建立模型
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建 立 模 型
例1 一个星期天，某人驾车在正午时分离开A处，午3点20 分到达B处。若车以55km/h的速度等速行驶。从A到B有多远?
20 1 解： 距离＝速度×时间 = 55 × 3 = 183 (km) 60 3
例2 一个星期天，某人驾车在正午时分离开A处，下午3点 20分到达B处。如速度计所指示出的那样，他从静止开始， 均匀地加速,当他到达B处时，速度为60km/h．从A到B有多 远? ds 分析： S = 1 at 2 + bt + c v= = at + b 2 dt 1 S (0) = 0, v(0) = 0, v 3 = 60 3 1 c = 0, b = 0, a = 18 S 3 =100 km 3
例12 在 t=0 时，两只桶内各装有10升的盐水，其浓度为15克 盐/升，用管子将净水以2升/min的速度输送到第一只桶内．搅 拌均匀后混合液又由管子以2升/min的速度被输送到第二只桶 内。再将混合掖搅拌均匀．然后用1升/min的速度输出。在任 意时刻t＞0，从第二只桶流出的水中含多少盐？
分析：
T = 13 − 5
2
例9 驱逐舰在浓雾中搜索潜水艇，雾一散开，发现潜艇在3km 之外的海面上，但潜艇立刻下潜。驱逐舰速度2倍于潜艇，且 已知潜艇下潜后立即全速朝某一未知方向直线行进，问驱逐舰 该采取什么路线才能保证它会经过潜艇的正上方？ 分析： x(t ) = ρ (t ) cos θ (t ) y (t ) = ρ (t ) sin θ (t )
例7 在地球内部，重力正比于到地球中心的距离，若从北极穿一 洞通南极，把一块石头投入洞内，问它到达地心时的速度是多少？
分析：设
x = x(t )
dv g =− x dt R
dx =v dt dv g x =− ⋅ dx R v
x(t)
v x=R = 0
v2 = −
g 2 x + C , C = gR R
y (12) = 200
关键: 要找的是微分方程的一条解曲线。微分方程所反映的思 想是 如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点， 如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能 够重新构造这条解曲线
净变化率＝ 净变化率＝输入率一输出率
若干准则 1)转化： 表示“导数”的常用词 —— 速率、增长、衰变、 边际的、改变、变化、增加、减少 净变化率＝ 净变化率＝输入率一输出率 2)方程： 在任何时刻都必须正确的瞬时表达式。表示导数 的关键词y ' 、y以及x之间的关系。 3)单位： 每一项都采用同样的物理单位。 4)给定的条件： 系统在某一特定时刻的信息。它们独立于微 分方程而成立。用来确定有关的常数。
主要步骤： 主要步骤 A、把用语言叙述的情况概念化为文字方程； B、陈述出所涉及的原则或物理定律； C、微分方程； D、给定的各种条件．包括初始条件或其它条件； E、微分方程的解； F、求出了常数酌解； G、问题的答案。
翻译； 建立瞬时表达式； 配备物理单位； 叙述给定的条件； 写出清楚的框架。
例4 将室内一支读数为260的温度计放到室外。10min后， 温度计的读数为300；又过了10min，读数为320．先不用计 算，推测一下室外的温度。然后，利用牛顿的冷却定律计算 出正确的答案。 背景：牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T的物体 背景 放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介 质的温度差。 分析： dT = k (T − m) dt T (0) = 26
分析：
1 dρ = −1 ρ dθ 2 −θ ρ= ae 2
dρ vρ = dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dθ vθ = ρ dt
2 ρ (0) = a 2
dρ dθ s = ∫ vdt = ∫ + ρ2 dt dt dt
2 2
=∫
∞
0
dρ + ρ 2 dθ = a dθ
2
例11 一位稀里糊涂的咖啡泡煮师，想让水达到1850F可他几乎总 是忘记这一点而把水煮开。由于温度计坏了他要你计算一下，从 2120F冷却到1850F要等多长时间?你能解决他的问题吗？如果你 回答“能”，那就计算一下。如果“不能”，解释一下为什么？
你先要问一下你的朋友房间的温度R是多少。然后由 dT/dt＝－k(T－R)解出T－R=Ce－kt，t=0时,T=212，故 T－R=(212－R)e－kt。当t＝?时,T=185?你仍然被卡住，因为 你不知道k,你还得向他询问更多的信息。除非他能回忆起诸如 ‘那天我打了半小时的电话，这愚蠢的水就冷到了950F…”也 许最好的办法就是给他一支新的温度计。
2
m=?
T (10) = 30 T (20) = 32
m = 34
30 − m 32 − m = 26 − m 26 − m
例5 某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的新陈 代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/ 天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效， 而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是怎样随时间变化 的。 分析：
例3 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析： dy dt = ky y (0) = 100 y (24) = 400
y = Ce kt
ln 4 C = 100 , k = 24
ln 4 t 24
y (t ) = 100e
p = p0 e
− y 8000
y = −8000 ln 0.0624 ≈ 22194
现在，碳14年代测定法已受到环疑——在2500到10,000年前 这段时间中与其它断代法的结果有差异。1966年，耶鲁实验室 的Minze Stuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的Hans E．Suess在一份报告中指出了这一时期使碳14年代测定产生 误差的根本原因。在那个年代，宇宙射线的放射强度减弱了， 偏差的峰值发生在大约6000年以前。这两位研究人员的结论出 自对Brist/econe松树所作的碳年代测定的结果、因为这种松树 同时还提供了精确的年轮断代。他们提出了一个很成功的误差 公式．用来校正根据碳测定出的2300到6000年前这期间的年 代： 真正的年代＝C14年代×1.4—900
325 w→ 4
例6 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征 的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。 分析表明，C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，此人生活 在多少年前? 背景：碳14年代测定：活体中的碳有小部分是放射性同位素C14， 背景 它是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交 换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡浓度。因此， C14的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程 就停止了，放射性碳便以每年八干分之一的速度减少。 分析： p dp =− 8000 dy y (0) = y 0 y = ?, p = 0.0624 p0
dy1 2 y1 =− , dt 10
y1 (0) = 150
dy2 y1 y = × 2 − 2 , y2 (0) = 150 dt 10 10 + t
净变化率＝ 净变化率＝输入率一输出率
输入率=2500 cal／天－新陈代谢1200 cal ／天 输入率 输出率=健身训练16 cal/kg/天×体重w (kg) 输出率
dw 1300 − 16 w = 10000 dt w(0) = w0
1 3250 325 − 6250 t w= + w0 − e 4 4
v 2 = x '2 + y '2 = ρ '2 + ρθ '2 1 ρ ' =1 ρθ ' = ± 3
1 dρ 1 ⋅ =± ρ dθ 3
,
ρ (0) = 1
ρ =e
±
θ
3
例10 在边长为a的正方形桌面的四个角上各放一只虫子，每个 虫子同时以相同的速度爬向它右边的虫子，求它们的路径以及 会合前所经过的路程。
v x =0 = gR
例8 早晨开始下雪整天稳降不停。正午一扫雪车开始扫雪，每 小时扫雪量按体积计为常数，到下午2点它扫清了2km，到下午 4点，又扫清了1km，问降雪是什么时候开始的？（假设扫雪车 不管已扫过的路面） 分析：设单位面积上单位时间降雪量为a (km/h)，路面宽度 为b (km)，扫雪速度为c (km3/h)，路面上雪层厚度为H(t) (km)，扫雪车前进路程为s(t) (km)，降雪开始时间为T H (t ) = a(t − T ) ds K = dt (t − T ) s = K ln(t − T ) + C T 2 − 26T + 164 = 0 b × H (t ) × ∆s = c × ∆t s (12) = 0 , s (14) = 2 , s (16) = 3 14 − T 16 − T = 12 − T 14 − T
例1 一个星期天，某人驾车在正午时分离开A处，午3点20 分到达B处。若车以55km/h的速度等速行驶。从A到B有多远?
20 1 解： 距离＝速度×时间 = 55 × 3 = 183 (km) 60 3
例2 一个星期天，某人驾车在正午时分离开A处，下午3点 20分到达B处。如速度计所指示出的那样，他从静止开始， 均匀地加速,当他到达B处时，速度为60km/h．从A到B有多 远? ds 分析： S = 1 at 2 + bt + c v= = at + b 2 dt 1 S (0) = 0, v(0) = 0, v 3 = 60 3 1 c = 0, b = 0, a = 18 S 3 =100 km 3
例12 在 t=0 时，两只桶内各装有10升的盐水，其浓度为15克 盐/升，用管子将净水以2升/min的速度输送到第一只桶内．搅 拌均匀后混合液又由管子以2升/min的速度被输送到第二只桶 内。再将混合掖搅拌均匀．然后用1升/min的速度输出。在任 意时刻t＞0，从第二只桶流出的水中含多少盐？
分析：
T = 13 − 5
2
例9 驱逐舰在浓雾中搜索潜水艇，雾一散开，发现潜艇在3km 之外的海面上，但潜艇立刻下潜。驱逐舰速度2倍于潜艇，且 已知潜艇下潜后立即全速朝某一未知方向直线行进，问驱逐舰 该采取什么路线才能保证它会经过潜艇的正上方？ 分析： x(t ) = ρ (t ) cos θ (t ) y (t ) = ρ (t ) sin θ (t )
例7 在地球内部，重力正比于到地球中心的距离，若从北极穿一 洞通南极，把一块石头投入洞内，问它到达地心时的速度是多少？
分析：设
x = x(t )
dv g =− x dt R
dx =v dt dv g x =− ⋅ dx R v
x(t)
v x=R = 0
v2 = −
g 2 x + C , C = gR R
y (12) = 200
关键: 要找的是微分方程的一条解曲线。微分方程所反映的思 想是 如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点， 如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能 够重新构造这条解曲线
净变化率＝ 净变化率＝输入率一输出率
若干准则 1)转化： 表示“导数”的常用词 —— 速率、增长、衰变、 边际的、改变、变化、增加、减少 净变化率＝ 净变化率＝输入率一输出率 2)方程： 在任何时刻都必须正确的瞬时表达式。表示导数 的关键词y ' 、y以及x之间的关系。 3)单位： 每一项都采用同样的物理单位。 4)给定的条件： 系统在某一特定时刻的信息。它们独立于微 分方程而成立。用来确定有关的常数。
主要步骤： 主要步骤 A、把用语言叙述的情况概念化为文字方程； B、陈述出所涉及的原则或物理定律； C、微分方程； D、给定的各种条件．包括初始条件或其它条件； E、微分方程的解； F、求出了常数酌解； G、问题的答案。
翻译； 建立瞬时表达式； 配备物理单位； 叙述给定的条件； 写出清楚的框架。
例4 将室内一支读数为260的温度计放到室外。10min后， 温度计的读数为300；又过了10min，读数为320．先不用计 算，推测一下室外的温度。然后，利用牛顿的冷却定律计算 出正确的答案。 背景：牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T的物体 背景 放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介 质的温度差。 分析： dT = k (T − m) dt T (0) = 26
分析：
1 dρ = −1 ρ dθ 2 −θ ρ= ae 2
dρ vρ = dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dθ vθ = ρ dt
2 ρ (0) = a 2
dρ dθ s = ∫ vdt = ∫ + ρ2 dt dt dt
2 2
=∫
∞
0
dρ + ρ 2 dθ = a dθ
2
例11 一位稀里糊涂的咖啡泡煮师，想让水达到1850F可他几乎总 是忘记这一点而把水煮开。由于温度计坏了他要你计算一下，从 2120F冷却到1850F要等多长时间?你能解决他的问题吗？如果你 回答“能”，那就计算一下。如果“不能”，解释一下为什么？
你先要问一下你的朋友房间的温度R是多少。然后由 dT/dt＝－k(T－R)解出T－R=Ce－kt，t=0时,T=212，故 T－R=(212－R)e－kt。当t＝?时,T=185?你仍然被卡住，因为 你不知道k,你还得向他询问更多的信息。除非他能回忆起诸如 ‘那天我打了半小时的电话，这愚蠢的水就冷到了950F…”也 许最好的办法就是给他一支新的温度计。
2
m=?
T (10) = 30 T (20) = 32
m = 34
30 − m 32 − m = 26 − m 26 − m
例5 某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的新陈 代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/ 天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效， 而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是怎样随时间变化 的。 分析：
例3 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析： dy dt = ky y (0) = 100 y (24) = 400
y = Ce kt
ln 4 C = 100 , k = 24
ln 4 t 24
y (t ) = 100e
p = p0 e
− y 8000
y = −8000 ln 0.0624 ≈ 22194
现在，碳14年代测定法已受到环疑——在2500到10,000年前 这段时间中与其它断代法的结果有差异。1966年，耶鲁实验室 的Minze Stuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的Hans E．Suess在一份报告中指出了这一时期使碳14年代测定产生 误差的根本原因。在那个年代，宇宙射线的放射强度减弱了， 偏差的峰值发生在大约6000年以前。这两位研究人员的结论出 自对Brist/econe松树所作的碳年代测定的结果、因为这种松树 同时还提供了精确的年轮断代。他们提出了一个很成功的误差 公式．用来校正根据碳测定出的2300到6000年前这期间的年 代： 真正的年代＝C14年代×1.4—900
325 w→ 4
例6 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征 的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。 分析表明，C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，此人生活 在多少年前? 背景：碳14年代测定：活体中的碳有小部分是放射性同位素C14， 背景 它是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交 换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡浓度。因此， C14的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程 就停止了，放射性碳便以每年八干分之一的速度减少。 分析： p dp =− 8000 dy y (0) = y 0 y = ?, p = 0.0624 p0
dy1 2 y1 =− , dt 10
y1 (0) = 150
dy2 y1 y = × 2 − 2 , y2 (0) = 150 dt 10 10 + t
净变化率＝ 净变化率＝输入率一输出率
输入率=2500 cal／天－新陈代谢1200 cal ／天 输入率 输出率=健身训练16 cal/kg/天×体重w (kg) 输出率
dw 1300 − 16 w = 10000 dt w(0) = w0
1 3250 325 − 6250 t w= + w0 − e 4 4
v 2 = x '2 + y '2 = ρ '2 + ρθ '2 1 ρ ' =1 ρθ ' = ± 3
1 dρ 1 ⋅ =± ρ dθ 3
,
ρ (0) = 1
ρ =e
±
θ
3
例10 在边长为a的正方形桌面的四个角上各放一只虫子，每个 虫子同时以相同的速度爬向它右边的虫子，求它们的路径以及 会合前所经过的路程。
v x =0 = gR
例8 早晨开始下雪整天稳降不停。正午一扫雪车开始扫雪，每 小时扫雪量按体积计为常数，到下午2点它扫清了2km，到下午 4点，又扫清了1km，问降雪是什么时候开始的？（假设扫雪车 不管已扫过的路面） 分析：设单位面积上单位时间降雪量为a (km/h)，路面宽度 为b (km)，扫雪速度为c (km3/h)，路面上雪层厚度为H(t) (km)，扫雪车前进路程为s(t) (km)，降雪开始时间为T H (t ) = a(t − T ) ds K = dt (t − T ) s = K ln(t − T ) + C T 2 − 26T + 164 = 0 b × H (t ) × ∆s = c × ∆t s (12) = 0 , s (14) = 2 , s (16) = 3 14 − T 16 − T = 12 − T 14 − T