。
在有限差分离散化时应该注意以下几点: ① 根据问题求解的需要,在x,t方向上离散网格时x 和 t可以是等分, 也可以是不等分,既可以按一定规律来离散,也可以对网格进行局部 加密。!!!! ② 对于双曲型和抛物型等发展方程在有限差分离散化时,网格的 t 件等。!!!!
(10)
注意:由(10)可知,当第n层u已知时,可以直接求出第 n+1层上的值,故称之为显式格式。
Rj n O( h2 )
n+1
n
j-1
j
j+1
2)格式Ⅱ(BTCS)隐式格式
对时间向后差分,对空间用中心差分,得:
2 n Lh, u j n un j hu j 0
n un j 1 u j
h
1 un un j j
( forward space difference)
(forward time difference)
u n j

(2)向后差分 (backward difference)
n un u j j 1
hu n j
h
n 1 un u j j
(15)
uxx ( j, n 1) (uxx

2
uxx ,t
2
8
uxx ,tt
)
j ,n
1 2
(16)
(17)
uxx ( j, n) (uxx
上两式相加,

2
uxx ,t
2
8
uxx ,tt
)
j ,n
1 2
1 1 u xx ( j , n ) u xx (j , n 1) u xx (j , n) O( 2 ) 2 2
2.1.2 控制方程的离散
节点(j, n+1)的函数值在(j, n)点作泰勒展开:
u ( j , n) 2 2u ( j , n) 3 3u ( j , n) u ( j , n 1) u ( j , n) 2 3 t 2! t 3! t 1 u ut 2utt 2 j ,n
(backward space difference) (backward time difference)
u n j

(3)一阶中心差分(central difference)
hu
n j
un 1 un
j 2
j
1 2
h
u
n j
uj
n
1 2
uj
n
1 2

1 n 1 un u j j
t 和x 不能随意选取, 需要满足一定的条件,如稳定性的CFL条 x
为了保证边界上的计算精度,在网格边界外可设置若干虚拟网络,以 保证差分格式在边界处的计算精度和内点精度保持一致。!!!!


有限差分离散网格一般选取四边形网格,对于复杂物体外形问题,也
可以选择三角形网格或其他形状网格。近年来,发展了一种无结构网
格和无网格的有限差分算法,它们的计算网格就更为复杂。

对于复杂外形飞行器流场的计算,一般需要通过坐标变 换,可以把物理平面上的复杂的、非正交的网格转换成 在计算平面上的简单、而正交的网格,这就是网格生成
技术。特别要指出的是,网格生成技术在网格设计和编
程中往往占有很大的工作量,网格生成技术好坏直接影 响到数值计算结果的精度,网格生成技术已成为计算流 体力学中的一个重要分支。
O( h2 )
称为截断误差(Truncation error),它不仅反映了差分算子对微分算子的逼
近,也反映了差分解和方程解的误差。截断误差的阶数:就是截断误差中最 低阶导数项中 或h的幂次数。(此截断误差,时间1阶,空间2阶)!!!!
用 u j 表示u(j ,n)的近似值;用差商近似代替式(1)中的微商后,可得相应 的差分方程(通过泰勒展开法最后推出的)
n
(22)
n+1 n
j-1
j
j+1
注意:
① 泰勒展开点在格边上,不是在结点上,但在格式中未出现格边量。 ② ③
O( 2 h2 ) ——全二阶精度。 1 在 ( j , n ) 点展开时,用到了周围6个结点上的量,该格式又称为六点格式。 2 Rj
2u idea:是将微分方程中的 2 项以 u ( x, t ) x
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