案例分析(三角形内角和定理)
课题：《三角形内角和定理》
一、教学目标
知识技能:
1、理解“三角形的内角和等于180°”.
2、运用三角形内角和结论解决问题.
数学思考：
1、通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理 性，发展合情推理能力和语言表达能力.
2、理解三角形内角和的计算、验证，其本质就是把三个内角集中在一起转化为一个平角，其方法可以用拼合的方法，也可以用引平行线的方法.
解决问题：
1、学会运用三角形内角和定理解决实际问题，如在航海测量、几何计算等方面的应用
2、通过介绍“三角形内角和定理及其证明”，让学生初步了解什么是几何证明，并感 受证明几何问题的基本结构和推导过程.
情感态度：
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展同学们的合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力.
二、教学重点难点
三角形内角和定理的证明及如何利用定理解决生活中的实际问题。
三、教学过程设计
（一）学生回忆，引出课题
问题1：复习平行线的性质
如图1（1），已知：直线上有一点A ，过点A 作射线AM 、AN ，
1、若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于多少度，为什么？
2、若在AM 上任取一点B ，过点B 作BC ∥DE 交AN 于点C 如图1（2），则：
（1）∠2等于多少度？为什么？
（2）∠3等于多少度？为什么？
（3）∠1+∠2+∠3等于多少度？为什么？
师生活动：
师：在第五章我们学习了相交线与平行线的相关知识，你还记得吗？请同学们完成以下练习，看看谁完成的又快又准。
生：1、∠1=80o,理由是: 平角的定义；
2、（1）∠2=30o, 理由是:两直线平行,内错角相等
（或利用两直线平行，同旁内角互补）
(2) ∠3=70o,理由是:两直线平行,内错角相等
（或利用两直线平行，同旁内角互补）
（3）∠1+∠2+∠3等于180度，三角形内角和等于180度；
（二）通过设疑，引出课题
N M 70?30?1
E D A 图1（1） N M 70?30?321E D C A B 图1（2）
问题2：三角形内角和是1800是真命题吗？如何证明？
师生活动：
师：对于任意一个三角形的三个内角的和等于180度.我们是在小学已经知道了这个结论,那时侯,大家是怎样知道的呢?
生：通过度量的方法,或者剪拼实验,能够验证一些具体的三角形的三个内角和都等于180o。 师：同学们说的有一定的道理，但是一个命题是否成立，不能只靠拼一拼，量一量，必须经过推理证明。为什么要证明它呢? 其理由如下:(1)形状各异的三角形有无数个,不可能用度量的方法一一验证所有的三角形；(2)测量是有误差的,可能出现这样的结果,有的同学量得某三角形的三个内角和大于180o,而有的同学量得某三角形的三个内角和小于180o,从而导致了不确定性。如何证明？今天我们要通过自主探究,学习怎样证明这个结论。
师：如何证明？我们应从“180度”入手，同学们已经学习或已经掌握的关于“180o”的性质，有哪些呢?
生：有以下几点：（1）一个平角等于180o；（2）互补的两个角（或邻补角）的和等于180o；
（3）两直线平行,同旁内角互补,这两个角的和等于180o；（4）两个直角的和等于180o. 师：下面请同学们自主探索该定理的证明方法。
（三）探索三角形内角和定理证明的方法：
问题3：证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180o；
做一做：
1、在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码
2、让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD ∠的度数，可得到
180=∠+∠+∠ACB B A
3 剪下A ∠，按图（2）拼在一起，从而还可得到
180=∠+∠+∠ACB B A
图2
4 把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量MAN ∠的度数，会得到什么结果。
想一想：
如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？
已知ABC ?，说明
180=∠+∠+∠C B A ，你有几种方法？
设计意图：教师指导学生从不同角度思考,添加辅助线,解决证明疑难. 作辅助线时，要遵循能够利用前面所学的有关性质、定理进行后续推理的原则.
师生活动:
学生自主探索，教师一边巡视，一边指导学习有困难的学生，根据学生完成的情况，大约给学生5至10分钟的时间探索，然后由学生展示自己的探索结果，教师补充。
生1：学生给出证法一(课本证法，利用平角180o):
过点A 作直线同m ∥BC,如图3
∵ m ∥BC, ∴ ∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等) ∵ ∠1,∠3,∠2组成平角,
∴ ∠1+∠3+∠2=180o (平角定义)
∴ ∠B+∠3+∠C=180o (等量代换)
师：这里可以看出，证明就是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.
生2：学生补充给出证法二: （利用平角180o):
如图5,延长BC 到点D,过点C 作CE ∥AB
∵ CE ∥AB (作图)
∴ ∠2=∠A, (两直线平行,内错角相等)
∠1=∠B. (两直线平行,同位角相等)
又根据平角定义,
∴ ∠1+∠2+∠3=180o
∴ ∠A+∠B+∠3=180o(等量代换)
师：刚才同学们采用移动两个角使得三角形的三个内角化为成一个平角的方法来证明，请问还有哪一位同学的方法与刚才的方法不相同？能否只移动一个角？
教师引导学生设计如下证法：（利用两直线平行,同旁内角互补） 过顶点C 作CD ∥BA （如图6），则∠1＝∠A （两直线平行，内错角相等）．
∵CD ∥BA
∴∠1+∠ACB+∠B ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠ACB+∠B ＝180°。
图3 3m 21A B C 1D A B C
图6 图5 321E D A B C A B C
北北E C B F D
A （四）例题分析，加深理解
问题4：如图，C 岛在A 岛的北偏东50度方向，B 岛 在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西40度 方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？ 师生活动：
师：本题要求的是什么？
生：从C 岛在A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？
师：要求∠ACB 的度数，最好已知哪些条件？
生：若已知∠CAB 和∠ABC 的度数就可以利用三角形内角和定理求得。
师：请问问题中给出了∠CAB 和∠ABC 的度数吗？
生：没有。
师：你是否有什么方法求得？题中所给的条件有什么样用？
生：利用所给的条件可以求出∠CAB 和∠ABC 的度数，那么可以求出∠ACB 的度数。
师：此题是利用三角形内角和定理求解，说明今后我们在解类似的的问题时，可以考虑先求出两个角，然后用三角形内角和定理解决问题。
说明；学生独立完成，教师巡视，及时帮助学习困难的学生，学生完成后，展示个别学生的答案。
证法一：(课本解法):
∠CAB=∠BAD-∠CAD=80o-50o=30o
∵ AD ∥BE,
∴ ∠BAD+∠ABE=180o
∴ ∠ABE=180o-∠BAD=180o-80o=100o
∠ABC=∠ABE-∠CBE=100o-40o=60o
在ΔABC 中, ∠ACB=180o-∠CAB-∠ABC=180o-30o-60o=90o . 答: 从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是90o. 证法二：师生共同讨论,给出解法二: 过点C 作CF ∥BE,
∵ AD ∥BE(已知), CF ∥BE (辅助线作法)
∴ AD ∥CF (如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)
∴ ∠ACF=∠CAD=50o, ∠BCF=∠CBE=40o (两直线平行,内错角相等)
∴ ∠ACB=∠ACF+∠BCF=∠CAD+∠CBE=50o+40o =90o.
（五）总结概括，自我评价
今天我们学习什么内容？你有什么收获？让我们分享吧！
师生活动：
师：今天我们学习什么内容？你有什么收获？
学生1：三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于1800
学生2：通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且证明方法不止一种。 学生3：探索到一个数学规律，最终还须证明；并且学会怎样有条理的表达了。
师：说的好！“证明”是确认数学规律的唯一方法。
学生4：三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角；
学生5：三角形内角和的定理证明方法的实质是一种数学“化归”思想的运用。即将三角形三个内角的和等于1800转化为：(1)平角等于1800；(2)两直线平行同旁内角和等于1800； 师：说的好！这是我们数学研究问题思维方法。为了证明上的需要，在原来图形上添加的线叫辅助线，辅助线通常画成虚线。
（六）、课外作业 课本74页1、2题
E D
北北B A C 图8
四、教学反思
—、重视教材,用心领会教材隐含的数学思想。通过添加辅助线证题，增强学生的观察、猜想和和定理证明的能力，感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和表达问题的能力，通过渗透＂化归＂的数学思想，引导学生通过类比、联想、推广、特殊化等思维活动，培养学生解决数学问题的基本方法。
二、教材中本节课的内容之所以称之为核心内容，关键是它的地位举足轻重，教材在这里设置“三角形的内角和定理”的证明及相关内容的简单应用，其目是，起到了一个承上启下的作用，它这所以放在相交线与平行线之后，是因为学习了相交线与平行线后有了证明三角形内角和等于180度的工具，相交线与平行线的相关定理作为重要的推理依据，同时，它放在三角形全等之前，为三角形全等的推理证明提供了证明的依据。
由于小学学生已知三角形内角和等于180度，学会用折叠的方式验证，但小学没有上升到严格的证明，所以通过本课学习要求学生初步学会证明，通过“回顾结论、辨析发展、推理论证”进行研究三角形内角和定理。教材在作平行线时用同一个图形两种不同的处理方式，过一个顶点作一边的平行线，但实际上添加辅助线的方法有许多，通过添加辅助线证题，增强学生的观察、猜想和和定理证明的能力，感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和表达问题的能力，通过渗透＂化归＂的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法。通过师生的共同探究活动，培养学生的概括、总结能力，激发学生探索问题的兴趣，并且能运用三角形内角和定理解决实际问题。
三、突出重点，感受证明过程。由于七年级学生第一次接触几何证明，要求不能太高，要求学生基本学会定理的证明，在今后的学习中不断的提高要求。由于学生已经知道“三角形内角和等于180o”这一结论,教学围绕“180o”来做文章，而学生已经学习或已经掌握的关于“180o”的性质或定理只有如下几点：（1）一个平角等于180o;（2）互补的两个角（或邻补角）的和等于180o;（3）两直线平行,同旁内角互补,这两个角的和等于180o; （4）两个直角的和等于180o。因此，从这里入手，引导学生去探索定理的证明思路，比较自然、恰当而且科学.
在证明部分展示了学生不同的证明方法，对证明过程在黑板给出详细的板书，有助于规范学生的证明书写格式。通过“三角形内角和定理”这个学生熟悉的定理，向学生展示一个完整的证明过程。重在这个“证明过程”，而不在这个定理的内容。虽然并不要求学生马上就学会写这种“证明”，但一开始先给学生一个规范的印象是有必要的。