判别式及其应用

八年级数学竞赛培优专题讲义
----- 根的判别式及其应用
知识精讲
我们已经知道一元二次方程()200a ax bx c ≠++=可以通过配方转化为
044)2(2
2=-++a
b a
c a b x a 根据平方根的定义，当240b ac -≥时，方程才有实数解；当240b ac -<时，方程无解，人们把24b ac -称为一元
二次方程的判别式，记为△。

当△=24b ac -=0时，22b x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0，那么方程有两个相同实数根（称为重根）；当△=24b ac ->0时，方程有两个不同的实数根，分别为12b x x --
=，，由此可知，△的正负性关联着方程有无实数根。

例题精析
例1、已知常数a 为实数，讨论关于x 的方程0)12()2(2=++-+-a x a x a 的实数根的个数情况。

例2、关于x 的方程012223=-+--a ax ax x 只有一个实数根，求a 的取值范围。

例3、若对任何实数a ，关于x 的方程0222
=+--b a ax x 都有实数根，求实数b 的取值范围。

例4、当a 在什么范围内取值时，方程25x x a -=有且只有两个相异实数根？
例5、求方程221x y x xy y +=-++的实数解。

例6、已知()
()()240x z x y y z ----=，试求x z +与y 的关系。

例7、已知000a b c <≤>，，，且ac b ac b 242-=-，求24b ac -的最小值。

例8、关于01)1(2=+--x k kx x 的方程有有理根，求整数k 的值。

习题精练
1、满足072=++c x x 有实根的最大整数c 是（ ）
A.4
B.8
C.10
D.12
2、已知ac b 42-是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个实数根，则（ ）
A.81≥ab
B.81≤ab
C.41≥ab
D.4
1≤ab 3、设三个方程012)1(,0)12(,0324422222=-++-=+++=++++m mx x m m x m x m m mx x 中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是（ ）
A.4123-<<-m
B.23-≤m 或41-≥m
C.23-≤m 或21≥m
D.2
141≤≤-m 4、实数z y x ,,满足3,5=++=++zx yz xy z y x ，则z 的最大值是____________。

5、设q p ,为质数，则关于x 的方程042=++q px x 的整数解是___________。

6、已知关于x 的方程()()2211210a a x x -+-+=恰有一个实根，求a 的值
7、已知关于x 的方程()2
214
0a x --+=有实数根0x ，其中a 为实数，求201502015x a -的值。

8、判别方程()()1x a x a b ---=的实根个数，这里a 、b 是实数。

9、设a 、b 、c 为互不相等的实数，求证：二次方程220ax bx c ++=，220bx cx a ++=，220cx ax b ++=不可能同时都有两个相等的实根。

10、求关于x 、y 方程221
112224
530y x y x xy -++-+=的实数解。

11、求能使关于x 的方程211220111x x x a x x x +-++++=-+-只有一个实根的所有a 的值的和。

12、已知正整数m 满足3052++m m 是完全平方数，求m 的值。

13、满足6)3()3(22=-+-y x 的所有实数对),(y x 中，
x
y 的最大值是多少？
14、实数c b a ,,满足2=++c b a ，且对任何实数t ，都有不等式10189222+-≤++≤+-t t ac bc ab t t ，求证：34,,0≤
≤c b a 。

附加题：
例9、设p 为实常数，方程032
=--p px x 有两个不同的实数根21,x x 。

（1）证明：03221>-+p x px ； （2）求221222123333p
p x px p x px p A +++++=的最小可能值，并求A 取最小值时p 的值。

例10、设c b a ,,为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b 及542
--=a a bc 。

求a 的取值范围。