第1节 直线与方程

第八篇平面解析几何(必修2、选修11)

第1节直线与方程

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.直线x+y+m=0(m∈k)的倾斜角为( C )

(A)30°(B)60°(C)150° (D)120°

解析:因为直线的斜率k=-,所以tan α=-.

又0≤α<180°,所以α=150°.故选C.

2.已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为( B )

(A)0或- (B)或-6

(C)-或 (D)0或

解析:依题意,得=.化简得8m2+44m-24=0,所以2m2+11m-6=0.所以m=或m=-6,故选B.

3.过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是( A )

(A)x=2 (B)y=1

(C)x=1 (D)y=2

解析:因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为π.

依题意,所求直线的倾斜角为-=,斜率不存在,所以所求的过点(2,1)的直线方程为x=2.故选A.

-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是

4.两条直线l

( A )

解析:把直线方程化为截距式l 1:+=1,l2:+=1.

假定l1,判断a,b,确定l2的位置,知A项符合.故选A.

5.不论m为何值时,直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点( D )

(A)(1,-) (B)(-2,0)

(C)(2,3) (D)(9,-4)

解析:直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5,化为(mx+2my-m)+(-x-y+5)=0,即直线l过x+2y-1=0与-x-y+5=0的交点,解方程组得故选D.

6.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为( C )

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

解析:因为直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),

所以a+b=ab,即+=1,

所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,

当且仅当a=b=2时上式等号成立.

所以直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.

7.若直线(m-1)x+3y+m=0与直线x+(m+1)y+2=0平行,则实数m=

.

解析:易知当m=-1时,两直线不平行.

当m≠-1时,由=≠,解得m=-2.

答案:-2

8.已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当

l1,l2间的距离最大时,则直线l1的方程是.

解析:当直线AB与l1,l2垂直时,l1,l2间的距离最大.因为A(1,1), B(0,-1),所以k AB==2,所以两平行直线的斜率为k=-,所以直线l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.

答案:x+2y-3=0

9.过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为

.

解析:(1)当直线过原点时,直线方程为y=-x.

(2)当直线不过原点时,设直线方程为+=1,即x-y=a,代入点(-3,5),得a=-8,即直线方程为x-y+8=0.

答案:y=-x或x-y+8=0

能力提升(时间:15分钟)

10.直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线的方程为( B )

(A)4x+3y-4=0 (B)4x+3y-12=0

(C)4x-3y-4=0 (D)4x-3y-12=0

解析:在所求直线上任取一点P(x,y),则点P关于点A对称的点P′

(x′,y′)必在直线l上.由得P′(2-x,2-y),所以4(2-x)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0.故选B.

11.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且AB线段的中点为P(0,),则线段AB的长为( B )

(A)11 (B)10 (C)9 (D)8

解析:依题意,a=2,P(0,5),设A(x,2x),B(-2y,y),故则

A(4,8),B(-4,2),

所以|AB|==10.故选B.

12.过两直线7x+5y-24=0与x-y=0的交点,且与点P(5,1)的距离为

的直线的方程为.

解析:设所求的直线方程为7x+5y-24+λ(x-y)=0,即(7+λ)x+(5-λ)y -24=0.

所以=,

解得λ=11.

故所求直线方程为3x-y-4=0.

答案:3x-y-4=0

13.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为.

解析:依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和

l2:x+y-5=0距离相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.

设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得

=⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离

公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.

答案:3

14.已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B 两点,O为坐标原点.求:

(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;

(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.

解:(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).

设直线l的方程为+=1,则+=1,

所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.

(2)设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则

A(1-,0),B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=(1-1+)2+12+12+(1-1+k)2

=2+k2+≥2+2=4,当且仅当k2=,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.