线性代数第三章知识要点概要PPT课件
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定理 8 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解 的充要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B 的秩.
二、基本要求、重点与难点
基本要求 1. 掌握矩阵的秩、矩阵等价等概念, 会求矩 阵的秩. 2. 理解初等变换与初等矩阵概念, 会用初等 变换法求矩阵的逆、矩阵的秩; 求矩阵的标准形; 解方程组等. 重点 用初等行变换法求矩阵的逆、秩， 解方程组. 难点 初等矩阵的性质.
3. 初等矩阵
(1) 定义 定义 9 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵. (2) 三种初等矩阵 E(i , j) : 对调 E 的第 i 行与第 j 行; E( i(k) ): E 的第 i 行乘以数 k ; E( ij(k) ): E的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去.
2. 矩阵的秩 (1) 定义 定义 8 设在矩阵 A 中有一个不等于0 的 r 阶 子式 D, 且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话)全等 于 0 , 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式, 数 r 称为矩阵A 的秩, 记作 R(A),并规定零矩阵的秩等 于0. (2) 定理 定理 3 若 A ~ B , 则 R(A) = R(B).
(3) 性质 定理 4 初等矩阵都是可逆的, 且
(i) E( i, j )-1 = E( i, j ); (ii) E(i(k))1Ei1 k; (iii) E( ij(k) )-1 = E( ij(-k) ).
定理 5 设 A 是一个 m n 矩阵, 对 A 施行一 次初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理 6 设 A 为可逆矩阵, 则存在有限个初
等矩阵 P1 , P2 , ···, Pl , 使 A = P1P2 ···Pl .
推论 m×n 矩阵 A ~ B 的充要条件是:
存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q , 使 PAQ = B.
4. 线性方程组的解
定理 7 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零 解的充要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n.
知识要点
一、内容提要
1. 矩阵的初等变换 (1) 定义 定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变 换: (i) 对调两行 ( 对调 i , j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素(第 i 行乘 k , 记作 ri × k);
(iii) 把某一行所有元素的 k倍加到另一行上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上, 记作 ri + krj).
(ii) 设矩阵有 r 个非零行, 第 i 个非零行的第 一个非零元素所在的列号为 ti (i =1 , 2 , ···, r ), 则
t1 < t2 < ···<tr .
定义 6 若矩阵满足 (i) 每个非零行的第一个非零元素为1; (ii) 每个非零行的第一个非零元素所在的列 的其他元素全为零, 则称该矩阵为行最简形矩阵. 定义 7 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵, 其他位置的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形 矩阵.
定义 3 矩阵的初等行变换与初等列变换,统 称为矩阵的初等变换.
定义 4 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B , 则称矩阵 A 与 B 等价, 记作 A ~ B.
定义 5 满足下面两个条件的矩阵称为行阶 梯形矩阵:
(i) Fra Baidu bibliotek零行(元素不全为零的行)的标号小于 零行(元素全为零的行)的标号;
(2) 性质
定理 1 矩阵的等价关系有下列性质: (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C. 定理 2 任何矩阵都可经过单纯的初等行变 换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵. 任何矩阵 都可经过初等变换化为标准形矩阵.
定义 2 下面三种变换称为矩阵的初等列变 换:
(i) 对调两列 ( 对调 i , j 两列, 记作 ci cj ); (ii) 以数 k 0 乘某一列中的所有元素(第 i 列 乘 k , 记作 ci × k); (iii) 把某一列所有元素的 k倍加到另一列上去 (第 j 列的 k倍加到第 i 列上, 记作 ci + kcj).
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本本容单若 若束内请 请返结本 本若 若节击想请 请本容单若束内请返结本 本若 若节击想请 请本容单若束内请返结节 节已击想 想本本容单 单若回束节 节想 想内请返结单 单节已击想本本容单若回束节 节想 想内请返结单 单节已击想本本容单若回束内 内结请返结 结堂节已击 击想按本内 内结 结本容单若回束击 击内结请返结堂节已击想按本内 内结 结本容单回若束击 击内结请返结堂节已击想按本本容 容束单回若束 束课内结请返 返结钮堂容 容束 束节已击按想本返 返本容束单回若束课内结请返结钮堂容 容束 束节已击按想本返 返本容束单回若束课内结请返结钮堂节已 已击按想本 本,容束单回 回束.课已 已本 本!内结返钮结堂回 回节已击按想本,容束单回束.课已 已本 本!内结返钮结堂回 回节已击按想本,容束单回.束课!内结 结返钮结堂 堂已击按 按本,结 结堂 堂容束回.束课按 按!内结返钮结堂已击按本,结 结堂 堂容束回.束课按 按!内结返钮结堂已击按本,容束 束回.束课 课!结返钮 钮堂束 束课 课已按本,钮 钮容束回.束课!结返钮堂束 束课 课已按本,钮 钮容束回.束课!结返钮堂已按本,,束回..课,,!!结钮堂..已按本,!!束回.课,,!结钮堂..已按本,!!束回.课!结堂钮按,束.课!结堂钮按,束.课!结钮堂按,束.课!钮,束.课!钮,束.课!钮,.!,.!,.!
二、基本要求、重点与难点
基本要求 1. 掌握矩阵的秩、矩阵等价等概念, 会求矩 阵的秩. 2. 理解初等变换与初等矩阵概念, 会用初等 变换法求矩阵的逆、矩阵的秩; 求矩阵的标准形; 解方程组等. 重点 用初等行变换法求矩阵的逆、秩， 解方程组. 难点 初等矩阵的性质.
3. 初等矩阵
(1) 定义 定义 9 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵. (2) 三种初等矩阵 E(i , j) : 对调 E 的第 i 行与第 j 行; E( i(k) ): E 的第 i 行乘以数 k ; E( ij(k) ): E的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去.
2. 矩阵的秩 (1) 定义 定义 8 设在矩阵 A 中有一个不等于0 的 r 阶 子式 D, 且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话)全等 于 0 , 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式, 数 r 称为矩阵A 的秩, 记作 R(A),并规定零矩阵的秩等 于0. (2) 定理 定理 3 若 A ~ B , 则 R(A) = R(B).
(3) 性质 定理 4 初等矩阵都是可逆的, 且
(i) E( i, j )-1 = E( i, j ); (ii) E(i(k))1Ei1 k; (iii) E( ij(k) )-1 = E( ij(-k) ).
定理 5 设 A 是一个 m n 矩阵, 对 A 施行一 次初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理 6 设 A 为可逆矩阵, 则存在有限个初
等矩阵 P1 , P2 , ···, Pl , 使 A = P1P2 ···Pl .
推论 m×n 矩阵 A ~ B 的充要条件是:
存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q , 使 PAQ = B.
4. 线性方程组的解
定理 7 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零 解的充要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n.
知识要点
一、内容提要
1. 矩阵的初等变换 (1) 定义 定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变 换: (i) 对调两行 ( 对调 i , j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素(第 i 行乘 k , 记作 ri × k);
(iii) 把某一行所有元素的 k倍加到另一行上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上, 记作 ri + krj).
(ii) 设矩阵有 r 个非零行, 第 i 个非零行的第 一个非零元素所在的列号为 ti (i =1 , 2 , ···, r ), 则
t1 < t2 < ···<tr .
定义 6 若矩阵满足 (i) 每个非零行的第一个非零元素为1; (ii) 每个非零行的第一个非零元素所在的列 的其他元素全为零, 则称该矩阵为行最简形矩阵. 定义 7 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵, 其他位置的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形 矩阵.
定义 3 矩阵的初等行变换与初等列变换,统 称为矩阵的初等变换.
定义 4 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B , 则称矩阵 A 与 B 等价, 记作 A ~ B.
定义 5 满足下面两个条件的矩阵称为行阶 梯形矩阵:
(i) Fra Baidu bibliotek零行(元素不全为零的行)的标号小于 零行(元素全为零的行)的标号;
(2) 性质
定理 1 矩阵的等价关系有下列性质: (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C. 定理 2 任何矩阵都可经过单纯的初等行变 换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵. 任何矩阵 都可经过初等变换化为标准形矩阵.
定义 2 下面三种变换称为矩阵的初等列变 换:
(i) 对调两列 ( 对调 i , j 两列, 记作 ci cj ); (ii) 以数 k 0 乘某一列中的所有元素(第 i 列 乘 k , 记作 ci × k); (iii) 把某一列所有元素的 k倍加到另一列上去 (第 j 列的 k倍加到第 i 列上, 记作 ci + kcj).
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