教师要充分挖掘教材中隐含的数学思想方法

教师要充分挖掘教材中隐含的数学思想方法
义务教育实验教材在编排上更显得直观、浅显、易懂，在这些形象直观的数学知识中，蕴含着许多与高等数学相通的数学思想方法。

这些数学思想方法呈隐蔽的形式，蕴含在教材中，渗透在学生获取知识和解决问题的过程中。

所以，教师在使用教材时，要认真分析教材，充分挖掘潜藏教材里的隐性资源，把握蕴含其中的数学思想方法，对教材进行再创造，有意识地引导学生经历知识的形成过程，让学生在自主探究时、在合作交流中发现知识背后蕴含的数学思想。

教师在使用教材、分析教材时要深层次地分析、研究，充分挖掘、把握教材中蕴涵的隐性资源，有意识地从教学目标的确定、教学过程的预设、教学效果的落实等方面来体现数学思想方法，实现对教材的再思考、再创造。

如在《因数与倍数》中，自然数、奇数、偶数、质数、合数这些概念教学时，教师在教学设计时，就要有意识地渗透极限思想、类比思想、分类思想，要让学生在数数中体会自然数是数不完的，没有最大的自然数，让学生在具体的情境中自觉地接受极限思想。

然后在预设中潜移默化地渗透类比思想、分类思想，让学生从自然数的个数是无限的，通过类比延伸到奇数、偶数、质数、合数的个数也是无限的，没有最大的。

最后让学生在探究自然数的分类中，加强对概念的理解与辨析，产生自觉的分类意识。

所以，教师在钻研教材、分析教材时，要充分地挖掘，自觉地渗透，让数学思想方法在数学课堂中得以自觉的落实和体现
中学教材内容是由具体知识内容与数学思想方法组成的有机整体，其体系是沿具体知识的纵向展开，而蕴含在具体知识中的思想方法是纵横交错，有很大的隐蔽性，因此教师必须深入钻研教材，充分挖掘教材中有关的数学思想方法.教师应站在系统的高度，从两方面入手，一方面挖掘在某个知识点上可以进行哪些数学思想方法的教学；另一方面又要研究某个重要的数学思想方法可以在哪些知识点教学中进行渗透。

例如，在分析高中数学新教材第三章《数列》时，我们看到，数列是一种离散型函数，项的序号是它的自变量，项是它的函数值，它渗透了集合、函数及对应思想：由数列的前几项求数列的通项公式，推导等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，运用了归纳性猜想、类比性猜想思想方法；根据数列的通项公式，判断一个数是不是数列中的项的问题，体现了方程思想；求等差数列前n
项和Sn。

的最大值问题，渗透了函数及数形结合思想方法；己知三个数成等差数列(或等比数列)，给出一些条件求这三个数，往往把这三个数设为a-d,a,a+d（或a/q,a,aq）以简化计算，渗透了对称思想，…深入“挖掘”的结果，竟发现《数列》这一部分内容蕴含的数学思想方法如此之多!
又如“数形结合思想方法”，它是中学数学中是非常重要的一种思想方法，有必要弄清它在中学数学内容教学中大致的系统.数形结合思想方法是受集合、对应思想和转化变换思想支配的，利用文氏图、数轴、直角坐标系、复平面等来实现，分布在由初一至高三各年级的数学内容教学之中。

如果我们借用对具体数学知识教学要求的几个层次，把对数形结合思想方法的要求也可大致分为了解、理解、掌握、灵活运用四个层次.在初一、初二年级，通过数轴与有理数、实数、一元一次不等式的教学，给学生一些感性认识，了解数形结合思想方法，在初三年级通过直角坐标系的建立，结合正、反比例、一次、二次函数的教学，学生初步理解数形结合思想方法，而在高中的集合、绝对值不等式、一元二次不等式，指数函数、对数函数、三角函数的教学中进一步理解，通过直线和圆的方程、圆锥曲线的学习，建立曲线与方程的对应关系，进一步加深认识，达到掌握程度，通过利用平面向量、空间向量、复数解决几何问题达到灵活运用数形结合思想方法，进而转化提高为一种能力。

另一个角度上看，在中学教学与高考考查中，主要的数学思想有：数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想、化归与转化思想。

例如2001年高考数学科试题广东、河南卷中，数形结合思想表现在第8，9，10，11，12，16，22等题；函数与方程的思想表现在第14，15，18，20，21等题；分类讨论思想表现在第21 题。

数学教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的，要注意知识过程的教学，特别是数学定理、公式推导过程和例题的求解过程，基本数学思想是在这个过程中形成和发展的。

对于数学思想，首先要领悟到蕴含在数学概念、定义、定理、公式、法则中数学思想，它体现了数学知识的发生、发展过程。

数学思想作为一种思维策略，解题策略，更是一种能力，决非几节课能培养出来的,这就要求教师重视教材中的数学思想的教学。

现行人民教育出版社必修课本中，没有出现四种数学思想的概念，需要师生去挖掘、分析概念、公式、定理的叙述方式、认清本质，提炼出数学思想，并长期渗透、训练。

渗透、介绍、运用有关的数学思想方法
学生在学习过程中，教师要善于引导学生积极主动地经历知识的形成过程，让学生在观察、实验、分析、归纳、抽象、概括的过程中，发现潜藏其中的思想方法，有利于学生自觉地理清解题思路，探究获取知识的方法，实现知识的正迁移。

如《圆的面积》教学中，教师要有意识地运用化归思想、极限思想等方法组织教学。

教师要创设情境让学生回忆已学平面图形面积公式的推导过程，唤起学生对以前探究方法的回忆与再认，启发学生对转化思想的思考与运用。

接着，引导学生合作交流，探究圆的面积公式推导的一般方法，集中组内同
学的意见拼成近似的三角形、长方形、正方形、梯形等，实现其化归过程。

最后，运用多媒体课件展示分的份数越多，所成的线就越接近一条直线，图形就越接近三角形、长方形、正方形、梯形，进一步感受极限思想、接受极限思想，自觉地应用极限思想，形成终身受用的数学思想方法。

新课程教材中每个章节都渗透着数学思想方法，数学课程标准中提及“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释及运用的过程……”，即为数学思想方法的建立与运用；在总体目标中要求学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。

“初步学会运用数学的思想方法去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。

”更进一步阐述了数学思想方法的重要性、应用性。

可见，新教材对数学思想方法的建立与运用十分重视，它为培养学生创新思维奠定基础，也为学生终身学习奠定基础。

由于大量的数学思想方法只是蕴含在数学的知识体系之中，又有高度的抽象性和概括性的特点，因此在教学中真正起到抓好双基、培养能力以及培养学生良好素质的重要作用，就应加强数学思想方法的教学，同时应遵循数学思想方法的教学原则。

（一）遵循及时渗透性原则
在课堂教学方案的设计时，有意识地将它们渗透到具体数学知识的教学当中去，引导学生去领会蕴含在其中的数学思想方法，使其自然地、在潜移默化中达到理解和掌握。

例如：在概念教学中渗透有关数学思想，教师多是满足于学生在表面层次上的领会和记住概念，急于做大量的题目，所以在概念教学中不仅仅是停留在概念的字面意义和逻辑结构的层次上。

又比如，概念的形成过程；公式、法则、性质、定理等结论的推导过程；解题方法的思考过程；知识的小结过程等，只有在这些过程的教学中，数学思想方法才能充分展现它们的活力。

（二）遵循系统归纳性原则
就是将蕴含于数学知识体系中的思想方法归纳、提炼出来。

在教学中，可以加强学生对数学思想方法运用意识，也使其对运用数学思想方法解决问题的具体操作方式有更深入的了解，有利于活化所学知识，形成独立分析问题、解决问题的能力。

（三）遵循实施性原则
就是在实际教学中，教师要特别注重营造教学氛围，要给学生提供思想活动的素材、时机，在亲自的实践活动中，接受熏陶，不断提炼思想方法、活化思想方法，形成用思想方
法指导思维活动，探索问题解答策略的良好习惯。

例如：在七年级三视图的教学活动中，对于小立方体的十多种展开图，我是让学生亲用卡纸剪出来，拼一拼。

正是这样，数学思想方法也只有在需要该种思想方法的教学活动中才能形成。

（四）遵循转化性原则
其核心内容是辩证思维的应用。

《大纲》要求“了解己知与未知、特殊与一般、正与负、等与不等、常量与变量、数与形等辩证关系，以及反映在函数概念中的运动变化观点。

了解反映在数与式的运算和求方程解的过程中的矛盾转化的观点”。

例如：等量交换、图形等角交换、等边交换，代数恒等式的变换都体现了辩证转化的数学理念。

（五）遵循层次性原则
数学思想方法的形成难于知识的理解和掌握，数学思想方法教学应与知识教学、学生认知水平相适应，数学思想方法教学应螺旋式上升、并遵循阶梯式的层次结构。

在实验研究中，笔者认为数学思想方法教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个层次。

（六）遵循科学性原则
就是要求教师要深入钻研教学大纲、教材及教参，把初中数学教材每章、每节、每题中隐含的数学思想方法准确地挖掘出来，进行全面系统的把握。

在进行性质、定理、公式和法则的推导，例题、习题的分析、证明时，都要站在数学思想方法的角度和高度进行分析研究。

（七）遵循可操作性原则
指数学思想方法教学的操作方法要易于启发诱导，易于理解掌握，便于控制。

因此数学思想方法教学在学生认识领域内的控制顺序和水平可确定为：感受－领悟－形成－内化。

《新课标》对中学数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。

在教学中，要求学生“了解”的数学思想有：数形结合的思想、分类讨论的思想、转化的思想、方程思想和函数的思想等。

这里需要说明的是，有些数学思想在《新课标》中并没有明确提出来，比如：转化思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。

在《新课标》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。

要求“理解”的或“会应用”
的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。

在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。

不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次。

教师在充分挖掘教材中数学思想方法，从纵横两方面整理出数学思想方法教学的系统后，最终要把数学思想方法的教学落实到课堂教学活动中去。

备课时，把掌握具体数学知识和掌握数学思想方法同时纳入教学目的，要在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程.课堂上，有计划、有目的、有步骤地渗透、介绍、运用、提炼有关的思想方法。

在概念的学习过程渗透介绍数学思想方法
数学概念比较抽象，初中学生由于年龄、生活经验和智力发展等方面的限制，要接受教材中的所有概念是不容易的。

概念的形成和概念的同化是人类获取概念的两种主要方式，不论是通过概念的形成形式还是概念的同化形式来获取概念，其最终的目的都是为了掌握事物的关键属性，使学生在大脑里建立起对事物的概念认知的数学思想。

教师对概念的正确理解和把握对教学有重要的影响，而良好的教学方式是学生理解并掌握新概念的关键。

下面谈谈如何在概念学习中渗透数学思想方法以使得学生更好地掌握数学概念。

一、形象地引入概念
概念属于理性认识，它的形成依赖于感性认识，而学生的心理特点是容易理解和接受具体的感性认识。

数学概念的形成，必须联系学生的生活实际，直观、具体，建立在对事物的感性认识的基础上，所以要引导学生通过观察、分析、比较，找出事物的本质特性。

教学中，要充分运用直观的方法，使抽象的数学概念成为看得见、摸得着、想得来的东西，成为学生能亲身体验的东西，这样即可以帮助学生理解概念，又有利于激发学习的兴趣。

例如，在讲解“负数”的概念时，教师可结合生活实际，引入冬季的气温，某天的气温为﹣1°C～1°C，对它的确切含义的理解，这里就出现了﹣1，还涉及有理数的加减法。

农作的产量增长率中，也需运用正负数描述向指点方向变化的情况，让学生获得负数的感性认识。

这种形象的讲述符合认识规律，学生容易理解，给学生留下的印象也比较深刻。

二、正确地理解概念
1、弄清概念的内涵与外延
数学概念是数学思维的基础，要使学生对数学概念有透彻清晰的理解，教师首先要深入剖析概念的实质，帮助学生弄清一个概念的内涵与外延。

也就是从质和量两个方面来明确概念所反映的对象。

如，掌握垂线的概念包括三个方面：①了解引进垂线的背景：两条相交直线构成的四个角中，有一个是直角时，其余三个也是直角，这反映了概念的内涵。

②知道两条直线互相垂直是两条直线相交的一个重要的特殊情形，这反映了概念的外延。

③会利用两条直线互相垂直的定义进行推理，知道定义具有判定和性质两方面的功能。

另外，要让学生学会运用概念解决问题，加深对概念本质的理解。

如。

“一般地，式子(a≥0)叫做二次根式”这是一个描述性的概念。

式子(a≥0)是一个整体概念，其中a≥0是必不可少的条件。

又如，讲授函数概念时，为了使学生更好地理解掌握函数概念，我们必须揭示其本质特征，进行逐层剖析：①“存在某个变化过程”——说明变量的存在性；②“在某个变化过程中有两个变量x和v”——说明函数是研究两个变量之间的依存关系；③“对于x在某一范围内的每一个确定的值”——说明变量x的取值是有范围限制的，即允许值范围；④“v有唯一确定的值和它对应”——说明有唯一确定的对应规律。

由以上剖析可知，函数概念的本质是对应关系。

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2、抓住概念的重点
揭示概念的内涵不仅由概念的定义完成，还常常由定义所推演的一些定理、公式得到进一步理解。

如以三角函数的定义为基础，推导特殊角的函数值，以及解直角三角形，可使学生清楚地看到概念是学习其它知识的依据。

反过来又会使三角函数的内涵得到深入揭示，加深对概念的理解，增强运用概念进行推理判断的思维能力。

教学中应有意识地启发学生提高认识，引导学生从概念出发，逐步展开对它所反映的教学模式作深入的探究，以求更深刻地认识客观规律。

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三、帮助学生掌握概念
1、利用已有相似的概念
中学数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，教师可先引导学生研究已学过的概念，然后创设类比发现的问题情景，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。

?例如，在学生已经学了平行四边形概念的基础上引入矩形、菱形的概念，就不必再从实物、实例引入，学生原有的平行四边形概念（种概念）与新概念（属概念）的联系十分紧密，教师只需抓住它们的本质作简要说明，就可以使学生建立起新的概念，在此基础上通过讲解例题便可以使新概念获得巩固。

2、利用概念中的关键字、词
数学概念中的某些字、词的含义，为我们提供了记忆概念本质属性的直观材料，强调概念中具有这种特征的字和词，能有效地理解和记忆概念的本质特征。

例如，“一元一次不等式”这个概念本身具有“一元”、“一次”、“不等式”3个关键词，抓住这3个特征，学生自然也就掌握了这个概念。

又如三角形的内切圆、外接圆中的“内”、“外”分别指出了圆在三角形内部、外部；“切”、“接”分别指出了圆与三角形的3条边相切，圆与三角形的3个顶点相接。

教学中着重强调这些字词，使学生一看到这一概念，就会联想到这一概念是如何定义的。

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3、进行比较
数学的许多概念，它们之间既有联系又有区别，有些概念同种而差别较小，学生容易混淆，教学中应引导学生进行归类比较，学会比较方法，分析两种概念的从属关系，区分它们的异同之处。

如平方根与算术平方根是联系密切的两个概念，教学中应引导学生比较，从符号表示上是表示a的平方根，表示a的算术平方根；从读法上，前者读作a的平方根，后者读作a的算术平方根(或根号a)；相同点：它们的被开方数都是非负数；不同点：一个正数的平方根有两个值，且互为相反数，一个正数的算术平方根只有一个且为正数；联系点：一个正数的算术平方根是该正数的正的平方根。

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4、在应用中加深对概念的掌握?
数学中的概念，有些是互相联系的，互相影响的，我们在教完一个单元或一章后，要善于引导学生把有关概念串起来，充分揭示它们之间的内部规律和联系，从而使学生对所学概念有个全面、系统的理解，例如，在讲完直线与圆的位置关系这一节后，我们可以这样串连一下概念。

圆中的两条弦分平行与不平行两种，若平行就有“圆中两平行弦所夹的弧相等”这个定理，如果不平行就一定相交，相交又有圆内相交和圆外相交，圆内相交，有相交弦定理，圆外相交，有割线定理，如果把一条割线绕交点移动使之与圆相切，就得到切割线定理。

这样串连后就会使学生所学的知识得到进一步巩固和提高。

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总之，数学概念的教学是整个数学教学的一个重要环节，正确地理解数学概念是掌握数学知识的前提。

数学概念的学习可分为两种基本形式：一是概念形成；二是概念同化。

概念形成是指在教学条件下，从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性.概念同化是直接用定义形式陈述概念，并与学生原有数学认知结构中有关概念相互联系，相互作用，以领会新概念的本质属性，从而获得新概念的方式。

在这两种形式的概念学习讨程中，我们都可以适时渗透介绍数学思想方法。

教师只有把数学概念讲清楚、讲准确，让学生深刻理解概念的内涵，准确掌握概念的外延，才能使学生从根本上提高分析问题和解决问题的能力。

数学概念形成一般要经历“具体一抽象一具体”的过程，即先给出问题、给出基本事实、实际背景，引导学生从问题出发，分析、抽象、概括出数学概念，为了进一步理解概念的内涵和明确概念的外延，要举出概念的肯定例证(概念的各种“变式”)和否定例证.这个过程是从特殊到一般，再由一般到特殊，因此是一个先归纳再演绎的推理过程。

教师要抓住教学时机，介绍归纳、演绎推理方法，特别是归纳法。

在中学数学概念形成过程中，充满着“归纳法”，如子集、n次方根、函数单调性与奇偶性、指数函数与对数函数、等差数列与等比数列等概念的学习。

另外我们有时要借助符号、图形、图象的直观形象性，帮助学生形成概念，这一过程也是对数形结合思想方法的渗透。

以概念同化方式学习数学概念，往往伴随着某些数学思想方法的运用，如由等差数列的定义类比出等比数列的定义；用映射思想定义函数，一一映射思想定义反函数；用函数思想看“数列”。

用数学思想方法指导概念学习，可以更好地在概念教学中突破难点，使学生理解概念更顺利，促进学生数学概念认知结构发展，同时也有利于中学生接受一些重要的数学思想方法。

在定理(公式、法则)的学习过程渗透运用数学思想方法
定理(公式、法则)的教学应遵循“过程教学原则”，即一个命题怎样被提出来，提出来后又如何加以证明，证明之后如何加以应用，这一思维过程都应充分展现，并启发学生去感受、体验，弄清知识的来龙去脉。

在这一过程，必然结合着数学思想方法的渗透运用。

如在教学指数函数的性质时，先让学生动手画指数函数与的图象(在同一坐标系)，接着师生共同观察图象特征，分析两个图象的相同点与不同点，归纳出一般的指数函数当a > 1时与当0 < a < 1时两种情况的性质。

这一过程运用了数形结合、特殊到一般、分类对比等思想，再教学对函数的图像与性质时，可以跟指数函数的图像性质对比，以使学生简化记忆。

以概念同化方式学习数学概念，往往伴随着某些数学思想方法的运用，如由等差数列的定义类比出等比数列的定义；用映射思想定义函数，一一映射思想定义反函数；用函数思想看“数列”；……。