第3章 管理运筹学线性规划问题的求解

总成本将由 800万 增 加到 804万。
？
若约束条件的
Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
对偶价格小于 s.t. x1 + x2 ≥ 350 +1
0, 则其最优目
x1
≥ 125
标函数值受到 2 x1 + x2 ≤ 600
影响 (变坏) 。
x1 , x2 ≥ 0
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
x1 , x2 ≥ 0
6
第三§步1：点“管击理“新运建筹”学按”钮软，输件入的数操据作。方法
2
3
例 1 中 共 有 2 个 变 量 ,3 个约束条件,目标函数 取 MAX. 点 击 “ 确 定 ” 。
例1. 目标函数：
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
x1 + x2 ≤ 300 (1)
x2 ≤ 250 (3) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
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相差值表示相应的决策变量的目标系数需要改 进的数量，使得决策变量为正值，当决策变量 已为正数时，相差数为零。
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松弛/剩余变量的数值表示 还有多少资源没有被使用。 如果为零，则表示与之相对 应的资源已经全部用上。
例1. 目标函数：
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
常数项范围是指约束条件
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
的右端常量。上限值和下 限值是指当约束条件的右 端常量在此范围内变化时， 与其对应的约束条件的对 偶价格不变。当前值是指
x1 + x2 ≤ 300 2x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
(1) (2) (3)
50 c2 +
• 一般情况：
z = c1 x1 + c2 x2 写 成斜截式:
x2= - (c1 /c2)x1+ z/c2 目标函数等值线的
最优解
斜率为: -(c1 /c2 ) , 当-1 - (c1 /c2)0 时， 原最优解仍是最优
解。
z=0=50x1+100x2 21
目标函数：
10
例1. 目标函数：
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
s.t.
相差值表示相应的决策变 量的目标系数需要改进的 数量，使得决策变量为正 值，当决策变量已为正数 时，相差数为零。
x1 + x2 ≤ 300 (1) 2x1 + x2 ≤ 400 (2)
x2 ≤ 250 (3) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备
1
1
300 台时
原料 A
2
1
400 千克
原料 B
0
1
250 千克
单位产品获利 50 元
100 元
线性规划模型(Ⅰ、Ⅱ产品的产量分别为x1 , x2)：
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：s.t. x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 —设备台时限制 x2 ≤ 400 —原料A的限制 x2 ≤ 250 — 原料B的限制
运筹学
第三章 线性规划问题的计算机求解
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第三章 线性规划问题的计算机求解 §1“管理运筹学”软件的操作方法 §2“管理运筹学”软件的输出信息分析
2
第三章 线性规划问题的计算机求解
随书软件为“管理运筹学”2.5版 (Window 版 ) ， 是 2.0 版 (DOS 版 ) 的 升 级 版。它包括：线性规划、运输问题、整 数规划(0-1整数规划、纯整数规划和混 合整数规划)、目标规划、对策论、最 短路径、最小生成树、最大流量、最小 费用最大流、关键路径、存储论、排队 论、决策分析、预测问题和层次分析法， 共15个子模块。
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例1. 目标函数：
Max z=50 x1+ 20 x2 约束条件：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (1) 2x1 + x2 ≤ 400 (2)
x2 ≤ 250 (3) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
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13
例1. 目标函数：
Max z=50 x1+ 26 x2 约束条件：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (1) 2x1 + x2 ≤ 400 (2)
对偶价格大于 s.t. x1 + x2 ≥ 350
0, 则其最优目
x1
≥ 125
标函数值得到 2 x1 + x2 ≤ 600 +1
改善 (变好) .
x1 , x2 ≥ 0 31
• 在对偶价格 栏中，约束条 件1的对偶价 格为-4，如果 约束条件1右 边的下限从 350 增 加 到 351, 那 么 总 成本将将得到 怎样改进？
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§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
c1
b1 * 允许增加量 = 上限 - 现在值
c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50 b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25
25
c2
b3 * 允许减少量 = 现在值 - 下限
c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50 b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50
• 一般情况：
z = c1 x1 + c2 x2 写 成斜截式:
x2= - (c1 /c2)x1+ z/c2 目标函数等值线的
最优解
斜率为: -(c1 /c2 ) , 当-1 - (c1 /c2)0 时， 原最优解仍是最优
解。
z=0=50x1+100x2 19
• 假设产品Ⅱ的利润100元不变，即c2= 100，代入式： -1 - (c1 /c2)0 并整理得：
2x1 + x2 ≤ 400 (2)
x2 ≤ 250 (3)
x1 , x2 ≥ 0
7
§1 “管理运筹学”软件的操作方法
点击“保存”可将该模型 保存到指定的地址，用打 开可调用该模型。
在 模 块 中 输 入 Cj,bi 和 aij 等 值 ， 并 确 定 变 量 的正负约束。输入数 值后的界面如上所示.
• 一般情况：
0 c1 100
z = c1 x1 + c2 x2 写 成斜截式:
x2= - (c1 /c2)x1+ z/c2 目标函数等值线的
最优解
斜率为: -(c1 /c2 ) , 当-1 - (c1 /c2)0 时， 原最优解仍是最优
解。
z=0=50x1+100x2 20
• 假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1= 50 ，代入式： -1 - (c1 /c2)0 并整理得:
s.t. 50 +100 =300 x21×+5x02 +≤130000=3(510)
2x1 + x2 ≤ 400 (2) x2 ≤ 250 (3) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
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+500
对偶价格表示其对应的 资源每增加一个单位， 将增加多少个单位的最 优值。
例1. 目标函数：
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
1.软件使用 演示： 第一步：点 击“开 始”->“程 序”->“管 理运筹学 2.5”,弹出 主窗口。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。 本题中选用“线性规划”方法。点击按钮弹出如下界面
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例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生 产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源 的限制如下表, 工厂应分别生产多少产品Ⅰ、Ⅱ才能使工厂获 利最多？
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (1+)1 2x1 + x2 ≤ 400 (2+)1
x2 ≤ 250 (3) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
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目标函数系数范围表示最 优解不变的情况下,目标函 数的决策变量系数的变化 范围，当前值是指当前的 最优解中的系数取值.
目标函数：
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
例1. 目标函数：
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
x1 + x2 ≤ 300 (1) 2x1 + x2 ≤ 400 (2)
x2 ≤ 250 (3) x1 , x2 ≥ 0
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第四步：点击“解决”按 钮，得出计算结果。
例1. 目标函数：
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
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§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时， 要注意： 1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时， 则对任意增加量（减少量），其允许增加 （减少）百分比均看作0；
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§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意： 2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也 就是说超过100%并不一定变化； 3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数 和约束条件右边常数值同时变化的情况。这种情况下， 只有重新求解。
s.t.
在 模 块 中 输 入 Cj,bi 和 aij 等 值 ， 并 确 定 变 量 的正负约束。输入数 值后的界面如上所示.
x1 + x2 ≤ 300 (1) 2x1 + x2 ≤ 400 (2)
x2 ≤ 250 (3) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
本题的运行结果界面如下。
现在的取值。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法 • 学习运筹学软件：《MS6.0》
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§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
以上计算机输出的目标函数系数和约束条 件右边值的灵敏度分析都是在其他系数值不 变，只有一个系数变化的基础上得出的！当 有多个系数变化时，需要进一步讨论。
百分之一百法则：对于所有变化的目标函 数决策系数(约束条件右边常数值)，当其所 有允许增加的百分比与允许减少的百分比之 和不超过100%时，最优解不变(对偶价格不 变)。
第三章作业： 1. 在自己电脑中安装软件：“管理运筹
学2.5”版本，并应用该软件以及软件 “MS6.0”计算P38. 5. 2. P35. 2
完
ห้องสมุดไป่ตู้34
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§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
下面用“管理运筹学”软件来分析第二章的例2, 其数学模型如下:
目标函数(总成本)： Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
s.t. x1 + x2 ≥ 350 x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0
从上图可知，当购进原材料A 250t，原料B
100t时，购进成本最低，为800万元。
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• 在对偶价格 栏中，约束条 件3的对偶价 格为1万元， 也就是说如果 把加工时数从 600 小 时 增 加 到 601 小 时 ， 则目标函数总 成本将得到怎 样改进？
目标函数总成 本 将 由 800万 减少到799万.
？
若约束条件的
Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
x1 + x2 ≤ 300 (1) 2x1 + x2 ≤ 400 (2)
x2 ≤ 250 (3) x1 , x2 ≥ 0
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目标函数 z = 50 x1 + 100 x2 在 z = x2 (x2 = z 斜率 为0 ) 到 z = x1 + x2 (x2 = -x1 + z 斜率为 -1 )之间时， 原最优解x1 = 50，x2 = 250仍是最优解。
• 注意： “管理运筹学”软件可以解决含有100个变量 50个约束方程的线性规划问题，可以解决工商 管理中大量的问题。如果想要解决更大的线性 规划问题，可以使用由芝加哥大学的 L.E.Schrage开发的Lindo计算机软件包的微型 计算机版本Lindo/PC。
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第三章 线性规划问题的计算机求解
* 允许增加的百分比=增加量 / 允许增加量 * 允许减少的百分比=减少量 / 允许减少量
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例：c1 变为 74 , c2 变为 78, 则
(74 - 50)/50 + (100 - 78 )/50 = 92% 故最优解不变。
b1 变为 315 , b3 变为 240, 则
(315 - 300)/25 +(250 - 240)/50 = 80% 故对偶价格不变（最优解仍是原来几个线性方程 的解）。