有限元与数值方法-讲稿9：动力学问题有限元法

B B1 , B2 ,
, Bn


Bi 63 [L]Ni ( x, y, z)
Ke B D B dx
T
e
D dx a B D Ba dx
e T T e e e e e
有限元与数值方法第九讲
第五章 弹性动力学问题的有限元法
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@dlut.edu.cn 教室：研教楼 202 时间：2013年5月31日：8：00—10：40
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5.1 概述：弹性动力学问题的有限元方法
如果结构受到的外部激振力频率低于结构基频的三分之一,则静力 计算对结构的位移应力响应给出足够精度的结果。 如果结构受到的高于结构基频的三分之一的频率的激振，结构在 外力作用下的响应要作为动力学问题处理，意味着我们要考虑惯 性力的影响。此时，结构的行为除了取决于结构刚度的分布，还 取决于结构质量的分布。 在太空环境，结构的质量并不产生重力，因此结构的分析可以不 考虑自重，但是在这种情况下，往往动力学问题很突出，要考虑 质量。 动力学问题包括波传播问题和结构动力学问题，冲击、爆炸荷载 等作用下，结构的响应中有丰富的高频成分，感兴趣的往往是应 力波在结构内的传播，计算关心的时间往往很短，可能要考虑材 料动态特性，如应变率的影响
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阻尼的表达方法
粘滞阻尼
粘滞阻尼假定阻尼力与速度成正比，无论对简谐振动还是非简谐振
动得到的振动方程均是线性方程，不仅求解方便，而且能够方便地 表达阻尼对频率、共振等的影响，是应用最为广泛的阻尼模型，通 过将阻尼系数与结构体系的质量、刚度相联系，可以方便地构造出 具体的阻尼系数，是目前最常用的阻尼表达方法。
因此，虚功原理进一步表示为
ij
-
ui ij dx ui fi dx ui ui dx ui ui dx ui Ti ds 0 ui x S j
即
内力虚功
dx u f dx u u udx S u T ds
e C e N N dx T
M 12 M 22
M 1n M nn
M ij 33 Ni Ni dx
T
e C C , e


阻尼矩阵
F F ,
e b b e
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5.2. 质量矩阵和阻尼矩阵
e M N N dx T
Mij 为非对角阵：协调质量阵(Consistent Mass Matrix)
M ij 33 Ni N j dx
T
由单元内的惯性力转化到节点上：
8
结构动力有限元分析（三维实体）步骤
1. 连续区域的离散化： 网格，单元表示 2. 构造插值函数： 3. 形成系统的求解方程
u [ N ( x, y, z)]a (t )
u( x, y, z, t ) Ni ( x, y, z)ai (t )
i 1 n
Ke Ke ,
ij Eijkl kl 本构方程：
u x, y, z, 0 u x, y, z
u x, y, z, 0 u x, y, z
Su : ui x, y, z, t xS ui x, y, z, t 边界条件： u
S :
ij n j Ti
Ke B D B dx
T
e
K a M a Ca F
9
e e M M , e 1
Ne
M 11 M e T 21 M e N Nd M n1
2
弹性动力学问题的有限元提法
弹性动力学方程和有限元法
荷载：f(x,y,z,t) 平衡方程： 响应：u(x,y,z,t) xi , t , ( xi , t ),
ij x j
f i ui ui
ij x j
ij x j
f i f mi f ci 0
F N f dx
e T b e
体积力转化为节点力
F F ,
e S S e
F N T dx
e T S
e
表面力转化为节点力
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结构动力有限元分析步骤
4. 求解动力方程
这是一个常系数的微分方程组 基本解法：Runge-Kutta：太费时 常用解法：2种： （1） 直接积分法：直接对运动方程进行积分 （2） 振型叠加法：首先求解无阻尼自由振动问题（特 征值问题），将位移按振型展开，表示成振型的线性组 合，然后代入控制方程，获得关于待定系数的方程。 优点：速度快！ 5. 计算应变；应力等
M a (1 i ) K a F
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阻尼阵的推导
e e 一致阻尼阵： C N N dx M T
假设：
f c u f c 应变率
fc D
e T e C B DBdx K e
i 1
其中，插值函数是坐标的函数，与 t 无关：
Ni x, y, z Ni ,,
5
u N ae
x 0 0 0 z y 0 y 0 z 0 x
e
e
e

e
e

e

e e
e
Leabharlann Baiduu
T
f dx
e

ae N e
T T
T
f dx ae
e T
T

S

N e
T
T
f dx ae
e T
Fb
体积力转化为节点力

Se
u T ds
T e
S
ae N T ds ae
T T T T
体积力
惯性力 阻尼力

表面力
4
结构按空间离散，类似于静力分析时的有限元的处理方式： 将单元内任意点的位移、应力和应变，用节点位移表述出来离散： 考虑具有n个节点的单元：
u x, y , z , t v x , y , z , t u w x, y , z , t
m1 m2 e M
m3
m4
Mij 为对角阵：集中质量阵(Lumped Mass Matrix)
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阻尼的概念
阻尼是反映结构振动过程中能量耗散特征的参数 实际结构振动时耗能是多方面的，具体形式相当复 杂，难以进行精细的理论分析，而主要是采用宏观 总体表达的方法 阻尼的存在削弱了共振效应 结构振动时耗能因素较多，但影响程度有所不同
粘性阻尼的两种主要描述方法
比例（Rayleigh）阻尼：
主要体现低 频振动阻尼
主要体现高 频振动阻尼
e e e C M K
模态阻尼：对于每个固有振动模态单独定义阻尼系数
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5.3 几种结构动力分析问题：自由振动分析
1. 有阻尼结构的强迫振动问题：
T e

e N T dx a Fs e e
表面力转化为节点力
7
a
e
e T
K a a M a a C a a Fb a Fs 0
M a C a K a F
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阻尼的表达方法
滞回阻尼(复阻尼)
滞回阻尼假定应力应变间存在着相位差，从而振动一周有耗能发生。
其特点是可以得到不随频率改变的振型阻尼比。 滞回阻尼将导致复数形式的刚度(所以这种阻尼又称复阻尼)，这对 于一般时程分析而言，计算将比较复杂，耗时耗力，因而复阻尼实 际应用并不多。
a1 ui a 节点位移矢量： i a2 vi a w 3 i
T
单元节点位移矢量： a

e
(t ) a1 (t )
n

T
a2
an
T T

n为单元节点的总数
令
u( x, y, z, t ) Ni ( x, y, z) ai (t )
T
Bae
0 应变矩阵 0 u z v L u L N a e B a e w y B B1 , B2 , , Bn x 0
3
虚功原理：
ij fi ui ui dx ui ij n j Ti ds 0 ui x S j
其中，对第一项进行分部积分给出
ui
ui ui x j dx x j ij dx Su ui ij n j ds S ui ij n j ds
e e e T e e e T e e e T e T

a K a M a C a F F 0
e T e e e e e e b s e
动力学有限单元列式：
K a M a Ca F
单元刚度矩阵

e

e
a K a dx
e T e e
6
u udx a N N a dx a
T e T T e e
e
e T
e

e
e

e
e e M a dx
M 11 M e T 21 M e N Nd M n1
外载荷 惯性力 阻尼力
f i ui ui 0

2 ui f mi 2 ui ti ui f ci ui ti x
1 ui u j 几何方程： ij 2 x j xi
初始条件：
T
M 12 M 22
M 1n M nn
e T T
单元质量阵
M ij 33 Ni Ni dx
T
e e T e e C a dx 阻尼矩阵
T
u udx a N N a dx a
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阻尼的概念
一般认为振动过程中耗能因素有如下几方面： （1）由于材料的内摩擦作用而使机械能量逐渐转化为热能 消失在周围的介质中，这是能量耗散的主要原因（源 于原子换位所引起的能量损耗 ）； （2）周围介质对振动的阻尼； （3）节点、支座联接间的摩擦阻尼、主要是由构件之间或 构件与支座之间的相对运动所产生的； （4）通过支座基础散失一部分能量。