2020高考数学大二轮复习 层级二 专题六 概率与统计 第3讲 概率、随机变量及其分布课时作业(理)

层级二 专题六 第3讲(理)

限时50分钟 满分76分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．(2020·西安模拟)勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，其证明方法有几百种之多，著名的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图，在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE 是由4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形CFGH 组成的．若Rt △ABC 的三边长构成等差数列，则在正方形ABDE 内任取一点，此点取自小正方形CFGH 内的概率为( )

A.1

49 B.325

C.

125

D.2549

解析：C [由于Rt △ABC 的三边长成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，又a 2

＋b 2

＝c 2

，于是(2b

－c )2＋b 2＝c 2，故b c ＝45，a c ＝35.大正方形ABDE 的面积为c 2，小正方形CFGH 的面积为(b －a )2

，

在正方形ABDE 内任取一点，此点取自小正方形CFGH 内的概率为

b －a

2

c 2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －a c 2＝1

25

.故选C.]

2．(2020·石家庄模拟)《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从A ，B ，C 和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是( )

A.12

B.38

C.14

D.316

解析：B [甲、乙两人从A ，B ，C 和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有4×4＝16(种)等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有C 1

2×3＝6(种)，∴所求

概率为616＝3

8

.]

3．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )

A ．0.9

B ．0.8

C ．1.2

D ．1.1

解析：A [由题意得X ＝0,1,2，

则P (X ＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，

所以E (X )＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.]

4．甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12，13，1

4

，则有人能够解决这个问题的概率为( )

A.1312

B.34

C.14

D.124 解析：B [本题主要考查相互独立事件、互斥事件的概率，考查对立事件的概率公式，

考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题．这个问题没有被解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－14＝14

，故有人能够解决这个问题的概率为1－14＝34.故选B 项．] 5．(2019·大连三模)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为2

3，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望

是( )

A ．3 B.83 C ．2

D.53

解析：B [每个轮次甲不能通过的概率为13×13＝19，通过的概率为1－19＝8

9，因为甲3个

轮次通过的次数X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3，89，所以X 的数学期望为3×89＝83.]

6．(2020·衡水模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销量x (单位：件)分布在[50,100)内，且销量x 的

分布频率

f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

n

10－0.5，10n ≤x ＜10n ＋1，n 为偶数，

n

20－a ，10n ≤x ＜10n ＋1，n 为奇数.

若销量大于或等于70

件，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X 个组，将频率视为概率，则随机变量X 的数学期望为( )

A.13

7 B.67 C.167

D.87

解析：C [由题意知⎩

⎪⎨

⎪⎧

10n ≥50，

10n ＋1≤100，解得5≤n ≤9，故n 可取5,6,7,8,9，代入

f (x )，得

610－0.5＋810－0.5＋520－a ＋720－a ＋9

20

－a ＝1，得a ＝0.15.故销量在[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率分别是0.2,0.3,0.3，频率之比为2∶3∶3，所以各组抽取的天数分别为2,3,3，X 的所有可能取值为1,2,3，P (X ＝1)＝2C 38＝256＝128，P (X ＝3)＝2×3×3C 3

8＝18

56＝928，P (X ＝2)＝1－128－928＝9

14

. X 的分布列为

X 1 2 3 P

1

28

914

928

数学期望E (X )＝1×128＋2×14＋3×28＝7.故选C.]

二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)

7．(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

解析：甲队以4∶1获胜的概率为[C 1

20.6×0.4×0.52

＋0.62

×C 1

20.5×0.5]×0.6＝0.18. 答案：0.18