关于梯度、散度与旋度的探讨

1 方向导数的概念与物理意义

1.1 方向导数的概念

设0M 为标量场

()M μ中的一点，从点0M 出发引一条射线l ，点M 是l 上的动点，到点0M 的距离为l ∆。当点M 沿射线l 趋近于0M （即0l ∆→）时，比值()()

0M M l μμ-∆的极限称为标量场()M μ在点0M 处沿l 方向的方向导数，记作0M l μ

∂∂，即

()()000lim l M M M l

l μμμ

∆→-∂=∂∆ 方向导数的数值既与点

0M 有关，也与l 方向有关。因此，标量场中，在一个给定点0M 处沿不同的l 方向，其方向导数一般是不同的。

方向导数的定义是与坐标系无关的，但方向导数的具体计算公式与坐标系有关。 设l 方向的方向余弦是cos α、cos β、cos γ，即

cos dx dl α=，cos dy dl β=，cos dz dl γ=

则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为

cos cos cos l x y z μμμμαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂

2 梯度的概念与物理意义

2.1. 梯度的定义

标量场μ在点M 处的梯度是一个矢量，梯度的方向是沿标场量μ变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作grad μ，即

max l

grad e l μ

μ∂=∂

式中l e 是标场量μ变化率最大的方向上的单位矢量。

2.2 梯度的计算式

梯度的定义与坐标系无关，但梯度的具体表达式与坐标系有关。在直角坐标系中，若令

x y z G e e e x y z μμμ∂∂∂=++∂∂∂、cos cos cos l x y z e e e e αβγ=++

结合方向导数的计算公式，可得到

()(cos cos cos )x y z x y z e e e e e e l x y z μμμμαβγ∂∂∂∂=++⋅++∂∂∂∂

cos(,)l l G e G G e =⋅= 由于x y z G e e e x y z μμμ∂∂∂=++∂∂∂是与方向l 无关的矢量，由上式可知，当方向l 与矢量G 的方向一致时，方向导数的值最大，且等于矢量G 的模

G 。根据梯度的定

义，可得到直角坐标系中梯度的表达式为

x y z grad e e e x y z μμμμ∂∂∂=++∂∂∂ 2.3 梯度的物理意义

3 散度的概念及性质

3.1 散度的概念

在分析和描绘矢量场的性质时，矢量场穿过一个曲面的通量是一个重要的基本概念，矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，不能反映场域内每一点的通

量特性，而散度则表示在某点处的单位体积内散发出来的通量。

设某矢量场F

(,,)(,,)(,,)(,,)F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++

其中P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，n 是∑在点(,,)x y z 处的单位法向量，则F ndS ∑⋅⎰⎰叫做向量场通过曲面∑向着指定侧的通量(或

流量)，而P Q R x y z ∂∂∂++

∂∂∂叫做向量场F 的散度，记作divF 或F ∇⋅，即P Q R divF F x y z ∂∂∂=∇⋅=++∂∂∂。

3.2 散度的计算式

散度在直角坐标系中的表达式为 0lim y S x z V F dS

F F F divF V x y z ∆→⋅∂∂∂==++∆∂∂∂⎰

3.1 梯度、散度与旋度的应用

3.1.1 梯度的应用

1、流形上的梯度

一个黎曼流形M 上的对于任意可微函数，f 的梯度是一个向量场使得对于每个向量ξ，

(),f x f

ξξ∇:= 其中,⋅⋅代表M 上的内积（度量），而f ξ是在p 点取任意点映射到在ξ的方向导数的函数。换句话说，在某些坐标图中, ()f p ξ将成为：

1():[()()]j j x j x j f p f p x ξξϕϕ-∂∂=∂∑∑

函数的梯度和外微分相关，因为()()f p df ξξ=。

3.1.2 散度的应用

奥氏公式的矢量形式：

S A dS divAdV

Ω⋅=⎰⎰⎰⎰⎰

由此可以看出通量与散度之间的一种关系：穿出封闭曲面S 的通量，等于S 所围的区域Ω上的散度在Ω上的三重积分。

由上可以推论：若在矢量场A 内某些点（或区域）上有0divA ≠或divA 不存在，而在其他的点上都有0divA =，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。

证明：（1）在矢量场A 中任作两张包围R 在内但互不相交的封闭曲面1S 与2S ，分别以1n ，2n 为其外向法矢量。则在1S 与2S 所包围的区域Ω上，处处有0divA =。因此，由奥氏公式有

120S S A dS divAdV +Ω⋅==⎰⎰⎰⎰⎰

则有

120S S A dS +⋅=⎰⎰

其中n A 为矢量A 在Ω的边界曲面（即由

1S 与2S 所组成的封闭曲面）的外向法矢n 的方向上的投影。注意到在

1S 上n 与1n 相同，而在2S 上n 则与2n 的指向相反，

因此，由上式有 12120n n S S A

dS A dS ⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰

移项即得

1212n n S S A

dS A dS ⋅=⋅⎰⎰⎰⎰

（2）若所作的封闭曲面

1S 与2S 相交，则在矢量场A 中再作一张同时包含1S 与2S 在其内的封闭曲面

3S ，以3n 表其外向法矢量，则3S 分别与1S ，2S 都不相交，按（1）

中证明的结果有 1313n n S S A

dS A dS ⋅=⋅⎰⎰⎰⎰，2323n n S S A dS A dS ⋅=⋅⎰⎰⎰⎰，

所以亦有

1212n n S S A

dS A dS ⋅=⋅⎰⎰⎰⎰

3.2 梯度、散度与旋度的联系

标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，而矢量场在空间的变化规律则通过场得散度和旋度来描述。矢量场散度和旋度反映了产生矢量场的两种不同性质的源，相应地，不同性质的源产生的矢量场也具有不同的性质。故此，我们引入它们之间的两个重要性质及联系应用。