弹性力学简明教程第四版徐芝纶

例2 二次式 Φ ax2 b，xy分c别y2表示常量
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例3 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
察应力函数 Φ
F 2h3
xy(3h2
4y2 )能解决什么
样的受力问题？
o
h/2
h/2
x
l y
f
x
x,
σ
y
2Φ x2
f
y
y,
(d)
τ
xy
2Φ xy
.
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ的解0 Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy;
⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy )s,
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）。 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-2 矩形梁的纯弯曲
问题提出
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单 宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问 题。
(e)
f y (mσ y lτ xy )s.
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解答， 就是上述 和应Φ力。
逆解法没有针对性，但可以积累基本 解答。
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例1 一次式 Φ=ax+by+c,对应于无体力，无
面力，无应力状态。
故应力函数中加减一次式，不影响应力。
fy
( xy )x0
3F 2h
(1
4
y2 h2
);
x l(正x面),
12Fl fx (σx )xl h3 y,
fy
( xy )xl
3F 2h
(1
4
y2 h2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0,l 小边界上的面力 fx , f y ，如
下图(b) 所示，而其主矢量和主矩，如(c) 所示。
§3-3 位移分量的求出
在按应力求解中，若已得出应力，如何求 出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
σx
M I
y,
σ y xy 0,
试求解其位移。
第三章 平面问题的直角坐标解答
求形变
1. 由物理方程求形变,
x
1 E
(σ x
σ y )
M EI
y,
y
1 E
(σ
yσ
x
)
M
EI
y,
xy
2(1 E
) xy
第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答 第二节 矩形梁的纯弯曲 第三节 位移分量的求出 第四节 简支梁受均布荷载 第五节 楔形体受重力和液体压力 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
第三章 平面问题的直角坐标解答
按Φ 求解
§3－1 逆解法和半逆解法 多项式解答
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
( l >>解法。
1. 将 Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0
是满足的。Φ 有可能成为该问题的解。
2. 由 Φ 求出应力分量,
σ
x
2Φ y 2
12hF3xy
,
σ
y
2Φ x 2
0,
xy
2Φ xy
3F 2h
(1
4
y h
2 2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
0。
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
2. 代入几何方程求位移,
u x
x
M EI
y,
(a)
v y
y
M
EI
y,
(b)
v x
u y
xy
0。
(c)
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
⑴ 对式(a)两边乘 d,积x 分得
u
M EI
xy
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。
在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0 。
因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 fx f y 0
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l的次要边界（小边界）上，
x 0(负x面), fx (σx )x0 0,
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
4Φ 0
本题是平面应力问题,且为单连体，若
按 求Φ解， 应Φ满足相容方程及 应力边界条件。
s 上s的
求解步骤：
⑴ 由逆解法得出，可取 Φ ，ay且3 满足
4Φ0. ⑵ 求应力
σx 6ay, σ y xy 0.
(a)
第三章 平面问题的直角坐标解答
边界条件
⑶ 检验应力边界条件，原则是:
a.先校核主要边界（大边界），必须 精确满足应力边界条件。
b.后校核次要边界（小边界），若不能 精确满足应力边界条件，则应用圣维南原 理，用积分的应力边界条件代替。
第三章 平面问题的直角坐标解答
主要边界
主要边界 yh/2,
(σ y ) yh/2 0, ( xy ) yh/2 0 .
⑴ A内相容方程 4Φ0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s fx , m y l xy s f y. (b)
⑶ 多连体中的位移单值条件。 (c)
第三章 平面问题的直角坐标解答
对于单连体，(c)通常是自然满足的。 只须满足(a),(b)。
由 Φ求应力的公式是
σ
x
2Φ y 2
由此，可得出结论：上述应力函数可 以解决悬臂梁在x = 0处受集中力F 作用的 问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
xy
(b)
F
(c)
x F M＝Fl
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
3.半逆解法
步骤： ⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
(b)
从式(a)可见，边界条件(b)均满足。
次要边界x=0,l,
( xy )x0,l 0,
满足。
(c)
σ x的边界条件无法精确满足。
第三章 平面问题的直角坐标解答
∴用两个积分的条件代替
h/2
h/ 2 (σ x )x0,l d y 1 0,
h/2 h/ 2
(σ x
) x0,l
y
d
y
1
M。
次要边界
(d )
第三章 平面问题的直角坐标解答
式(d)的第一式自然满足，由第二式得出
a2M /h3。
最终得应力解
σ x 12hM3
yM I
y,
σ y xy 0.
(e)
当l h时，即使在 x 0,l边界上面力不同 于σ x的分布，其误差仅影响梁的两端部分 上的应力。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出