2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)06映射课件(共29张PPT)

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[例1] 求螺线x a cos t, y a sint, z ct 从
点A(a,0,0)到 点B(a,0,2c )一 段 弧 的 弧 长.
[解] 点A, B分 别 对 应 于 参 数t 0, t 2 .
由 弧 长 的 计 算 公 式, 有 20
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s x2(t) y2(t) z(t) dt
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2020高中数学竞赛 辅导课件 （联赛版）
基础微积分
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第六讲
一、映射及其微分 二、曲线的弧长 三、曲率
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一、映射及其微分
(一)映射
定义1： 设是Rn中 的 一 个 非 空 区 域,如 果 按 照 某 种
法 则f , 使 每 一 个X 唯 一 地 对 应 某 个Y Rm ,
) )
X0 dX
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[例4] 设Y f (U ),U g( X ),其 中
Y ( y1, y2 )T，U (u1, u2 , u3 )T , X (r, , )T
y1 y2
u1u2u3 u1 u2
u3
,
u1 r sin cos u2 r sin sin u3 r cos
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(二)映射的微分
设U f ( X )是 Rn到Rm的 一 个 映 射,
其 中 X ( x1 , x2 , xn )T ,U (u1 , u2 , um )T
u1( x1 , x2 , , xn )
f ( X ) u2 ( x1, x2 , , xn )
um
(
x1
,
x2
2dx2
dx3
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[例3] 设
r(t)
( x(t ),
y(t), z(t))T
,
r(t) ( x(t), y(t), z(t))T 0, 证明
若 r(t) r(t) 0 , 则 r(t) C
[证] d r(t ) 2 d [ x(t )2 y(t )2 z(t )2 ]
x a cos t,
y
a
sint
,
20
t [ , ] 15
10
z vt,
5 0
2
1
2
(2) f : D R2 R3 ,
0 -1
1 0 -1
-2 -2
D {( , ) 0 2 ,0 }
x R sin cos ,
y
R sin
sin
,
z
R cos
,
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( , ) D
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设 空 间 曲 线L由 参 数 方 程 给 出
x x(t)
L:
y
y(t )
( t )
z z(t )
x(t), y(t ), z(t) C[ , ], 且不同时为零
l (x)2 (y)2 (z)2
由拉格朗日中值定理
l x(1 )2 y(2 )2 z(3 )2 t
a11
L( X )
AX
a21
a12 a22
am1 am2
a1n x1
a2
n
x2
amn
xnLeabharlann Baidu
n
a1 j x j
j1
n
a2 j x j
j 1
n
T
amj x j
j 1
反 之 ， 任 意 一 个m n矩 阵A, 都 确 定 一 个
Rn到Rm的 一 个 线 性 映 射L.
10 5
0
2
a sin t a cos t c dt 2
2
2
2
2
1
2
0 -1
1 0 -1
-2 -2
0
2 a 2 c2 dt 2 a2 c2 0
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三、曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量 [引理1] 设 r(t) ( x(t), y(t), z(t))T，
r(t) ( x(t), y(t), z(t))T 0,向 量 值 函 数
X
0
J 1( f ( X0 ))
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二、曲线的弧长
将 L 任意分成n个小弧段Mi1Mi , 记各小
弧段的长度为li (i 1, , n),
Mi M i 1
n
n
s li Mi1Mi
i 1
i 1
M1
A M0
max
1 i n
M
i
1
M
i
B Mn
n
s lim Mi1Mi 0 i1
由 多 元 复 合 函 数 求 导 的链 式 法 则 也 能 求 出
相 同 的 结 果.
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(四)反函数微分法（逆映射微分法）
设 区 域 Rn，Y f ( X )是 从到Rn的 一 个
可
微
映
射
，X
0
.如
果
映
射f在X
处
0
的
雅
可
比
矩
阵J ( f ( X 0 ))可 逆 ， 则 存 在Y0 f ( X 0 )的 某 邻 域U ,
r(t)保 持 定 长 的 充 要条 件 是r(t) r(t) 0.
[引理2] 设 r(t) ( x(t), y(t), z(t))T , r(t) 1,
则r(t) ( x(t), y(t), z(t))T 在 与r正 交 的 方 向 上, r(t) 表 示 向 量r(t)转 动 的 角 度 相
dt
dt
2(
x(t
),
y(t
),
z(t
))
x(t y(t
) )
2r(t
)
r'(t
)
0
z(t
)
r(t) C
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(三)复合映射的微分
[定 理] 设U g( X )是Rn到Rm的 映 射 ，Y f (U )
是Rm到Rk的 映 射 。X0 Rn ,U0 g( X0 ).如 果
s s
ds s0 s
s
T ( s)
反 映 曲 线 在 一 点 处 的 弯曲 程 度
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球面的参数方程 5
定义2：
设 映 射f : Rn Rm , X 0 .如 果
lim
X X0
f (X)
f
(
X
0
),
则
称
映
射f在
点X
处
0
连 续.
语言描述：
0, 0, 使 当X 满 足
d ( X , X 0 ) ,恒 有d ( f ( X ), f ( X 0 )) 成 立 。
如 果 映 射f在 区 域中 每 一 点 都 连 续, 则 称f是 区 域上 的 连 续 映 射.
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定义3：
设 映 射L : Rn Rm , 如 果 对 于 任 意
的 实 数，和 任 意 向 量X Rn ,Y Rn , 都 有
L(X Y ) L( X ) L(Y )
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n
n
s li
i 1
i 1
弧长公式
x(i )2 y(i )2 z(i )2 ti
s
dl
x2(t) y2(t) z2(t) dt
设 t , 对应点A; t , 对应点B,
因为dl 0，应有dt 0, t
弧长的微分
dl [x(t)]2 [ y(t)]2 [z(t)]2 dt
则 称f为到Rm的 一 个 映 射.
叫做f的定义域, 记作D( f ).与X 对应的Y 表示为Y f ( X ).Y的取值范围称为f的值域，记 为R( f ).
映 射f ： Rn Rm又 称 为 向 量 值 函 数.
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[例1]
(1) f :[ , ] R R3
螺旋线的参数方程
f
(
X
)在X
处
0
可
微
，
则
f f ( X0 X ) f ( X0 )
df ( X0 ) , ( X ) 其中
X (x1, x2 , , xn )T (dx1, dx2 , , dxn )T
[例2]设Y f ( X )为R3 R2的 映 射
y1 y2
x1 x2 x2 x3 x1 x2 x3
y1 y2
x1 x2 x2 x3 x1 x2 x3
x3 x1
X0 (1,1,2)T
x2 x3 x2 x3
x3 x1 x3 x1
x1 x2
x1 x2
df ( X0 ) J ( f ( X0 ))dX
3
2
1 2
0 1
dx1 dx2 dx3
3dx1 dx2
2dx1
映 射U
g
(
X
)在X
处
0
可
微,
映
射Y
f (U )在
U0处 可 微, 则
复合映射 Y f g(X ) f (g(X ))
在X
处
0
可
微
，
且
J ( f g)(X 0 ) J ( f (U0 )) J ( g( X 0 )), 即
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( y1 , y2 , , yk ) ( x1 , x2 , , xn ) X0
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f在X
处
0
的
雅
可
比
矩
阵
J( f (X0))
(u1 , u2 , , um ) ( x1 , x2 , , xn )
X0
u1
x1
u2
x1
um
x1
u1 x2
u2 x2
um x2
u1
xn
u2
xn
um
X0
xn
又
称
为
映
射f在X
处
0
的
导
数
。
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如 果 映 射U
对 于 参 数t 的 变 化 率.
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x x(t)
设空间曲线 L:
y
y( t )
z z(t)
向 量 值 函 数r ( x(t), y(t), z(t))T
曲线的弧长
s t x2(t) y2(t) z2(t) dt t0
t r(t) dt
ds
t0
r(t) 0, 根据反函数定理,
u2
r
sin
sin
u3 r cos
sin cos r sin sin r cos cos
u2u3
1
u3u1 1
u1u2 1
sin sin cos
r sin cos
0
r
cos
cos
r sin
y1 就是J ( f g( X ))的第一行第二列元素，
y1
u2u3r sin sin
u3u1r sin cos
x3 x1
考 察f在X R3处 是 否 可 微,若 可 微 ， 求 其
Jacobi矩 阵 及 在X0 (1,1,2)T 处 的 微 分 。
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[解] 因 为 函 数y1( X ), y2 ( X )在R3上 均 可 微,所 以
f在R3上 处 处 可 微 。
J ( f ( X )) ( y1, y2 ) ( x1 , x2 , x3 )
则 称L是Rn到Rm的 一 个线线性性映映 射 射.
如 果L是Rn到R m的 一 个 线 性 映 射 ， 则 必存 在
m n矩阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
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am1 am2
amn
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使 得 对 于 任 意 的X ( x1 , x2 , xn )T , 有
dt
t是s的连续可微函数t ：t(s)
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用 弧 长s作 为 参 数 ， 则r(t) r(t(s)).
s叫 做自 然参 数对。s求导，
dr ds
rt
dt ds
rt
ds dt
rr(tt )
,
设
曲
线L
:
r
r( s),
T(
s)是
曲
线L的
单
位
切
向
量
，
倾角对弧长的变化率
T (s s)
d lim
求复合映射f g的微分及y1 .
[解] dY J( f g( X ))dX
J ( f g( X )) ( y1, y2 ) (u1, u2 , u3 )
(u1, u2 , u3 ) (r, , )
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J( f g(X ))
y1 y2
u1u2u3 u1 u2
u3
,
u1 r sin cos
确定
X0
的Rn到Rm的线性映射 J ( f ( X0 ))dX
称 为 映 射U
f
(
X
)在
点X
处
0
的
微
分
。
记
作df
(
X
0
).
u1
x1
u2
即
df
(
X
0
)
x1
um
u1
x2 u2
x2 um
u1
xn
u2
xn
um
dx1
dx2
dxn
x1 x2
xn X0
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使 得 在U上 定 义 了f 的 逆 映 射X f 1(Y ),满 足
X 0 f 1(Y0 ).逆 映 射X f 1(Y )在Y0处 可 微, 且
J ( f 1(Y0 ))
( x1, x2 , ( y1, y2 ,
, xn ) , yn )
X0
1
( (
y1 x1
, ,
y2 x2
, ,
, yn ) , xn )
链 式
( y1, y2 , , yk ) (u1 , u2 , , um )
U0
(u1, u2 , ( x1 , x2 ,
, um ) , xn )
X0
法 则
d( f g)(X0)
( y1, y2 , , yk ) (u1, u2 , , um )
U0
(u1, u2 , ( x1, x2 ,
, um , xn
,
xn
)
ui u( X ) ui ( x1 , x2 , xn ), (1 i m)是 定 义 在
上 的m个n元 函 数.如 果ui ( X ) (1 i m)在X0
处 可 微 ， 则 称 映 射U
f
(
X
)在X
处
0
可
微
。
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由雅可比矩阵J ( f ( X0 ))
(u1, u2 , , um ) ( x1, x2 , , xn )