抛物线中的直角三角形存在性问题

kPQ

y1 y2 x1 x2
二、（与坐标轴不垂直的）两直线垂直的斜率关系：
y1 k1x b1， y2 k2 x b2， 若y1 y1,则k1 k2 -1.
例1、（2009•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交
于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为
PN的斜率，然后可确定出直线PN的解析式，然后联立抛物线和PN所在 直线的解析式即可求出此时交点P的坐标．
②当PC是另外一条直角边时，求出PC的斜率，然后可确定出直线PC的 解析式，然后联立抛物线和PC所在直线的解析式即可求出此时交点P的 坐标．
解：（1）∵直线MC的函数表达式y=kx﹣3．
∴点C（0，﹣3）
∴cos∠BCO = ∵OC=3
OC 3 10 BC 10
=
∴BC= 10
则由勾股定理，得OB=1
∴点B（1，0）
∵点B（1，0），C（0，﹣3）在抛物线上
∴
y x
A
解得 ∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3．
（2）假设在抛物线上存在异于点C的点P，使以N，P，C为顶点 的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形。
不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
分析： （1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的 A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可 求得待定系数的值． （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点 横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得 到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的 最大值． （3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形， 需要分类讨论，分别求解.
c=﹣3，那么要求抛物线的解析式还缺少一个点的坐标，可根据OC=3，
以及∠BCO的余弦值在直角△BCO中运用勾股定理求出OB的长，也就
得出了B的坐标，进而可求出抛物线的解析式．
1 O1
（2）假设存在这样的点P，那么要分两种情况进行讨论： x ①当PN是另外一条直角边时，可先求出直线MC的函数解析式，再求出
中考压轴题分类专题 抛物线中的直角三角形
科目：初中数学
基本题型
已知线段AB，抛物线 y ax2 bx ca 0，点P在抛物线上（或坐标
轴上，或抛物线的对称轴上）,若 ABP 为直角三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论：
所需知识点
一、任意两点的斜率公式：
已知两点 P（x1, y1）, Q（x2 , y2）， 则直线PQ的斜率：
y=kx﹣3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO= ．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条
直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
分析：
y
（1）根据MC的函数式得出C点的坐标应该是（0，﹣3），即
y P2
P1 x
A
PC
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y
P2
P3 A
P1 x
例2、（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）
和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物
线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若