大学物理第一章质点运动学PPT课件

船靠岸的速率为 船的加速度为
vv
u x
u u coθs
x2h2
advdvx
i
dt dt
a x d d v tx d d t(x 2 x h 2u ) u x 2 x h 2 2 h 2d d x t
u 2h2 x3
即
aaxiux2h32
i
(船的加速度方向沿x 轴负向)
例 路灯距地面高度h，身高为l 的人以速度v0 在路上匀速行走。 求 人影头部的移动速度。
解题思路 1.运动学的第一类问题，用微分法。 ①根据已知条件在选定的坐标系中写出运动方程。 ②用求导数的方法求出速度和加速度。 ③要注意描述质点运动的几个物理量的矢量表示方法，分
清|Δ r|与Δr，|Δ |与vΔv。
2.运动学的第二类问题，用积分法。
已知 aa(t) 或 aa(x) 或 aa(v)
解
adv34x
dt
v，t，x 均为变量，作恒等变换
advdvdxvdv dt dxdt dx
avdv34x dx
分离变量 两边积分 质点速度
v d v (3 4 x )d x
v
x
0vdv0(34x)dx
v6 x 4 x2m s-1
1v2 3x2x2 2
例 一石子从空中由静止下落。已知 ag ，Bv
加速度矢量 a与位矢 方r向相反，说明加速度恒指向椭圆中
心。
例 在离水面高为h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变 的速率u 收绳。
求 当船在离岸距离为x时的速度和加速度。
解 任意时刻船的位矢
r xih j
设船靠岸的速度为 v
v
dr
dx
i
dh
j
dt dt dt
dx dt
i
v
xi
uFra Baidu bibliotek
h r
解 (1) 求质点在任意时刻的速度
由 分离变量
adv 22t dt
d v (2 2 t)dt
v
t
两边积分 0dv0(22t)dt
质点在任意时刻的速度 v2tt2
t =1s 时的速度
v11ms1
(2)由质点的速度求运动方程
vdx2t t2 dt
分离变量
dx(2tt2)dt
v2tt2
两边积分
xdxt(2tt2)dt
qC C'
Dx
O
x
h
r
q x
y
任意时刻小船到岸边的距离x 都满足
x r2h2
v xd d x td d t r2h 2r2 rh 2d d r t
按题意 u 是dr人收绳的速率，因为绳长r 随时间在缩短，故 dt
dr 0 dt
则有
vxr2rh2u
x2h2u x
v
x2 h2 ui
x
（船速方向沿x 轴负向）
d v a d t
vv0dv
t adt
t0
d r v d t
r
r0 dr
tvdt
t0
注意：矢量积分在具体运算时要化为标量积分。
例 一质点作直线运动，已知其加速度
a22t(ms2)
初始条件为x0=0, v0=0
求 (1) 质点在第一秒末的速度;(2)运动方程；(3)质点在前三秒内 运动的路程。
§1.5 质点运动学的基本问题
主要内容：
1. 运动学第一类问题 2. 运动学第二类问题
1. 第一类问题
已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速 度和加速度。——微分法
rrt
v dr dt
a
dv dt
dd2tr2
只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、 速度和加速度。
从运动方程中消去时间参数t，还可得质点运动的轨迹方程。
0
0
质点的运动方程
x t2 1t3（m） 3
(3) 质点在前三秒内经历的路程
s3vdt32tt2dt
0
0
令 v =2t-t 2 =0 ，得 t =2
s2(2 t t2)d t3(t2 2 t)d t 8 m
0
2
3
例 一质点沿x轴作直线运动，已知其加速度 a34x(m s-2)
初始条件为x0 = 0, v0 = 0。 求 质点的速度。
例 已知一质点的运动方程为：r a c 2 π t o i b s s 2 π i t jn
式中a, b均为正常数。
求 质点的加速度。
证 本题属于运动学第一类问题: v d r 2 π a s2 iπ tn i 2 π b c2 o π t js d t a d v 4 π 2 a c2 o π ti s 4 π 2 b s2 i π t jn d t 4 π 2 ( a c2 π o t i b s s 2 π i t j ) n 4π2r
及初始条件用积分的方法求出速度和运动方程。
无阻力抛体运动 从地面上某点向空中抛出一物体，它在空中的运动称为
抛体运动。抛体运动是一种平面曲线运动。以抛出点为原点 ，取水平方向为x轴，竖直方向y轴。
任意时刻速度分量为
y
vxv0coqs
vyv0siqngt v0 y
积分可得运动方程
v v 0
g
θ
xv0co qts
抛体在任意时刻的运动方程
v drdt
r tvdt 0
y
1 g t 2
v 0t
2
0t(v0gt)dt
v0t
1 2
gt2
r
v0t
1gt2 2
o
x
抛体运动可以看作沿初速度方向的匀速直线运动和沿竖直 方向的自由落体运动的叠加 —— 归结为直线运动的叠加。
o
yv0siqnt1 2g2t
v0 x
x
消去t 得轨迹方程
yxtaqn2v02cgo2qsx2
由y =0得射程
xm
v02
sin g
2q
由υy=0有
tv0siqng
得射高
ym
v02 sin2 2g
q
➢ 讨论：抛射初速度大小v0一定的情况下，抛射角q = 45o 时， 射程最大，q = 90o 时，射高最大。
式中g为重力加速度，B为常量。
求 石子的速度和运动方程。
解 选向下为x轴正向
（1） advgBv dt
分离变量并两边积分
v
dv
t
dt
0 g-Bv 0
（2）由 v d求x 运动方程 dt
v g(1eBt) B
x
t
0 dx0vdt
x t g(1eBt)dt 0B
B gtBg2(1eBt)
➢ 讨论：石子下落速度随时间增长按指数规律变化，t →时, v→g/B(常量)，达到最大速度，称为收尾速度或终极速度。
解 设v为人影头部的移动速度
v dx2
h
dt
由几何关系 x2 x1 x2
lh
o
(hl)x2h1x
l x1
x2 x
两边求导 (hl)dx2 hdx1 dt dt v hv0 hl
d x1 dt
v0
2. 第二类问题
已知质点运动的速度或加速度，并附以初始条件（即t=0时，
质点的位置 r0 和速度v 0），求质点的运动方程。——积分法