7.2偏导数与全微分

其中：∆1Q1 = Q1 ( p1 + ∆p1 , p2 ) − Q1 ( p1 , p2 )
18
p2发生变化，而 p1 不变时
∆ 2Q1 / Q1 p2 ∂Q1 ∂ ln Q1 E12 = lim = = ∆p2 → 0 ∆p / p Q1∂p2 ∂ ln p2 2 2 ∆ 2Q2 / Q2 p2 ∂Q2 ∂ ln Q2 E22 = lim = = ∆p1 → 0 ∆p / p Q2 ∂p2 ∂ ln p2 2 2
∂x
∂z 只要把x暂时看作常量而对 求导数。 暂时看作常量而对y求导数 求 时，只要把 暂时看作常量而对 求导数。 ∂y
8
例 1求
f ( x, y ) = x + 3 xy + y 在点(1,2)处的偏导数。
2 2
解 Q
f x ( x, y ) = 2 x + 3 y
f y ( x, y ) = 3 x + 2 y
∴ f x (1, 2) = (2 x + 3 y )
x =1 y=2
=8
f y (1, 2) = (3 x + 2 y )
x =1 y=2
=7
9
例2 求
z = x + sin 2 y
2
的偏导数。
解：
z x = ( x )′ = 2 x
2
zy = (sin2y)′ = cos2y ⋅ (2y)′
= 2 cos 2 y
∂ ∂z ∂2 z = f y x ( x, y) = f21 ( x, y) = ∂x ∂y ∂y∂x
∂ ∂z ∂2 z = 2 = f y y (x, y) = f22 (x, y) ∂y ∂y ∂y
14
例5
求二阶偏导数
(1)
z = x y − x y + xy
α = α ( ρ ) 为 ρ → 0 时的无穷小量，即 lim α ( ρ ) = 0 ρ →0 则称表达式中的线性主部 A∆x + B∆y 为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全微分 全微分，记为 dz 即 全微分 dz = A∆x + B∆y 可微分或可微 并称函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微分 可微。 可微分 可微。
= x + x = 2z
y y
11
例4 求 r =
x +y = ⋅ 2x = ∂x 2 x 2 + y 2 + z 2
x = x2 + y 2 + z 2 r
x
∂r = ∂y
∂r = ∂z
y = x2 + y2 + z 2 r
z = x2 + y2 + z 2 r
22
定理8.1： 可微分， 定理 ：若z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 可微分，则 在点 z=f(x,y)在 ( x0 , y0 ) 的偏导数 在
∂z ∂x
∂z , ( x0 , y0 ) ∂y
( x0 , y0 )
必定存在， 必定存在，且
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
△x △y
y0△x
o
x0
x0+△x
x
21
2．全微分
定义8.5 如果函数z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的改变 定义 量 ∆z 可表示为
= A∆x + B∆y + αρ ρ 其中 A, B 与 ∆ x , ∆ y 无关， = ( ∆x ) 2 + ( ∆y ) 2
∆z = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )
10
例3 设
z = x (x > 0, x ≠1)
y
x ∂z 1 ∂z + = 2z 求证： y ∂x ln x ∂y
∂z y −1 = y⋅x 解: Q ∂x ∂z y = x ⋅ ln x ∂y x ∂z 1 ∂z x 1 y −1 y ∴ + = ⋅y x + x ln x y ∂x ln x ∂y y ln x
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ≈ f x′( x0 , y0 )∆x
f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) ≈ f y′( x0 , y0 )∆y
如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加 矩形板在长为x 宽为y
或宽增加∆ ∆x(或宽增加∆y)，则面积的增量是偏增量。 或宽增加 ，则面积的增量是偏增量。
5
3．偏导函数概念
① 偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点 (x,y)处对 x（ y ）的偏导数都存在， ) 则它就是x,y的函数，称为偏导函数。 ② 记号： ∂z ∂ f z 或 f ( x, y )
∂x ∂x
x
x
∂z ∂y
∂f ∂y
zy
或
f y ( x, y )
③ z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是偏导函数在(x0,y0) 处的函数值. ④ 在不至混淆时常称偏导函数为偏导数。
z M
o y P D x
2．偏导数定义
定义8.4 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内 定义 有定义，如果固定 y = y0 后，一元函数 f ( x, y0 )在 点 x = x0 处可导，即极限
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) lim =A ∆x →0 ∆x 存在，则称A为函数 z = f ( x, y ) 在点( x0 , y0 ) 处关
20
⑵全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都 全增量：
取得增量时，函数z的增量称为全增量。
如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变， 这时面积的改变量（增量）就是全增量。
∆S = ( x + ∆x)( y + ∆y ) − xy
= y∆x + x∆y + ∆x∆y
y
y0+△y y0 x0△y
6
4. 偏导数的几何意义
z
z=f(x,y0)
∂z ∂x
x = x0 y = y0
M0 Tx o x0 P0
Ty
z=f(x0,y)
——切线 0Tx对x 切线M 切线 轴的斜率
y0
y
∂z ∂y
x
x = x0 y = y0
——切线M0Ty对y轴的斜率 切线M 切线 轴的斜率
7
5．偏导数的计算法
对哪一个自变量求偏导数时， 对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算： 变量视为常数，按一元函数求导法则计算： 只要把y暂时看作常量而对 求导数； 暂时看作常量而对x求导数 求 ∂ z 时，只要把 暂时看作常量而对 求导数；
13
z=f(x,y)的二阶偏导数 z=f(x,y)的二阶偏导数
记号： 记号： ∂ ∂z ∂ z
2
= 2 = f xx (x, y) = f11(x, y) ∂x ∂x ∂x ∂ ∂z ∂2 z = f x y ( x, y) = f12 ( x, y) = ∂y ∂x ∂x∂y
§7.2
偏导数 与 全微分
1
一．偏导数
1. 一元函数变化率与多元函数变化率 ① 一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率， 一元函数y=f(x)只存在y y=f(x)只存在 变化的变化率， 即点x 轴移动的一个方式下的变化率（ 即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变化 快慢） 快慢） y
P
o
x x
2
● 二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率﹑ 二元函数z=f(x,y)存在z 变化的变化率﹑ z=f(x,y)存在 变化的变化率﹑ 同时变化的变化率。 随y变化的变化率﹑随x﹑y同时变化的变化率。
即点P(x,y)在域D内可沿x 即点P(x,y)在域D内可沿x轴﹑沿y轴﹑沿其 P(x,y)在域 它直线方向移动的多个方式下的变化率。 它直线方向移动的多个方式下的变化率。因 而研究二元函数的变化率问题， 而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪 一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。 一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。
∆ 其中： 2Q1 = Q1 ( p1 , p2 + ∆p2 ) − Q1 ( p1 , p2 )
E11 称为1商品需求量 Q1 对自身价格 p1 的直接价 直接价 格偏 弹性；E12 称为1商品需求量 Q1 对相关价格 p2 弹性
交叉价格偏弹性。 的交叉价格偏弹性 交叉价格偏弹性
19
二．全微分
1．全增量 偏增量：对于z=f(x,y) z=f(x,y)若两个自变量中只有一 ⑴偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z的增量称为偏增量 个变化时，函数z的增量称为偏增量。
② 类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、…、n阶 类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、 、 阶 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数； 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数； 二元函数的二阶偏导数有4个 三阶有8个 ③ 二元函数的二阶偏导数有 个，三阶有 个， n阶有 n个；三元函数的 阶偏导数有 n个； 阶有2 三元函数的n阶偏导数有 阶偏导数有3 阶有 等等。 等等。
3 2 2 3
解： ∂z Q = 3 x 2 y 2 − 2 xy 3 + y ∂x
∂z = 2 x3 y − 3x 2 y 2 + x ∂y
∂ z ∴ 2 = 6 xy 2 − 2 y 3 ∂x
2
∂2z = 2 x3 − 6 x 2 y ∂y 2 ∂z 2 2 = 6x y − 6xy +1 ∂y∂x
17
7. 偏导数的经济意义
边际需求: 边际需求 两种商品，价格分别为 p1 和 p2 需求函数： Q1 ( p1 , p2 ) Q2 ( p1 , p2 ) ∂Q1 ∂Q1 ∂Q2 ∂Q2 称为边际需求 , , , ∂p1 ∂p2 ∂p1 ∂p2 偏弹性:
p1 发生变化，而 p2 不变时
∆1Q1 / Q1 p1∂Q1 E11 = lim = ∆p1 → 0 ∆p / p Q1∂p1 1 1 ∆1Q2 / Q2 p1∂Q2 E21 = lim = ∆p1 → 0 ∆p / p Q2 ∂p1 1 1
2
15
∂ z = 6 x 2 y − 6 xy 2 + 1 ∂x∂y
2
(2)
解： ∂z
y z = arctan x
y
2
x ∂2z −2 x ∴ 2 = −y⋅ 2 ∂x ( x + y 2 )2
x2 Q =− y2 ∂x 1+
y =− 2 x + y2
1 ∂z x = ∂y 1 + y 2
x2
x = 2 x + y2
∂2z −2 xy = 2 2 ∂y ( x + y 2 )2
16
[注记 注记]： 注记
2 ∂2 z ∂ 2 z ∂ 2 z 在D内连续，则在 内 ∂ z 内连续， ① 若 内连续 则在D内 = ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x
（二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！） 二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）
于自变量 x 的偏导数，记为 f ( x , y ) x 0 0 或 ∂z ∂f x = x0 x = x0 z x x = x 0 ∂x y = y0 ∂ x y = y0 y = y0
4
z 类似地， 的偏导数定 类似地， = f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 处对y的偏导数定 的偏导数 义为
12
y
z
6.高阶偏导数 6.高阶偏导数
二阶偏导数： 二阶偏导数： 设 z = f ( x, y )为D上的二元函数 ，则其在
D上的偏导数为
∂z ∂z = f y ( x, y ) = f x ( x, y ) ∂y ∂x ∂z ∂z , 的偏导数也存在， 若二元函数 ∂x ∂y 的偏导数也存在， 二阶偏导数。 则称其是函数 z = f ( x, y ) 的二阶偏导数。
2 xy 2xy = 2 ( x + y 2 )2
∂2z ( x2 + y2 ) − y ⋅ 2 y y 2 − x2 =− = 2 ∂x∂y ( x 2 + y 2 )2 ( x + y 2 )2 ∂ z (x + y ) − x ⋅ 2x = ∂y ∂x ( x2 + y 2 )2
2 2 2
y 2 − x2 = 2 ( x + y 2 )2
f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) =B lim ∆y →0 ∆y
记为
f y ( x0 , y0 )
或
∂z ∂y
x = x0 y = y0
∂f ∂y
x = x0 y = y0
zy
x = x0 y = y0
f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) = lim ∆y →0 ∆y