第6章复合型裂纹

θ θ 3θ sin (2 + cos cos ) 2 2 2 σ xx K θ 3θ θ II型裂尖场 型裂尖场： II型裂尖场： σ yy = II sin cos cos 2 2 2 2π r τ xy 3θ θ θ cos (1 sin sin ) 2 2 2
σ zz
θ θ 2ν ( K I cos + K II sin ) 2 2 = 2πr 0
θo
2
[ K I (1 + cos θ o ) 3K II sin θ o ]
按照最大周向应力理论建立的脆断判据是： 按照最大周向应力理论建立的脆断判据是：
(σ θθ ) max = (σ θθ ) cr
这儿 (σ θθ ) cr 是一个只与材料性质有关而与复合裂纹 状态无关的常数。因为纯 型问题是 型问题是I+II复合型问题的特 状态无关的常数。因为纯I型问题是 复合型问题的特 例，而其脆断条件是 I = K IC K 复合型裂纹的关系中找到 ) cr (σ θθ 。所以可以从 I 型裂纹与 所以可以从 。
Ι
平行于裂纹的分力产生 K ，这就是一个复合型问题。 这就是一个复合型问题。 ΙΙ 在复合型情况时， 在复合型情况时，仅用 I 型的准则 就不能预示实际裂纹的扩展情况， 就不能预示实际裂纹的扩展情况，因此 必须研究复合型脆性断裂准则。 必须研究复合型脆性断裂准则。
断裂力学电子教案
研究复合型断裂准则，就是要解决两个关键问题： 研究复合型断裂准则，就是要解决两个关键问题： 两个关键问题 裂纹在复合应力状态下将向什么方向扩展？ 裂纹在复合应力状态下将向什么方向扩展？ 裂纹在复合应力状态下什么时候开始扩展？ 裂纹在复合应力状态下什么时候开始扩展？ II、 我们已找到 I、II、III 型裂纹裂尖附近全部应力分 量，怎样来判断既有 K ΙΙ KΙ 、 知名的有以下两种。 知名的有以下两种。 又有ΙΙΙ K 时裂纹怎样脆断呢？ 时裂纹怎样脆断呢？
断裂力学电子教案
例：求一中心斜裂纹拉伸板条的 (σ θθ ) max ，β = 45° 首先求出裂纹位置处的当地应 力。由材料力学中求轴向拉压时 斜截面上的应力公式
σ α = σ cos 2 α τ α = σ sin α cos α
并注意到 可得
α=
π
2
β
2
σ 45 ° = σ cos 45 ° =
θ 型问题： 对II型问题 型问题 sin (3 cosθ 1) 2 σ rr 1 K II 2 θ σ θθ = r 3 cos sin θ 2 τ 2 2π rθ θ cos 2 (3 cosθ 1)
在I+II型复合情况中，裂尖应力场应是上述二者之和， I+II型复合情况中，裂尖应力场应是上述二者之和， 型复合情况中 所以
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纯 I 型问题
(σ θθ ) max = 1 2 2πro [ K I cos
θo
2
(1 + cosθ o )]
θo = 0
所以
(σ θθ ) max =
KI 2πro
故
(σ θθ ) cr =
K IC 2πro
于是复合判据成为
1 2 2πr0 [ K I cos
θo
2
(1 + cos θ o ) 3K II cos
σ zz
θ νK I 2 cos 2 = 2πr 0
平变 平力
II型问题裂尖解： II型问题裂尖解： 型问题裂尖解
3θ θ θ sin (2 + cos cos ) 2 2 2 σ xx K II θ 3θ θ cos sin cos σ yy = 2 2 2 2π r τ xy θ 3θ θ cos (1 sin sin ) 2 2 2
目前已经有许多种复合型裂纹的脆性断裂理论， 目前已经有许多种复合型裂纹的脆性断裂理论，其中比较
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§6 - 1
最大周向应力理论
设有一裂纹，在裂尖周围作一半径很小的圆，显然， 设有一裂纹，在裂尖周围作一半径很小的圆，显然， 不同。 沿圆周一系列单元体上的 σ θθ 不同。 最大周向应力理论认为，在复合应力作用下， 最大周向应力理论认为，在复合应力作用下，裂纹扩 展的方向沿着周向应力σ θθ 取最大值的平面方向。而当 取最大值的平面方向。
σ xx + σ y应力场化为 σ rr ， θθ ， rθ 形式：
型问题： 对 I 型问题： σ 3 cosθ rr KI θ cos 1 + cosθ σ θθ = 2 τ 2 2πr sin θ rθ
6
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σ
2
τ 45 ° = σ sin 45 ° cos 45 ° =
σ
2
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则
KΙ = σ α π a =
σ
2
π a , K ΙΙ = τ α π a =
σ
2
πa
KΙ α= =1 K ΙΙ
将 θ 0 代入判据表达式
3 + 8 + 12 θ 0 = arccos = arccos 0.6 = 53.1° 2 9 +1
7
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代入
r = r0
σ θθ =
是以裂尖为圆心的一个小圆的半径， ，r0 是以裂尖为圆心的一个小圆的半径，则 1
[ K I cos (1 + cosθ ) 3K II cos sin θ ] 2 2 2 2πro
θ
θ
要找 (σ θθ ) max ，应先找 (σ θθ ) max 所在的 θ0 。 d 2σ θθ dσ 由： θθ = 0 ， 2 < 0 得到 dθ dθ θ cos o [ K I sin θ o + K II (3 cosθ o 1)] = 0
因此对I+II型复合问题： 因此对I+II型复合问题： I+II型复合问题
70.53° < θ o < 0
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从 cosθ o 的表达式可以看到其中不含材料常数 E、ν ， 所以在该模型中启裂角与材料特性无关。 所以在该模型中启裂角与材料特性无关。
(σ θθ ) max = 1 2 2πro cos
1 2 2 2 W = [(σ xx + σ yy + σ zz ) 2ν (σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zz σ xx ) 2E 2 2 2 + 2(1 + ν )(τ xy + τ yz + τ zx )]
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I型问题裂尖解： 型问题裂尖解：
θ 3θ θ cos (1 sin sin ) 2 2 2 σ xx KI θ 3θ θ σ yy = cos (1 + sin sin ) 2 2 2 2π r τ xy θ 3θ θ cos sin cos ) 2 2 2
α ≥0
IV象限 象限。 θ o 在IV象限。
对纯II、III型或它们的复合问题， 对纯II、III型或它们的复合问题，由于伴随裂纹面 II 型或它们的复合问题 的摩擦， 几乎是无意义的。但是包括有I 的摩擦，讨论 K 几乎是无意义的。但是包括有I型的复合 问题有实际意义，这时裂纹面已被拉开，再互相错动时， 问题有实际意义，这时裂纹面已被拉开，再互相错动时， 能量就完全集中于裂尖了。 能量就完全集中于裂尖了。
两边平方并整理， 两边平方并整理，得
(9 + α 2 ) cos 2 θ 0 6 cos θ 0 + (1 α 2 ) = 0
3±α 8 +α 2 cosθ o = 9 +α 2
3 α 8 +α 2 其中： 其中： cosθ o = 9 +α 2
是极小点应舍去， 是极小点应舍去，又考虑到剪力τ
应相同， 方向变化时 cosθ 0 应相同，最后求得
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3+ | α | 8 + α 2 cosθ o = 9 +α 2
I 象限, θo IV 象限, 为正数时：对纯I 当α为正数时：对纯I型问题
α <0 α ≥0,
KI α= K II
α →∞
cos θ o → 1
θo → 0
θ o = 70.53°
对纯II型问题 对纯II型问题 II 1 α = 0 cos θ o = 3
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第六章
复合型裂纹
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型问题， 在线弹性断裂力学中研究得最多的是 I 型问题，但 是实际零部件受力复杂， 是实际零部件受力复杂，缺陷经常处在 I+II+III 复合变 形情况下， II， 型问题。 形情况下，很难是单纯的 I，II，III 型问题。例如无限 的穿透斜裂纹， 大板中长为 2a 的穿透斜裂纹，当我们把拉力沿与裂纹平 行和垂直的方向分解后， 行和垂直的方向分解后，则垂直于裂纹的分力产生 K ，
1 53.1° σ πa cos( )(1 + cos(53.1°) 3 sin( 53.1°)) = K ΙC 4 2
得
0.8944σ πa = K ΙC
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§6 - 2
应变能密度因子理论
物体受外力作用而产生弹性变形时， 物体受外力作用而产生弹性变形时，在其中将积蓄有应 变能，单位体积内所积蓄的应变能称为比能，又称为应变能 变能，单位体积内所积蓄的应变能称为比能，又称为应变能 比能 密度，在材料力学中，应变能密度用 表示 在此用w表示 表示， 表示， 密度，在材料力学中，应变能密度用u表示，在此用 表示， w的一般表达式为： 的一般表达式为： 的一般表达式为
σ zz
θ νK II 2 sin 2 = 2πr 0
平变 平力
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所以I+II型混合问题裂尖解为： 所以I+II型混合问题裂尖解为： I+II型混合问题裂尖解为
σ xx σ yy = τ xy 3θ 3θ θ θ θ θ K I cos 2 (1 sin 2 sin 2 ) K II sin 2 (2 + cos 2 cos 2 ) 1 3θ 3θ θ θ θ θ K I cos (1 + sin sin ) + K II cos sin cos 2 2 2 2 2 2 2π r θ θ 3θ θ θ 3θ K I cos 2 sin 2 cos 2 + K II cos 2 (1 sin 2 sin 2 )
θo
2
sin θ o ] =
K IC 2πro
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即
θo 1 cos [ K I (1 + cosθ o ) 3K II sin θ o ] = K IC 2 2
3+ | α | 8 + α 2 θ o = arccos 9 +α 2
其中
KI α= K II
α <0
象限， θ o在I象限，
(σ θθ ) max = (σ θθ ) cr
时，裂纹开始扩展。 裂纹开始扩展。
4
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3θ θ 1 sin sin 已知： 已知： 2 2 σ xx K 型裂尖场： I型裂尖场： σ yy = I cos θ 1 + sin θ sin 3θ 2 2 2 2πr τ xy 3θ θ sin 2 cos 2
2
cos
θo
2
=0 即
θ 0 = ±π 是裂纹的自由表面，无意义，故取 是裂纹的自由表面，无意义，
K I sin θ o + K II (3 cosθ o 1) = 0
8
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则上式成为
令 KI = α ， K II
为已知。 其中 K Ι , K ΙΙ 为已知。
1 3cos θ 0 = α sin θ 0
θ θ K I cos (3 cosθ ) + K II sin (3 cosθ 1) 2 2 σ rr 1 θ θ K I cos (1 + cosθ ) 3K II cos sinθ σ θθ = 2 2 τ 2 2πr rθ θ θ K I cos 2 sinθ + K II cos 2 (3 cosθ 1)
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利用坐标变换式： 利用坐标变换式：
σ rr = + + σ xy sin 2θ 2 2 σ xx + σ yy σ xx σ yy σ θθ = σ xy sin 2θ 2 2 σ xx σ yy τ rθ = σ xy cos 2θ sin 2θ 2