抛物型方程的差分方法

1 2
（20）
Lh , IIIu j
n

u j n 1 u j n

1 u j 1 2
n 1
2u j n 1 u j -1n 1 h2
u j 1n 2u j n u j -1n 0 2 h
（21）
或：
uj
n 1
r n 1 n 1 n 1 n n n uj u 2 u u ( u 2 u u ) j 1 j j 1 j 1 j j 1 2
4h 2
2u n j
1 n n 1 un 2 u u j j j
2
1）格式 I显示格式 (FTCS格式)
由（4）、（7）代入（1），有
u ( j , n) 2 Lu 2 u ( j , n) x t u ( j , n 1) u ( j , n)
2 2

u ( j 1, n) 2u ( j , n) u ( j 1, n) u 2h 4 ( j , n) u ( j , n) 2 2 4 h 2 t 4! x
n
（8）
0
Lu j
n
Lh, u j R j n
式中：
2 4 2 2 h Rn u( j, n) u( j, n) j 4 2 4! x 2 t
j-1 j j+1
n-1
3）格式Ⅲ Crank—NicoLson 格式（CTCS）
1 对时间和空间都用中心差分，在 ( j , n ) 点对u作泰勒展开，得： 2
1 2 1 3 u( j, n 1) (u ut utt ( ) uttt 2 2! 4 3! 2
1 2 1 u( j, n) (u ut utt ( )3 uttt 2 2! 4 3! 2
（2）
同理，对于节点(j, n-1)有：
1 u( j, n 1) u ut 2utt 2 j ,n
（3）
由（2）得：
u( j, n) u( j, n 1) u( j, n) 2 u( j, n) 2 t 2 t
j-1
j
j+1
1）推广Crank—Nicolson （格式III）
格式III将差分格式建立在( j , n 1) 和 ( j , n) 的中点( j , n ) 基础上的。现进 一步推广，将差分格式建立在( j, n 1) 和 ( j , n) 中间任意一点上，即( j , n ) ，
(18)
而：
u ( j 1, n 1 ） - 2u ( j , n 1) u ( j 1, n 1) 2 u xx ( j , n 1) O ( h ) 2 h
（19）
由（15）式和（18）式得
u ( j 1, n） - 2u ( j , n) u ( j 1, n) 2 u xx ( j , n) O ( h ) 2 h
（4）
其中 O( ) 表示 一次和一次以 上的小量项． 由（3）得：
u( j, n) u( j, n) u( j, n 1) 2 u( j, n) 2 t 2 t
（5）
（4）－（5）得：
2 u( j, n 1) 2u( j, n) u( j, n 1) 2 2 4 u( j, n) u( j, n) 2 2 4 t 4! t
（6）
同理：
2 u( j 1, n) 2u( j, n) u( j 1, n) 2h2 4 u( j, n) u( j, n) 2 2 4 x h 4! x
（7）
下面引入几个概念：
（1）向前差分 （forward difference）
hu n j
n
LIh , u n j
记号：
1 n un u j j


n n un 2 u u j 1 j j 1
h
2
0
(9)
u j
uj
n
n
表示微分方程的解 u ( x, t ) 在结点 j, n 处的准确值；
表示差分方程的解，它是
n
u j 的近似值；
n
Lu j
在第n层和第n+1层上关于x的二阶中
n
1 2
④ 隐式格式。 ⑤
心差商的算术平均值来逼近，这一思想已被广泛地应用于一般微分方程，以建
立其差分格式。
4）格式（IV）（CTCS）（Richardson 格式）
对时间中心差分步长放大一倍，空间也中心差分。
Lh, IVu j n
注意： ①R ②
n j
u j n u j n 1


u j 1n 2u j n u j 1n h
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
（１２）
n n n1 (1 2r )un ru ru u j j 1 j 1 j
注意：由（12）式不能直接计算出解，而要联立求解代数方程，故 称之为隐式格式。
n
Rj n O( h2 )
u j n1 u j n 1 2

u j 1n 2u j n u j -1n h2
0 (23)
(24)
u j n1 2r(u j 1n - 2u j n u j 1n ) u j n1
O( 2 h2 )
——全二阶精度格式。
n+1
三层显示格式。
n
n-1
2.1.1定解区域的离散
在x-t平面上，取 h x 和
t分别为函数 u ( x, t ) 的自变量x和t的改变
）两组平行线构成的矩形网格覆盖
1 量，由 （ j=0,1,…N, h= N
, n=0,1,…M , T M
x-t平面。h为空间步长， 为时间步长。
t
T 方 向 节 点 编 号

)
j ,n
1 2
(13)

)
j ,n
1 2
(14)
1 u( j, n 1) u( j, n) 2 1 ut j, n uttt ( j, n ) 2 24 2
1 1 ( j , n ) 对 uxx 点作泰勒展开： u ( j , n ) 下面来求 xx 。在 2 2
2 hu
n j
u
n j 1
u
n j 1
2h
2 u n j
2
（４）二阶中心差分（central difference）
h u j
2 n
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
22hu n j
n n un 2 u u j 2 j j 2
表示微分方程左端项在结点 j, n 处的准确值；
n
Lh , u j 表示用准确值 u( x j , tn ) 构造差商；
Lh, u j n
表示用近似值 u
n j
构造差商；
Rjn
表示差商近似微商所产生的截断误差。
令 r
差分格式

h2
，则(9)式可化为：
1 n n n un (1 2 r ) u r ( u u j j j 1 j 1 )
（j,n+1） （j-1,n） （j ,n） （j+1,n） （j,n-1）
n
j
X方向节点编号
x
定义：
网格节点上的值：
tn n , n 0,1,
, M
x j jh, j 0,1, , N
半网格节点上的值：
1 tn 1/ 2 n , n 0,1, , M 1 2 1 x j 1/ 2 j h, j 0,1, , N 1 2
非线性动力学数值方法
第二章 抛物型方程的差分方法
2.1 定解问题的离散
2.1 定解问题的离散
一维热传导方程为：
u 2u Lu 2 0 t x
或
0 x 1, 0 t T
（1）
Lu
u ( x, 0) ( x)
ut uxx 0
对这样一个问题的求解，分为以下三个步骤来离散。
网格节点上的函数值 u( x j , tn ) 简记为u (j, n) 。
在有限差分离散化时应该注意以下几点： ① 根据问题求解的需要，在x，t方向上离散网格时x 和 t可以是等分， 也可以是不等分，既可以按一定规律来离散，也可以对网格进行局部 加密。！！！！ ② 对于双曲型和抛物型等发展方程在有限差分离散化时，网格的 t 件等。！！！！
（10）
注意：由（10）可知，当第n层u已知时，可以直接求出第 n+1层上的值，故称之为显式格式。
Rj n O( h2 )
n+1
n
j-1
j
j+1
2）格式Ⅱ（BTCS）隐式格式
对时间向后差分，对空间用中心差分，得：
2 n Lh, u j n un j hu j 0
n un j 1 u j
h
1 un un j j
( forward space difference)
(forward time difference)
u n j

（2）向后差分 (backward difference)
n un u j j 1
hu n j
h
n 1 un u j j
(15)
uxx ( j, n 1) (uxx

2
uxx ,t
2
8
uxx ,tt
)
j ,n
1 2
(16)
(17)
uxx ( j, n) (uxx
上两式相加，

2
uxx ,t
2
8
uxx ,tt
)
j ,n
1 2
1 1 u xx ( j , n ) u xx （j , n 1) u xx （j , n) O( 2 ) 2 2
2.1.2 控制方程的离散
节点(j, n+1)的函数值在(j, n)点作泰勒展开：
u ( j , n) 2 2u ( j , n) 3 3u ( j , n) u ( j , n 1) u ( j , n) 2 3 t 2! t 3! t 1 u ut 2utt 2 j ,n
(backward space difference) (backward time difference)
u n j

（3）一阶中心差分（central difference）
hu
n j
un 1 un
j 2
j
1 2
h
u
n j
uj
n
1 2
uj
n
1 2

1 n 1 un u j j
t 和x 不能随意选取， 需要满足一定的条件，如稳定性的CFL条 x
为了保证边界上的计算精度，在网格边界外可设置若干虚拟网络，以 保证差分格式在边界处的计算精度和内点精度保持一致。！！！！
③
④
有限差分离散网格一般选取四边形网格，对于复杂物体外形问题，也
可以选择三角形网格或其他形状网格。近年来，发展了一种无结构网
格和无网格的有限差分算法，它们的计算网格就更为复杂。
⑤
对于复杂外形飞行器流场的计算，一般需要通过坐标变 换，可以把物理平面上的复杂的、非正交的网格转换成 在计算平面上的简单、而正交的网格，这就是网格生成
技术。特别要指出的是，网格生成技术在网格设计和编
程中往往占有很大的工作量，网格生成技术好坏直接影 响到数值计算结果的精度，网格生成技术已成为计算流 体力学中的一个重要分支。
O( h2 )
称为截断误差（Truncation error），它不仅反映了差分算子对微分算子的逼
近，也反映了差分解和方程解的误差。截断误差的阶数：就是截断误差中最 低阶导数项中 或h的幂次数。（此截断误差，时间1阶，空间2阶）！！！！
用 u j 表示u(j ,n）的近似值；用差商近似代替式（1）中的微商后，可得相应 的差分方程（通过泰勒展开法最后推出的）
n
（22）
n+1 n
j-1
j
j+1
注意：
① 泰勒展开点在格边上，不是在结点上，但在格式中未出现格边量。 ② ③
O( 2 h2 ) ——全二阶精度。 1 在 ( j , n ) 点展开时，用到了周围6个结点上的量，该格式又称为六点格式。 2 Rj
2u idea：是将微分方程中的 2 项以 u ( x, t ) x