2015开学华师大版九年级数学下27.1圆的认识(圆的对称性2)【倍速课时学练】课件
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B’ O
O
A’
A
B 图1
A
图2
B
倍 速 课 时 学 练
扇形AOB旋转到扇形A’OB’的位置，我们可以发现，在旋转
⌒ =AB, ⌒ 过程中，∠AOB= ∠A’O B’, AB=A’B’ AB
在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。 在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。 在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。
27.1 圆的认识
圆的对称性
倍 速 课 时 学 练
(1)以旧引新，引导探究.
• 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是旋转对称图形.
倍 速 课 时 学 练
●
O
用旋转的方法可解决下面问 题.
(1)以旧引新，引导探究.
将图1中的扇形AOB（阴影部分）绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋 转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么。
A
E
•O
• •
•
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴⌒ AD=BD,AC=BC
推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，且平分弦所对的两条弧。
(3)指导论证，引申结论.
• 小组讨论：下列命题是否正确，说明理由 1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分 弦所对的两条弧。
倍 速 课 时 学 练
2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分 弦，且平分弦所对的另一条弧。
倍 速 课 时 学 练
倍 速 课 时 学 练
⌒ =BD ⌒ 例1、如图，在⊙O中，AC
。 。
∠1＝45o，求∠2的度数。
B C 2 D 1 O A
解：∵ ∴
⌒ =BD ⌒ AC
倍 速 课 时 学 练
AD－BC＝ＢＤ－BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒ ∴ ⌒ AＢ =ＣD
∴ ∠2＝∠1＝45°
我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直 径所在的直线都是它的对称轴。
答案：3
E
•o
E D
B组 在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离 为5,则圆o的直径是( ) 倍 速 课 时 学 练
答案：26
O
•
C
D
A
C组 若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E， AE＝16，BE=4,则CD＝( )
答案：16
C
O•
D
E
B
Fra Baidu bibliotek
(4)多方练习，分层评价.
• 例3 如图已知⊙O的直径为4cm，弦AB= 数。
试一试，我们如何十分简捷地将一个圆2等分，4 等分，8等分。
O O O
倍 速 课 时 学 练
(2)动手操作，观察猜想.C
•
操作：CD是圆0的直径，过直
径上任一点E作弦AB⊥CD， 将圆0沿CD对折，比较图中的 线段和弧，你有什么发现？
A •
•O
猜想：
倍 速 课 时 学 练 AE=BE, AD=BD,AC=BC
(3)指导论证，引申结论.
总结：
• 五个条件
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
• 规律 知二
倍 速 课 时 学 练
推三
(4)多方练习，分层评价.
• 例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的 距离为3cm，求⊙O的半径 解：连结OA，作OE⊥AB于E，则 OE=3cm,AE=BE ∵AB=8cm ∴AE=4cm 倍 速 课 时 学 练
E ┐
⌒⌒⌒ ⌒
•
•
•
• B
D
(3)指导论证，引申结论.
已知：在⊙O中，CD为直径， AB为弦，且CD⊥AB于点E，
•
C
求证： AE=BE,
AD=BD,AC=BC
•O
⌒⌒⌒ ⌒
倍 速 课 时 学 练
•
•
分析：直径CD所在直线既是等 腰三角形OAB的对称轴，又是 ⊙O的对称轴，把⊙O沿直径CD 折叠，由图形的重合，即可得到 所求证结论。
解：过O作OD⊥AB于点D,则AD=BD ∵AB= ∴AD=
cm，求∠OAB的度
2 3 cm
3 cm
•o
┐D
∵ ⊙O的直径为4cm ∴OA＝2cm A
倍 速 课 时 学 练
在Rt△OAD中
AD 3 ∵cos ∠OAB ＝ = OA 2
∴锐角∠OAB ＝30°
B
你还有没有其它方法？
(5)反思小结，布置作业.
• 反思小结：
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂 直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。 2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
•o
B A E
•o B
A
•O E (3)
D
(1) (2)
(3)指导论证，引申结论.
• 例1、如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE C ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB， AD=BD,AC=BC • 证明：连结AO、BO，
∵AO=BO
∴△AOB为等腰三角形 倍 速 课 时 学 练 ∵AE=BE ∴CD⊥AB ∵CD是直径，
A •
E ┐
•
• B
D
(3)指导论证，引申结论.
题设
直径（或过圆心的直线）
垂直于弦 倍 速 课 时 学 练 判断题： (1)过圆心的直线平分弦 平分弦所对的劣弧
错 错 C C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
结论
平分弦 平分弦所对的优弧
(2)垂直于弦的直线平分弦
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于EA ， E 则AE=BE 对 D
A
E
B
└
•o
在Rt中有 OA= OE2 AE2
= 32 42
=5cm
∴ ⊙O的半径为5cm
解后指出：从例2看出圆的半径OA， 圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构 成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理 结合起来，解决这类问题就显得很 容易了。
(4)多方练习，分层评价.
• 练习： A组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm， 则圆心到弦的距离是( )cm C
O
A’
A
B 图1
A
图2
B
倍 速 课 时 学 练
扇形AOB旋转到扇形A’OB’的位置，我们可以发现，在旋转
⌒ =AB, ⌒ 过程中，∠AOB= ∠A’O B’, AB=A’B’ AB
在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。 在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。 在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。
27.1 圆的认识
圆的对称性
倍 速 课 时 学 练
(1)以旧引新，引导探究.
• 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是旋转对称图形.
倍 速 课 时 学 练
●
O
用旋转的方法可解决下面问 题.
(1)以旧引新，引导探究.
将图1中的扇形AOB（阴影部分）绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋 转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么。
A
E
•O
• •
•
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴⌒ AD=BD,AC=BC
推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，且平分弦所对的两条弧。
(3)指导论证，引申结论.
• 小组讨论：下列命题是否正确，说明理由 1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分 弦所对的两条弧。
倍 速 课 时 学 练
2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分 弦，且平分弦所对的另一条弧。
倍 速 课 时 学 练
倍 速 课 时 学 练
⌒ =BD ⌒ 例1、如图，在⊙O中，AC
。 。
∠1＝45o，求∠2的度数。
B C 2 D 1 O A
解：∵ ∴
⌒ =BD ⌒ AC
倍 速 课 时 学 练
AD－BC＝ＢＤ－BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒ ∴ ⌒ AＢ =ＣD
∴ ∠2＝∠1＝45°
我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直 径所在的直线都是它的对称轴。
答案：3
E
•o
E D
B组 在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离 为5,则圆o的直径是( ) 倍 速 课 时 学 练
答案：26
O
•
C
D
A
C组 若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E， AE＝16，BE=4,则CD＝( )
答案：16
C
O•
D
E
B
Fra Baidu bibliotek
(4)多方练习，分层评价.
• 例3 如图已知⊙O的直径为4cm，弦AB= 数。
试一试，我们如何十分简捷地将一个圆2等分，4 等分，8等分。
O O O
倍 速 课 时 学 练
(2)动手操作，观察猜想.C
•
操作：CD是圆0的直径，过直
径上任一点E作弦AB⊥CD， 将圆0沿CD对折，比较图中的 线段和弧，你有什么发现？
A •
•O
猜想：
倍 速 课 时 学 练 AE=BE, AD=BD,AC=BC
(3)指导论证，引申结论.
总结：
• 五个条件
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
• 规律 知二
倍 速 课 时 学 练
推三
(4)多方练习，分层评价.
• 例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的 距离为3cm，求⊙O的半径 解：连结OA，作OE⊥AB于E，则 OE=3cm,AE=BE ∵AB=8cm ∴AE=4cm 倍 速 课 时 学 练
E ┐
⌒⌒⌒ ⌒
•
•
•
• B
D
(3)指导论证，引申结论.
已知：在⊙O中，CD为直径， AB为弦，且CD⊥AB于点E，
•
C
求证： AE=BE,
AD=BD,AC=BC
•O
⌒⌒⌒ ⌒
倍 速 课 时 学 练
•
•
分析：直径CD所在直线既是等 腰三角形OAB的对称轴，又是 ⊙O的对称轴，把⊙O沿直径CD 折叠，由图形的重合，即可得到 所求证结论。
解：过O作OD⊥AB于点D,则AD=BD ∵AB= ∴AD=
cm，求∠OAB的度
2 3 cm
3 cm
•o
┐D
∵ ⊙O的直径为4cm ∴OA＝2cm A
倍 速 课 时 学 练
在Rt△OAD中
AD 3 ∵cos ∠OAB ＝ = OA 2
∴锐角∠OAB ＝30°
B
你还有没有其它方法？
(5)反思小结，布置作业.
• 反思小结：
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂 直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。 2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
•o
B A E
•o B
A
•O E (3)
D
(1) (2)
(3)指导论证，引申结论.
• 例1、如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE C ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB， AD=BD,AC=BC • 证明：连结AO、BO，
∵AO=BO
∴△AOB为等腰三角形 倍 速 课 时 学 练 ∵AE=BE ∴CD⊥AB ∵CD是直径，
A •
E ┐
•
• B
D
(3)指导论证，引申结论.
题设
直径（或过圆心的直线）
垂直于弦 倍 速 课 时 学 练 判断题： (1)过圆心的直线平分弦 平分弦所对的劣弧
错 错 C C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
结论
平分弦 平分弦所对的优弧
(2)垂直于弦的直线平分弦
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于EA ， E 则AE=BE 对 D
A
E
B
└
•o
在Rt中有 OA= OE2 AE2
= 32 42
=5cm
∴ ⊙O的半径为5cm
解后指出：从例2看出圆的半径OA， 圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构 成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理 结合起来，解决这类问题就显得很 容易了。
(4)多方练习，分层评价.
• 练习： A组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm， 则圆心到弦的距离是( )cm C