勾股定理的数学思想

勾股定理中的数学思想

《勾股定理》是欧氏几何中的瑰宝。在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。下面举例说明。

1. 整体思想

例1 如图1，已知Rt △ABC 的周长为62+，其中斜边2=AB ，求这个三角形的面积。

图1

分析：若要直接求出a 与b 的值，要用二次方程求解较繁。但由ab S 2

1=

联想到运用整体思想（将ab 视为一个整体），问题便可顺利获解。

解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得

2222=+b a 即42)(2=-+ab b a 又由已知得6=+b a 所以42)6(2=-ab

解得1=ab 所以2

121==ab S 2. 转换思想

例2 有一立方体礼盒如图2所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。

图2

（1）试确定壁虎所走的最短路线；

（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）

分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。

解：（1）若把礼盒的上底面A’B’C’D’竖立起来，如图3所示，使它与立方体的正面（ABB’A’）在同一平面内，然后连结AC’，根据“两点间线段最短”知，线段AC’就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。

图3

（2）由（1）得，△ABC’是直角三角形，且

40'20==BC AB ，。根据勾股定理，得

22''BC AB AC +=

)(7.4440202

2cm ≈+=

壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。

3. 分类思想

例3 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。试求BC 的长。 分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。

解：由于三角形的形状不确定，所以求BC 的长可以从以下两方面考虑：

（1）如图4，当BC 边上的高线在△ABC 内部时，由勾股定理，得

图4

912152222=-=-=AD AB BD

1612202222=-=-=AD AC CD

所以25169=+=+=CD BD BC

（2）如图5，当BC 边上的高线在△ABC 外部时，同理可得

图5

169==CD BD ，

此时7916=-=-=BD CD BC

综上所述，BC 的长为25或7。

4. 方程思想

例4 如图6，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。

图6

分析：在Rt △ABC 中，由勾股定理容易求出AC 的长，再根据三角形的面积关系构造方程，则问题便水到渠成。

解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得

681022222=-=-=BC AB AC

因为△ABC 的面积CD AB AC BC ⋅=⋅=2

121 即CD 102

16821⨯=⨯⨯ 所以8.4=CD

5. 数形结合思想

例5 某市气象台测得一热带风暴中心从A 城正西方向300km 处，以每小时26km 的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km 的范围内为受影响区域。试问A 城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。

分析：本题情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定挑战性。如何将实际问题转化为数学模型（数形结合）是解决问题的关键。

解：构造数学模型，如图7所示，设O 为风暴中心，OC 为风暴中心移动方向，AD ⊥OC 。

图7

在Rt △OAD 中，∠AOD=30°，OA=300km

所以AD=150km<200km

即A 城受到这次风暴的影响。

如图7，设AB=AC=200km

在Rt △ABD 中，应用勾股定理，得

)(7501502002222km AD AB BD =-=-=

所以，A 城遭受风暴影响的时间2.10267502≈⨯=

（小时）。