第十三章Green函数解的积分PPT课件

2020/10/13
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
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• 2)Green函数
• 一般我们把满足u 的相对应齐次边界条 件,并由点源所产生的场函数称为Green函数.
• 对应于第一类边值问题:
Gr,r0 rr0
G|0,由于 rr0 r0r,Gr,r0 Gr0,r
•
得出 :ur0
Fra Baidu bibliotek
Gr,r0
T
f
rdVurGrn,r0
• 例如 泊松方程 G r r0
G | 0,
•2020/10/13
G G1 G0 (1)5
• 其中G0与G1分别满足:
•
G0 r r0 .
(2)
G1 0
• G0 G1| 0
(3)
• 称G0是基本解,是无界空间中非齐次方程的
• 解 对,三而维G1空是间相应G0的r齐r0次方 程1的解..4 4 r r0
问题.
• 定解问题为: ufr.rT
(4)
•
u nu M. (5)
• 其中φ(M)是区域边界Σ上的给定函数.当α=0,β0时(5) 式为第一类边界条件,而当α 0
• β =0时为第二类边界条件,一般情况为第三类边界条
件. 2020/10/13
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• 为了研究点源所产生的场,引入δ函数来描 述点源的密度分布.
• 对二维空间
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G0 rr0
1 ln 1
2 rr0
.5
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2)用电像法求Green函数
• 设有一接地导体球,球半径为R,在距球心为 a处有一个电量为ε0的点电荷,求空间的电势.
• 解: 球内电势G=0, 对球外电势G满足方程
G r r0 .
G |rR 0.
方程的解为 :
21 xx02yzy02z23/2..ux,y,z2z xx0f2x 0,yy0 dy0 0d x2 0yz23/2.
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r r0 cos r2 2rr0 cosr02
3 2
. r
1 r r0
r02 r r0 2 a2
3
2r r r0
G
( n)
1
4
a
r02
r02 a2 2ar0 cosa2
3/2
.
202u0/10r/1,3,
a
4
0
2
0
f
0,0 r2 a2 sin0d0d0
a2 r2 2arcos3/2
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例题2 在半无界空间z>0内求解 Laplace方程在第一边值问题.
• 定解问题 Δu =0 (z>0)
•
u|z=0=f(x,y）
• 解：此问题的格林函数 G为:
Gr,r04xx02y1y02zz024xx02y1y02zz02.1
n G 0z00 z04xx02y1y02zz024xx02y1y02zz02z00
第十三章 Green函数 解的积分公式
• 12.1 泊松方程的Green函数法
• 1) Green
• 设u(r )和v(r) 在区域T及其边界Σ上具有 连续一阶导数,在T中具有连续二阶导数.
u v • d s • u v d V u v d u V • v.1 d ) (
•
Δv(r,r0)=δ(r-r0) (6)
• 下面我们利用格林公式导出泊松方程解的 积分表示式.
vuuvdV vfdVurr0d.V 7
T
T
T
vununvdSTvfduVr0.8
ur0Tvr,r0frdV vr,r0unrurvrn,r0d.S9
• (9)式称为泊松方程的基本积分公式.
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Gr,r0
urdS,(10)
n
•ur
T
Gr0,rf
r0dV 0 ur0
Gr,r0 n'
Gr,r0
ur0 n'
dS',
(11)
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(二) 用电像法求Green函数
• 1) 无界空间的Green函数
• 1. 基本解
• 从方程的解来看,Green函数本身带有边界条 件.但从方程求解上说一个非齐次方程解可 分解为两部分,其中一个解是带边界的齐次 方程的解,另一个解为不带边界的非齐次方 程的特解.
• (1 )式称为第T 一格林公式T .
• 把u与v互换可得:
v u • d s v u d V u • v. d 2 V
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T
T
1
(uvvu)•dsuvvudV .
(1)-(2)式得:
T
u n vv u ndSTuvvudV .3
• (3)称为第二格林公式.
• 现在讨论带有一定边界条件的Poisson方程的求解
•
G r r0
1
4
1 r r0
R 1
a 4
1. r r1
(6)
R2
r a a 2020/110/13 2
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例题1 在球r=a 外求解Laplace方程在第
一边值问题.
定解问题
Δu=0
• • 解:对球外区域
u|r =a=f(θ,φ)
G G , 1
1
n r ra r r r0 r r2 2rr0 cosr02