科学和工程计算的新方法_无网格方法

#专家视点#

科学和工程计算的新方法)))无网格方法

程玉民

(上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海200072)

当今科学活动可分为理论、实验和计算3种.随着计算科学和技术的迅速发展,计算将在科学研究和工程分析中发挥越来越重要的作用.特别是目前很多特大工程,如原子弹、导弹、大型舰船和飞机的设计制造等,除了少量实验之外几乎完全依赖于计算和分析.

利用计算机对科学和工程问题进行数值计算(包括大规模计算),目前主要基于数值方法,如有限差分法、有限元法和边界元法等.

有限元法采用单元上的插值函数描述单元特性,以变分原理或加权残数法作为推导依据,从而将整个区域的微分方程变换成与节点未知量有关的代数方程组,求解此代数方程组就可以得到离散模型的数值解.该方法已成为处理各种复杂工程问题的最为重要的数值方法.目前发展的很多大型软件,如AN S Y S,M SC N astran和A BAQU S等,为有限元法的工程应用提供很好的工具.

基于网格的有限元法等在处理大变形、动态裂纹扩展等问题时,网格有时会发生畸变,数值模拟过程中不可避免地要进行网格重构,这不仅需花费大量计算时间,计算效率大大降低,而且会导致计算精度受损.

为了克服传统数值方法对网格的依赖性,近十几年来,人们开始研究1种新的数值方法)))无网格方法.无网格方法试函数的构造建立在一系列离散的节点上,场点与节点之间的联系不再通过单元实现,从而摆脱网格或单元的约束,在处理一些有限元法难以适应的问题(如大变形和动态裂纹扩展等)时显现出明显的优势.

与基于网格的有限元法一样,无网格方法的实施同样包括3方面内容:试函数的构造、微分方程的离散和边界条件的施加.

无网格方法构造试函数的方法与基于网格的有限元法不同.在由试函数求得形函数后,无网格方法建立求解方程的方法与有限元法一样.

无网格方法与其他数值方法的区别在于形函数的构造.目前无网格方法中形成形函数的方法主要有:光滑粒子法(S m ooth Particle H ydrody m i csM eth-

od)、重构核粒子法(R eproduc i n g K ernel Parti c l e M ethod)、移动最小二乘法(M ov i ng Leas-t Square A pprox i m ati on)、单位分解法(Partiti on o fU nit y)和径向基函数法(R ad i a l Basis Function)等.

与有限元法不同,一般无网格方法构造的试函数为非线性逼近,不具有插值特性,因此在基于G alerki n离散方案的无网格方法中,本质边界条件的施加比有限元法困难,必须通过一定的方法引入边界条件.目前已提出多种处理边界条件的有效方法,如拉格朗日乘子法和罚函数法等.

目前发展的无网格方法有十几种,其主要区别在于使用不同的形函数或微分方程的等效形式,主要有光滑粒子法、重构核粒子法、多尺度重构核粒子法(M ult-i scale R eproduc i n g K erne l Particle M ethod)、扩散单元法(D iff use Ele-m entM ethod)、无单元G alerk i n方法(E le m en-t free G alerk i n M et hod)、H p-clouds 方法、无网格局部Petrov-G a l erk i n方法(M esh less Loca l Petrov-G alerki n M eth-od)、有限点法(F i n ite Po i n tM et hod)、小波粒子方法(W avelet ParticleM et hod)、径向基函数法、复变量无网格方法以及边界积分方程的无网格方法等.

无网格方法作为数值方法的重要发展,在科学和工程计算中扮演着越来越重要的角色.使用无网格方法处理问题时只需要节点信息,不需要对求解域进行网格划分,可极大简化前处理工作;而且在计算过程中能根据需要在某一区域增加或减少节点,便于进行自适应计算,同时也能提高局部区域的计算精度.一般无网格方法采用的形函数具有高阶连续性且形式灵活,在保证计算精度的同时可减小计算难度,力学分析时不必进行应力修匀等工作,并能很好地反映局部高梯度情况,对不可压缩材料进行计算时可以防止出现体积闭锁现象.无网格方法的基函数可选择性强,能够包含反映待求问题特性的函数,适合分析高梯度、奇异性等问题.与基于网格的方法相比,无网格方法更适于解决裂纹扩展、梯度材料、高速碰撞和爆破等瞬态动力问题以及金属冲压成型等大变形问题.

无网格方法目前已成为科学和工程计算方法研究的热点之一,也是科学和工程计算发展的趋势,但目前尚未有相关的大型软件问世,限制了无网格方法的工程应用.相信在近几年将会不断有无网格方法应用软件研制成功,使无网格方法成为继有限元法之后又一重要的工程仿真和分析方法.

作者简介:程玉民,教授,博士生导师.1992年毕业于西安交通大学工程力学系,获博士学位.1994年) 1996年在同济大学土木、水利博士后流动站进行博士后研究工作.1986年以来,一直从事计算力学及其应用软件的研究工作,发表论文90余篇.目前,在上海大学上海市应用数学和力学研究所工作,研究方向为无网格方法理论及应用.