格利森弧齿锥齿轮啮合传动节线的数学原理
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2 锥齿轮副传动时其节线关系
2. 1 节线关系的定性分析 用范成法加工锥齿轮 , 相当于一对啮合的锥齿
轮传动 ,但是为了使刀具易于制造及机床结构易于 实现 ,加工锥齿轮的过程并不是一对普通锥齿轮啮 合过程的再现 ,而是将其中的一个锥齿轮转化成平 面齿轮.
在图 5 中锥齿轮 1 和锥齿轮 2 分别同一个相同 的平面齿轮相啮合 , 则这 2 个锥齿轮也能彼此相啮 合. 弧齿锥齿轮的切齿就是按这一个基本原理实现
θ( t)
= arctan
y x
( t) ( t)
.
点为 P1 ,容易求得 P1 在 X O Y 面上的极坐标为 :
ρ1 ( t)
φ1 ( t)
= θ2π1ρ( t) = θ2π1θ( t)
, ,
P P1 =
[ρ( t) ]2 - [ρ1 ( t) ]2 =ρ( t)
1-
θ1 2π
2
.
所以 , P 点的空间坐标 ( 曲线在空间的参数方
θ2π1 arctan
ssin β+ sco sβ+
rsi n rco s
t t
,
Y
=
θ1 2π
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 sin
θ2π1 arctan
ssin β+ sco sβ+
rsi n rco s
t t
,
Z=
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2
1-
θ1 2π
2
.
(1)
11 2 圆锥面上特定曲线方程推导
设在扇形平面上的曲线是一段圆弧 ,如图 3 所示.
图 1 平面扇形 Fig. 1 The plane sector
图 2 扇形卷起后的圆锥面 Fig. 2 The co ne surface wit h t he rolled2up sector
谷计划 ,段建中
(宁夏大学 机械工程学院 ,宁夏 银川 750021)
摘 要 :弧齿锥齿轮齿面线是设计和加工的重要几何要素 ,同时也是弧齿锥齿轮机床设计 (包括格里森制式和奥利 康制式) 的重要出发点之一. 从节圆锥面上节线的基本定义出发 ,结合格里森制式弧齿锥齿轮的加工原理 ,推导出 单个弧齿锥齿轮的节线方程 ,并定量证明了一对相互啮合的弧齿锥齿轮节线在转动过程中是连续接触的. 为弧齿 锥齿轮接触轨迹方向的研究及接触状态的分析提供了一种方法. 关键词 :弧齿锥齿轮 ; 节圆锥 ; 节线 中图分类号 : T H 132 文献标志码 :A 文章编号 :10062754X(2010) 0120071205
一般地 ,弧齿锥齿轮的齿面线定义为轮齿的齿 面与一个同顶点 同轴线相似圆锥面的交线 (狭义 地可定义为分度圆锥面与齿面的交线) . 理论上 ,从 齿顶到齿根无穷多个这样的交线之集合就是齿面. 所以 ,定量地描述齿面线对于设计是很有意义的 ,遗 憾的是 ,在现有的弧齿锥齿轮教科书和专著中均未 涉及齿面线的数学表示. 通常的表述是 :弧齿锥齿轮 的齿面线是与其相啮合的平面齿轮之齿面线 ,对于 格里森制式的齿轮而言 , 齿面线则是一个标准的 圆[1] . 那么这个圆对应到“与其相啮合”弧齿锥齿轮 上又是什么曲线呢 ? 进一步问 ,一对相互啮合的弧 齿锥齿轮上的节线之间在几何上是如何接触的呢 ? 本文用详尽的数学推导定量地回答了上述问题. 首
Abstract : The toot h facial line of spiral bevel gears is t he key geo met ric element in design and manufact ure , and meantime it is o ne of t he crucial co nsideratio ns in design of spiral bevel gear machining tool . This paper began wit h t he basic definitio n of pitch lines , and by co mbining t he machining p rinciple of Gleaso n spiral bevel gears ; t he pitch line equatio n of single spiral bevel gear was deduced. The co nclusio n t hat t he pairing t wo pitch lines of spiral bevel gear co ntacted co ntinuo usly during t ransmissio n was quantitatively p roved. It p rovides a met hod for researching co ntact t rack and co ntact state of spiral bevel gear s. Key words :spiral bevel gear ; pitch co ne ; pitch line
11 3 结合弧齿锥齿轮的加工原理确定节圆锥面上 的节线方程
图 4 所示为铣刀盘与假想平面齿轮之间的几何 关系示意图[2] . O 点为假想平面齿轮定轴回转中心 , O1 点为铣刀盘相对于摇台的定轴回转中心 , s 为刀 位 , q 为向径角 , H ,V 分别为 s 在 X , Y 轴上的投影 , β为齿宽中点螺旋角 , r 为铣刀盘半径.
通信联系人 :段建中 ,教授 , E2mail :duanjz @163. co m.
·72 ·
工 程 设 计 学 报
第 17 卷
上的节线.
1. 1 圆锥面上一般曲线方程推导
为了体现一般性 ,把扇形中的一段圆弧改为任 意一条曲线.
已知条件 :一个半径为 L 、圆心角为θ1 的平面
扇形卷成圆锥面后 , P 点在 X O Y 面上的投影
图 3 扇形中有一条确定位置的圆弧 Fig. 3 The sector wit h a circular are wit h fixed location
其参数方程为 :
x = x ( t) = a + rco s t , y = y ( t) = b + rsin t.
δa
rct
a
n
V + rsin t H + rco s t
,
Y = sin δ
( H + rco s t) 2 + (V + rsin t) 2 sin
si
1 n
δa rct a
nHale Waihona Puke V H+ +
rsin t rco s t
,
(2)
Z = co s δ ( H + rco s t) 2 + (V + rsin t) 2 , 式中δ为节锥角.
扇形中 ,有一条参数方程为 x = x ( t) 的曲线. 现在 y = y ( t)
把这个扇形卷成一个圆锥面 , 求曲线在空间坐标的
方程. 如图 1 、图 2 所示扇形面上坐标为 x = x ( t) y = y ( t)
的一点 P ,它的极坐标为 :
ρ( t) = [ x ( t) ]2 + [ y ( t) ]2 ,
rsi n rco s
t t
,
Y = sin δ
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 sin
si
1 n
δarct
a
n
ssin β+ sco sβ+
rsi n rco s
t t
,
Z = co sδ ( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 .
图 5 锥齿轮的切齿原理 Fig. 5 The cutting p riciple of bevel
的. 锥齿轮 1 的节锥及锥齿轮 2 的节锥分别在平面 齿轮的节平面上滚动 , 则节平面上的圆弧线便分别 “印”在锥齿轮 1 的节锥及锥齿轮 2 的节锥上 , 形成 了节线 1 和节线 2 ;这样锥齿轮 1 的节锥及锥齿轮 2 的节锥作相互纯滚动时 , 节线 1 和节线 2 彼此连续 接触.
程) 为 :
X
=
θ1 2π
[ x ( t)
]2
+
[ y ( t)
]2 co s[θ2π1 arctan
y ( t) x ( t)
],
Y
=
θ1 2π
[ x ( t)
]2
+ [ y ( t)
]2 sin[θ2π1 arctan
y ( t) x ( t)
],
Z=
[ x ( t) ]2 + [ y ( t) ]2
收稿日期 :2009208214. 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (50665005) ;宁夏回族自治区自然科学基金资助项目 (N Z0720) . 作者简介 :谷计划 (1983 - ) ,男 ,河南开封人 ,硕士 ,从事先进制造技术 、CAD/ CAM 研究 , E2mail :286687663 @qq. co m.
1-
θ1 2π
2
.
第 1 期
谷计划 ,等 :格利森弧齿锥齿轮啮合传动节线的数学原理
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把 sin δ= θ2π1 代入上式 ,得
X = sin δ
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 co s
si
1 n
δarct
a
n
ssin β+ sco sβ+
第 17 卷第 1 期 2010 年 2 月
工程设计学报
Journal of Engineering Design
DO I :10. 3785/ j. issn. 10062754X. 2010. 01. 013
Vol . 17 No . 1 Feb. 2010
格利森弧齿锥齿轮啮合传动节线的数学原理
根据图 3 所示可知 : a = sco s β, b = ssin β, 则其
参数方程为 :
x = x ( t) y = y ( t)
= sco sβ+ = ssin β+
rco s t , rsin t ,
代入式 (1) ,就得到扇形卷成圆锥后这段圆弧在 空间的参数方程为 :
X
=
θ1 2π
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 co s
2. 2 节线关系的定量分析
理论上加工一对相啮合的弧齿锥齿轮用的铣刀 盘是相同的. 从此点出发 , 结合前述推导的节线方 程 ,用定量的方法证明 :是否由同一把铣刀盘加工的 2 个正确啮合的弧齿锥齿轮的 2 个节圆锥纯滚动 时 ,其上的两节线连续接触 ?
一对正确啮合的弧齿锥齿轮的节线旋向应为 1 个左旋 、1 个右旋 , 现假定锥齿轮 2 的节线为左旋 , 则锥齿轮 1 的节线为右旋. 对于锥齿轮 2 , 因其为左 旋 ,则加工其的假想平面齿轮应为右旋 , 则 V 值应 为负 ;而对于锥齿轮 1 , 因其为右旋 , 则加工其的假 想平面齿轮应为左旋 ,V 值应为正.
根据图 4 所示三角形关系 , 可推得弧齿锥齿轮 节圆锥面上的齿面线方程为 :
图 4 铣刀盘中心位置的确定 Fig. 4 The determinatio n of t he location
X = sin δ
( H + rco s t) 2 + (V + rsin t) 2 co s
si
1 n
Mathematic principle of pitch line of Gleason spiral bevel gear pair in driving
GU J i2hua , DU AN J ian2zho ng
( School of Mechanical Engineering , Ningxia U niversity , Yinchuan 750021 , China)
次展示了弧齿锥齿轮节线在空间是什么“样子”,推 导出单个齿轮上的空间节线方程以及一对相互啮合 齿轮节线之间的几何接触方程式 ,定量地说明了相 互啮合的一对弧齿锥齿轮之间的几何接触状态 ,为 齿轮的设计和加工提供了重要的参考工具.
1 弧齿锥齿轮节锥面上节线方程
弧齿锥齿轮的节线在节圆锥展开面上为圆弧的 一段 ,我们知道节圆锥展开面为一扇形 (为方便以后 的数学证明 ,把节圆锥展开面统一叫做扇形) . 根据 这一定义我们进行逆向思维 :假设扇形上有一段圆 弧 (这段圆弧的方程式很容易求出) ,然后把这个扇 形卷成节圆锥 ,那么在扇形上的圆弧就成为节圆锥
2. 1 节线关系的定性分析 用范成法加工锥齿轮 , 相当于一对啮合的锥齿
轮传动 ,但是为了使刀具易于制造及机床结构易于 实现 ,加工锥齿轮的过程并不是一对普通锥齿轮啮 合过程的再现 ,而是将其中的一个锥齿轮转化成平 面齿轮.
在图 5 中锥齿轮 1 和锥齿轮 2 分别同一个相同 的平面齿轮相啮合 , 则这 2 个锥齿轮也能彼此相啮 合. 弧齿锥齿轮的切齿就是按这一个基本原理实现
θ( t)
= arctan
y x
( t) ( t)
.
点为 P1 ,容易求得 P1 在 X O Y 面上的极坐标为 :
ρ1 ( t)
φ1 ( t)
= θ2π1ρ( t) = θ2π1θ( t)
, ,
P P1 =
[ρ( t) ]2 - [ρ1 ( t) ]2 =ρ( t)
1-
θ1 2π
2
.
所以 , P 点的空间坐标 ( 曲线在空间的参数方
θ2π1 arctan
ssin β+ sco sβ+
rsi n rco s
t t
,
Y
=
θ1 2π
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 sin
θ2π1 arctan
ssin β+ sco sβ+
rsi n rco s
t t
,
Z=
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2
1-
θ1 2π
2
.
(1)
11 2 圆锥面上特定曲线方程推导
设在扇形平面上的曲线是一段圆弧 ,如图 3 所示.
图 1 平面扇形 Fig. 1 The plane sector
图 2 扇形卷起后的圆锥面 Fig. 2 The co ne surface wit h t he rolled2up sector
谷计划 ,段建中
(宁夏大学 机械工程学院 ,宁夏 银川 750021)
摘 要 :弧齿锥齿轮齿面线是设计和加工的重要几何要素 ,同时也是弧齿锥齿轮机床设计 (包括格里森制式和奥利 康制式) 的重要出发点之一. 从节圆锥面上节线的基本定义出发 ,结合格里森制式弧齿锥齿轮的加工原理 ,推导出 单个弧齿锥齿轮的节线方程 ,并定量证明了一对相互啮合的弧齿锥齿轮节线在转动过程中是连续接触的. 为弧齿 锥齿轮接触轨迹方向的研究及接触状态的分析提供了一种方法. 关键词 :弧齿锥齿轮 ; 节圆锥 ; 节线 中图分类号 : T H 132 文献标志码 :A 文章编号 :10062754X(2010) 0120071205
一般地 ,弧齿锥齿轮的齿面线定义为轮齿的齿 面与一个同顶点 同轴线相似圆锥面的交线 (狭义 地可定义为分度圆锥面与齿面的交线) . 理论上 ,从 齿顶到齿根无穷多个这样的交线之集合就是齿面. 所以 ,定量地描述齿面线对于设计是很有意义的 ,遗 憾的是 ,在现有的弧齿锥齿轮教科书和专著中均未 涉及齿面线的数学表示. 通常的表述是 :弧齿锥齿轮 的齿面线是与其相啮合的平面齿轮之齿面线 ,对于 格里森制式的齿轮而言 , 齿面线则是一个标准的 圆[1] . 那么这个圆对应到“与其相啮合”弧齿锥齿轮 上又是什么曲线呢 ? 进一步问 ,一对相互啮合的弧 齿锥齿轮上的节线之间在几何上是如何接触的呢 ? 本文用详尽的数学推导定量地回答了上述问题. 首
Abstract : The toot h facial line of spiral bevel gears is t he key geo met ric element in design and manufact ure , and meantime it is o ne of t he crucial co nsideratio ns in design of spiral bevel gear machining tool . This paper began wit h t he basic definitio n of pitch lines , and by co mbining t he machining p rinciple of Gleaso n spiral bevel gears ; t he pitch line equatio n of single spiral bevel gear was deduced. The co nclusio n t hat t he pairing t wo pitch lines of spiral bevel gear co ntacted co ntinuo usly during t ransmissio n was quantitatively p roved. It p rovides a met hod for researching co ntact t rack and co ntact state of spiral bevel gear s. Key words :spiral bevel gear ; pitch co ne ; pitch line
11 3 结合弧齿锥齿轮的加工原理确定节圆锥面上 的节线方程
图 4 所示为铣刀盘与假想平面齿轮之间的几何 关系示意图[2] . O 点为假想平面齿轮定轴回转中心 , O1 点为铣刀盘相对于摇台的定轴回转中心 , s 为刀 位 , q 为向径角 , H ,V 分别为 s 在 X , Y 轴上的投影 , β为齿宽中点螺旋角 , r 为铣刀盘半径.
通信联系人 :段建中 ,教授 , E2mail :duanjz @163. co m.
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工 程 设 计 学 报
第 17 卷
上的节线.
1. 1 圆锥面上一般曲线方程推导
为了体现一般性 ,把扇形中的一段圆弧改为任 意一条曲线.
已知条件 :一个半径为 L 、圆心角为θ1 的平面
扇形卷成圆锥面后 , P 点在 X O Y 面上的投影
图 3 扇形中有一条确定位置的圆弧 Fig. 3 The sector wit h a circular are wit h fixed location
其参数方程为 :
x = x ( t) = a + rco s t , y = y ( t) = b + rsin t.
δa
rct
a
n
V + rsin t H + rco s t
,
Y = sin δ
( H + rco s t) 2 + (V + rsin t) 2 sin
si
1 n
δa rct a
nHale Waihona Puke V H+ +
rsin t rco s t
,
(2)
Z = co s δ ( H + rco s t) 2 + (V + rsin t) 2 , 式中δ为节锥角.
扇形中 ,有一条参数方程为 x = x ( t) 的曲线. 现在 y = y ( t)
把这个扇形卷成一个圆锥面 , 求曲线在空间坐标的
方程. 如图 1 、图 2 所示扇形面上坐标为 x = x ( t) y = y ( t)
的一点 P ,它的极坐标为 :
ρ( t) = [ x ( t) ]2 + [ y ( t) ]2 ,
rsi n rco s
t t
,
Y = sin δ
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 sin
si
1 n
δarct
a
n
ssin β+ sco sβ+
rsi n rco s
t t
,
Z = co sδ ( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 .
图 5 锥齿轮的切齿原理 Fig. 5 The cutting p riciple of bevel
的. 锥齿轮 1 的节锥及锥齿轮 2 的节锥分别在平面 齿轮的节平面上滚动 , 则节平面上的圆弧线便分别 “印”在锥齿轮 1 的节锥及锥齿轮 2 的节锥上 , 形成 了节线 1 和节线 2 ;这样锥齿轮 1 的节锥及锥齿轮 2 的节锥作相互纯滚动时 , 节线 1 和节线 2 彼此连续 接触.
程) 为 :
X
=
θ1 2π
[ x ( t)
]2
+
[ y ( t)
]2 co s[θ2π1 arctan
y ( t) x ( t)
],
Y
=
θ1 2π
[ x ( t)
]2
+ [ y ( t)
]2 sin[θ2π1 arctan
y ( t) x ( t)
],
Z=
[ x ( t) ]2 + [ y ( t) ]2
收稿日期 :2009208214. 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (50665005) ;宁夏回族自治区自然科学基金资助项目 (N Z0720) . 作者简介 :谷计划 (1983 - ) ,男 ,河南开封人 ,硕士 ,从事先进制造技术 、CAD/ CAM 研究 , E2mail :286687663 @qq. co m.
1-
θ1 2π
2
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第 1 期
谷计划 ,等 :格利森弧齿锥齿轮啮合传动节线的数学原理
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把 sin δ= θ2π1 代入上式 ,得
X = sin δ
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 co s
si
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δarct
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ssin β+ sco sβ+
第 17 卷第 1 期 2010 年 2 月
工程设计学报
Journal of Engineering Design
DO I :10. 3785/ j. issn. 10062754X. 2010. 01. 013
Vol . 17 No . 1 Feb. 2010
格利森弧齿锥齿轮啮合传动节线的数学原理
根据图 3 所示可知 : a = sco s β, b = ssin β, 则其
参数方程为 :
x = x ( t) y = y ( t)
= sco sβ+ = ssin β+
rco s t , rsin t ,
代入式 (1) ,就得到扇形卷成圆锥后这段圆弧在 空间的参数方程为 :
X
=
θ1 2π
( sco sβ+ rco s t) 2 + ( ssin β+ rsin t) 2 co s
2. 2 节线关系的定量分析
理论上加工一对相啮合的弧齿锥齿轮用的铣刀 盘是相同的. 从此点出发 , 结合前述推导的节线方 程 ,用定量的方法证明 :是否由同一把铣刀盘加工的 2 个正确啮合的弧齿锥齿轮的 2 个节圆锥纯滚动 时 ,其上的两节线连续接触 ?
一对正确啮合的弧齿锥齿轮的节线旋向应为 1 个左旋 、1 个右旋 , 现假定锥齿轮 2 的节线为左旋 , 则锥齿轮 1 的节线为右旋. 对于锥齿轮 2 , 因其为左 旋 ,则加工其的假想平面齿轮应为右旋 , 则 V 值应 为负 ;而对于锥齿轮 1 , 因其为右旋 , 则加工其的假 想平面齿轮应为左旋 ,V 值应为正.
根据图 4 所示三角形关系 , 可推得弧齿锥齿轮 节圆锥面上的齿面线方程为 :
图 4 铣刀盘中心位置的确定 Fig. 4 The determinatio n of t he location
X = sin δ
( H + rco s t) 2 + (V + rsin t) 2 co s
si
1 n
Mathematic principle of pitch line of Gleason spiral bevel gear pair in driving
GU J i2hua , DU AN J ian2zho ng
( School of Mechanical Engineering , Ningxia U niversity , Yinchuan 750021 , China)
次展示了弧齿锥齿轮节线在空间是什么“样子”,推 导出单个齿轮上的空间节线方程以及一对相互啮合 齿轮节线之间的几何接触方程式 ,定量地说明了相 互啮合的一对弧齿锥齿轮之间的几何接触状态 ,为 齿轮的设计和加工提供了重要的参考工具.
1 弧齿锥齿轮节锥面上节线方程
弧齿锥齿轮的节线在节圆锥展开面上为圆弧的 一段 ,我们知道节圆锥展开面为一扇形 (为方便以后 的数学证明 ,把节圆锥展开面统一叫做扇形) . 根据 这一定义我们进行逆向思维 :假设扇形上有一段圆 弧 (这段圆弧的方程式很容易求出) ,然后把这个扇 形卷成节圆锥 ,那么在扇形上的圆弧就成为节圆锥