正弦定理和余弦定理-课件ppt

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2.VABC的边分别为a､b､c,且a 1, c 4 2, B 45,则VABC 的面积为( )
A.4 3 B.5
C.2
D.6 2
解析 : SVABC
1 2
acsinB
1 2
1 4
2 sin45 2.
答案:C
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3.在VABC中,角A､B､C的对边分别为a、b、c, 若 a2 c2 b2
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【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B),试判断该 三角形的形状.
[分析]利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角 角关系.
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[解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)•sin(A+B). 得a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)] ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, 即sin2A•sinAsinB=sin2B•sinAsinB.
2
2
33
答案:D
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4.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若 a 3,b 2, B=45°,则角A等于( )
A.30°
B.30°或105°
C.60°
D.60°或120°
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解析 :由正弦定理得 a b , sinA sinB
sinA asinB 3 . b2
又Q A ( , ),A 或A 2 .故选D.
2.(1)仰角､俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.
(2)坡角､坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角;坡面的竖直高 度与水平宽度的比值叫做坡度.
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3.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或指 南方向线与目标方向线所成的0°~90°的角叫做方向角: 从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方 位角.
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∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
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解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
b2 c2 a2
cosA
;
2bc
cosB a2 c2 b2 ; 2ac
cosC a2 b2 c2 . 2ab
5
(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中分别令A､B､C为90°,则上述关系式分
别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.
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3.解斜三角形的类型 在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:
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解斜三角形应用题的一般步骤是: ①准确理解题意,分清已知与所求; ②依题意画出示意图; ③分析与问题有关的三角形; ④运用正､余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的
答案; ⑤注意方程思想的运用; ⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.
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[探究]如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处( 3 1) 海
4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般 可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或 “南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25°等.
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5.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根据 题意正确画出示意图,这是最关键､最重要的一步.通过这一 步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中 也要注意体会正､余弦定理“联袂”使用的优点.
类型二
判断三角形的形状
解题准备:1.这类题型主要是利用正､余弦定理及其变形,把题 设条件中的边､角关系转化为角或边的简单关系,从而进行 判断.
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2.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角 为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为内角 三角函数之间的关系,走三角变形之路;二是化角为边,以边 为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为边的 关系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般 两边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
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[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式
分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的
7
8
4.测距离的应用
9
10
5.测高的应用
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6.仰角､俯角､方位角､视角 (1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做
仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.
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(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°. (3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做
视角.
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
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[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
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里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海
里的C处的我方缉私船奉命10 以3
海里/小时的速度追截
走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏
东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获
走私船?并求出所需时间.
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[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)
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设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
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[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
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类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
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3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
tanB 3ac,则角B的值为( )
A.
B.
6
3
C. 或 5 D. 或 2
66
33
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解析 :由 a2 c2 b2 tanB 3ac,联想到余弦定理并代入
得cosB a2 c2 b2 3 g 1 3cosB .
2ac
2 tanB 2sinB
显然B ,sinB 3 ,在(0, )内B 或 2 .
sinC sinB
∴sinC=
ABsinB 2
31 2
3.
AC
2
2
由AB>AC知∠C>∠B,则∠C有两解.
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(1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角形面积公式得:
S= AB·AC·sinA= 1 2 3
1
2
×2×sin90°= 2 3 .
(S2=)当12C2为A钝B角·时AC,∠·Cs=in12A0=°12,∠A2=330°2,由12 三角3,形面积公式得:
正弦定理和余弦定理
1
1.正弦定理
(1)内容:
ab c sinA sinB sinC
圆的半径).
=2R(其中R为△ABC外接
(2)正弦定理的几种常见来自百度文库形
①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
② sinA a , sinB b , sinC c (;其中R是△ABC外接
圆半径) 2R
4
3
3
答案:D
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5.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.
若∠C=120°, c 2a,则( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a与b的大小关系不能确定 解析:c2=a2+b2-2abcos120°⇒a2-b2-ab=0⇒b= <a,故选A.
a 5a 2
答案:A
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
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解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,
即:4=12+|BC|2-2× ×|BC|× 2 3
3,
2
∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.
(1)当|BC|=2时,S△=
1 |AB|·|BC|·sinB 2
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7.△ABC的面积公式有
(1)S
1 2
agh a
(ha表示a边上的高);
(2)S 1 absinC 2R2sinAsinBsinC 1 a2 sinBsinC abc ;
2
2 sinA 4R
(3)S 1 r(a b c)(r为内切圆半径); 2
(4)S p( p a)( p b)( p c)[其中p 1 a b c].
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°, ∴∠D=30°,∴BD=BC,即 10t 6∴.t= 6小时≈15分钟.
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∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,
大约需要15分钟.
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[评析]应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是:(1) 根据题意,抽象或者构造出三角形;(2)确定实际问题所涉及 的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对 应关系;(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求 解;(4)给出结论.
2
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考点陪练
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1.已知VABC中, a 2,b 3, B 60, 那么角A等于( )
A.135 B.90
C.45
D.30
解析 :由正弦定理 a b ,得 2 3 ,可得sinA 2 .
sinA sinB sinA 3
2
2
又a 2 b 3,所以A B,所以A 45.
答案:C
关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出 三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两 种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提 取公因式,以免漏解.
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类型三
测量高度和角度问题
解题准备:
1.在测量高度的问题中,要正确理解仰角､俯角和坡角､坡度等 特定的相关概念,画出准确的示意图.
2,
BC
6
2
∴∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上,
∴∠CBD=90°+30°=120°.
45
在△BCD中,由正弦定理,得
BD CD , sinBCD sinCBD
∴sin∠BCD=
BDgsinCBD 10tgsin120o 1 ,
CD
10 3t 2
∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
2R
2R
2
③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA; ④a:b:c=sinA:sinB:sinC.
3
2.余弦定理 (1)余弦定理的内容 c2=b2+a2-2bacosC, b2=a2+c2-2accosB, a2=b2+c2-2bccosA.
4
(2)余弦定理的变形
的运用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-
cosC,tan(A+B)=- tanC, sin A B cos C ,cos A B sin C .
2
2
2
2
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【典例1】在△ABC中,若∠B=30°, AB 2 3, AC=2,求
△ABC的面积.
[解]解法一:根据正弦定理有 AB AC ,
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【典例3】在湖面上高h m处,测得天空中一朵云的仰角为α, 测得云在湖中之影的俯角为β.
试证云距湖面的高度为 h sin( ) m. sin( )
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[证明]如图,设湖面上高h m处为A,测得云C的仰角为α,测得 C在湖中之影D的俯角为β,CD与湖面交于M,过A的水平线 交CD于E.
走私船,则CD1=0 3
t海里,BD=10t海里,在△ABC中,
由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,
( 3 1 )2+22-2(
3 1 )·2·cos120°=6,
∴BC= 6 海里.
又∵ BC AC ,
sinA
∴sin∠ABC=
sinABACCgsinA
2gsin120o