第二章 养老保险精算基础(第二节)

d it /d t<0
因此，it递减
复利 本金和已产生的利息一起在之后的时期生 息。 如果在t时的积累值为：a (t)=(1+i)t,那么 可以说该笔投资以每期复利i计息，并将这样产 生的利息称为复利。
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复利计息的特征: 1. 各期利息不同
It=A(t)-A(t-1) =k[(1+i)t-(1+i)t-1] =ki(1+i)t-1
单利计息的特征:
1. 利息恒定 It=A(t)-A(t-1) =k[a(t)-a(t-1)] =k[1+it-1-i(t-1)] =k i
2. 实际利率递减
At At 1 it At 1 k[a(t ) a(t 1)] ka(t 1) i 1 i(t 1)
第二章 养老保险精算基础
学习要点： 1.实际利率、名义利率 2.实际贴现率、名义贴现率 3.期末付年金、期初付年金以及付款次数多 于计息次数的年金 4.寿险保费的基本原理以及保费算 5.责任准备金的计算
第一节 利息与年金 一、利息的度量 （一）利息的含义 定义：在一定时期内，借用一定数量的资本所 付出的成本或借出一定数量的资本所得到的报酬。 一般用It表示。 在某种意义上，利息可以理解为租金的一种形 式，即借方向贷方支付的由于资金转让而在一段 时间内不能使用该笔资金所引起的损失。
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定义：
名义利率i(m)是指每1/m个度量期支付利息 一次，而在每1/m个度量期上的实际利率为 i(m)/m。 也就是说，每一度量期i(m)的名义利率意味 着每1/m度量期i(m)/m的实际利率（复利计息）。
例：若以一年为一个度量期， i(4)=8% 的名义利率指的是每季度的实际利率为 2%，称作每年计息4次的年名义利率 8%。
(四)实际贴现率 年初向银行借款100元，利息为6元，期 限为一年，银行要求在年初把利息还清？
100 94
106 100
定义：一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取 得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，一般用 d表示。
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即：dt=It/A(t)=[A(t)-A(t-1)]/A(t) A(t)=A(t-1)(1-d)-1 A(t-1)=A(t)(1-d) it=It/A(t-1)
实际贴现率:
d1=[A(1)-A(0)]/A(1) =(1050-1000)/1050=4.762%
d2=[A(2)-A(1)]/A(2) =(1100-1050)/1100=4.545%
“等价”的概念 实际利率和实际贴现率都是度量利息的方 法。任何一笔业务都可以同时用这两种方法来 度量。 如果对于给定的投资金额，在同样长的时 间内，利率与实际贴现率（或其他任何利息的 度量方式）能够产生同样的积累值，则称两个 “率”是“等价”的。 如例6中的6%与6.38%就是等价的。
v=1-d，方程两端均可以看作是期末付1的现值。
4.对于8%的复利和单利，分别求：d4=？ 解：复利条件：d4=[a(4)-a(3)]/a(4) =i/(1+i) =0.074 单利条件：d4=[a(4)-a(3)]/a(4) =（1+4i-1-3i)/(1+4i) =0.06
6.已知一项借款在一年后支付的利息金额为 336元，而如果采取贴现方式，等价贴现率下 贴现金额为300元，求本金值。
例题：7. 某人到银行存入1000元，第一年末 存折上余额为1050元，第二年余额为1100 元，求：第一、二年的实际利率和实际贴现 率。 实际利率：i1=[A(1)-A(0)]/A(0) =(1050-1000)/1000=5% i2=[A(2)-A(1)]/A(1) =(1100-1050)/1050=4.762%
4. 已知年利率为8%，复利计息，求4年后 支付10000元的现值。 PV=10000a-1(4) =10000/（1+8%）4=7350.3(元)
例题 5. 教材p10，例2-2
At It
复利 100 105 110.25 115.76 121.55 127.63 单利 0 5 5 5 5 5 复利 0 5 5.25 5.51 5.79 6.08
3. 如果3000元在5年半内积累到5000元，求： 单利利率、复利利率。 解：单利利率：3000（1+5.5i）=5000 i=0.121 复利利率：3000（1+i）5.5=5000 i=0.0973
4. 300元投资复利计息经过3年增长至400 元，求：分别在第2年末、第4年末、第6年末 各付款500元的现值之和。 解：复利条件下：a(t)=(1+i)t A(3)=ka(3)=300(1+i)3=400 i=0.10064 现值：500[a-1(2)+a-1 (4)+a-1 (6)] =1034.7
一般来说，利息包含对机会成本的补偿和对风 险的补偿。
●几个基本概念：本金、积累值、第t时刻的利息、
初始时刻到第t时刻的利息、积累函数、折（贴）现 函数、现值
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本金：开始时投资的金额或用来生息的初始投资资本 称为本金。一般用P表示。
积累值（终值）：本金在一定时间之后所积累的数额 或业务开始一定时间之后回收的总金额称为该时刻 的积累值（终值）。一般用At或A（t）表示。
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第一节 利息与年金
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第t时刻的利息（It）：
第1期
0 1
第2期
2 …..
第t期
t-1
t
It=At-At-1
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从初始时刻到第t时刻的利息：
At-P=I1+I2+· · · +It
影响利息大小的三要素：本金、利息率、时间
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积累函数：也称为t期积累因子，是单位本金在t期末 的积累值。 考虑1单位本金，定义该投资在第t时刻的积累值为 a(t)，我们将a(t)定义为该投资的积累函数。其中， a(0)=1。
例题： 2. 某银行以单利计息，年息为6%，某人 存入5000元，求5年后的积累值是多少？
A(5)=5000a(5)=5000(1+6% ·5)=6500(元) 3. 如果该银行以复利计息，其他条件不 变，求5年后的积累值。 A(5)=5000a(5)=5000(1+6%)5=6691.13(元)
例题：6. 教材p10，例2-3。 it=[A(t)-A(t-1)]/A[t-1]=[100-94]/94=6.38% dt= It/A(t)=100-94/100=6% 实际贴现率是对期初支付的利息的度量，而实际利率 是对期末支付的利息的度量。
复利假设下实际贴现率为常数 复利条件下，对任意正整数t，有： dn=[a(t)-a(t-1)]/a(t) =[(1+i)n-(1+i)n-1]/(1+i)n =i/(1+i) 这种情况下的贴现称为“复贴现”，类 似于“复利”。
（六）名义贴现率
与名义利率的含义相同，用d(m)表示每一度量 期支付m次利息的名义贴现率。如果名义贴现率为 d(m)，那么有： 1-d=(1- d(m)/m)m 名义贴现率图 可得: ① d=1-(1- d(m)/m)m ②d(m)=m[1-(1-d)1/m]
习题：1. 已知：A(t)=2t+ t +5 ，求: （1）对应的a(t)，（2）I3, （3）i4
解：（1）a(t)=A(t)/k=1+0.4t+ t / 5 （2）I3=A(3)-A(2)=2+ 3 2 （3）i4=I4/A(3)=0.178
2.若A(3)=100，in=0.01n，求：I5=? 解： I5/A(4)=i5=0.05 I5=0.05A(4) [A(4)-A(3)]/A(3)=i4=0.04， A(3)=100 A(4)=104 因此，I5=0.05A(4)=5.2
it(%)
单利 0 5 4.76 4.55 4.35 4.17 复利 0 5 5 5 5 5
(1) 期限超过了一个度量 期，t=1和t>1时单利、复利 下积累值的比较。 (2) 单利、复利条件下，It的 变化趋势。 (3) 单利、复利条件下，it的 变化趋势。
t 初始 1 2 3 4 5
单利 100 105 110 115 120 125
解：Pi=336, Pd=300 i/(1+i)=d 1/(1+i)=300/336 i=0.12 P=336/0.12=2800
（五）名义利率 实际利率--------利息在每个度量期支付一次。此时 称一个度量期内的利率为实际利 率。一般用i表示。 名义利率--------一个度量期内利息支付不止一次 （或在多个度量期内利息才支付一 次）。此时称一个度量期内的利 率为名义利率。一般用i(m)表示。
名义利率图
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与名义利率等价的实际利率：
由等价的定义，可以得到 i(m)与等价的实 际利率之间的关系： 1+i=(1+ i(m)/m)m 可得： ① i=(1+ i(m) /m)m-1 ② i(m) =m[(1+i)1/m-1]
例：（1）i(4)=8%，求年实际利率。 （2）i=10%，求i(5)。 解：（1）1+i=[1+ (i(4)/4)]4 i=[1+ (i(4)/4)]4-1=8.24% （2） i(m)=m[(1+i)1/m-1] =5[(1.1)1/5-1]=9.6%
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实际贴现率与实际利率的关系 考虑一笔业务：某人以贴现方式（实际 贴现率为d)借款1元，则实际上本金为（1-d） 元，而利息（贴现）金额为d元。实际利率为： i=d/(1-d) d =i/(1+i) , 即d=iv d =(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-v d=i(1-d)，即i-d=id
假设初始投资为K，那么 A (t)=K·a(t)。 a(t)可以看作是积累值A (t)在K=1时的特例。
t期折现因子或折现函数：为了使在第t期末的积累 值为1，而在开始时进行投资的本金金额，一般用PV表 示折现值。例如：为了使t期末的积累值a(t)=1，而在初 期进行投资的本金金额。
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折现因子或折现函数表现为积累因子的倒数： a-1(t)，一般定义1期折现因子为v， v= a-1(1)=1/1+i 例如：如果a(t)=1+2t, a-1(t)=1/(1+2t)。 A (t)=K·a(t)，如果K= a-1(t)，那么： A (t)=K·a(t)= a-1(t)·a(t)=1
2. 从增长形式看 单利：同样长时间积累 值增长的绝对金额为常 数。 a (t + s) – a (t)=s · i
利息与时间长度s成比， 与t无关。
复利：同样长时间积累值 增长的相对比率保持为常 数。
a(t s) a(t ) (1 i) s 1 a(t )
在实务中，期限达到或超 过一个度量期的金融业务 几乎全部使用复利。
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现值
为了在t期末得到某个积累值，而在开始 时投资的本金金额称为该积累值的现值（或 折现值）。
折现因子：为了使在第t期末的积累值为1，而 在开始时进行投资的本金金额
如果t期末支付k，那么t期末k的现值为 k ·a-1(t)
（二）实际利率
利率是利息的第一种度量方式，可以将 绝对数的利息转变为相对数，去掉量纲、规 模等影响，用以衡量借款成本或投资收益。 实际利率是指该度量期内得到的利息金 额与此度量期开始时投资的本金之间的比率， 一般用it代替，用百分数表示。
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源自文库
实际利率的计算公式
It At At 1 it At 1 At 1
实际利率是单位本金在给定时期中产生的利息 金额，与给定的时期有关。 例题：1. 教材p8
（三）单利和复利 在投资期为多个或非整数个度量期时， 根据实际利率计算积累值和利息的两种不同 的方式。 ■单利 只有本金产生利息，而已产生的利息在 后面的时期不再生息。 考虑1单位本金，如果在t时刻的积累值 为：a (t)=1+i t ，那么可以说该笔投资以每期 单利i计息，并将这样产生的利息称为单利。
2. 实际利率恒定
At At 1 it At 1 k[a (t ) a (t 1)] ka(t 1) i (1 i ) t 1 a(t 1) i
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单利与复利的比较 1. 从积累函数看 单个度量期（t=1）: 1+it=(1+i)t 结果相同 较长时期（t>1）: (1+i)t>1+it 复利产生更大积累值 较短时期（t<1）: (1+i)t<1+it 单利产生更大积累值