画法几何之曲线曲面

曲线 曲面
1
曲线的形成及投影
学习内容：
学
➢ 曲线的形成
习 内
➢ 曲线的投影
容
及
➢ 四心扁圆法
学
习 学习重点：
重
点
➢ 曲线的投影
➢ 四心扁圆法
一、曲线的形成
曲线可以看做是点运动的轨迹。
平面曲线：点在一个平面内运动所形成 的曲线叫做平面曲线，如圆、椭圆、双 曲线和抛物线等；
空间曲线：点不在一个平面内运动所形成 的曲线叫做空间曲线，如圆柱螺旋线。
所作圆周的正面投影
2.再过o作铅垂联系线，并截取 oa=ob=D/2，得长轴ab；
3.过o作水平线与过c’和d’向下引 的铅垂联系线相交，得短轴cd；
4.最后用“四心扁圆法”作椭圆， 即为所求圆周的水平投影
D/2 d’ PV
a’(o’、b’)
c’
b
c
o
d
D/2
a
三、四心扁圆法
若已知椭圆的长、短轴的端点，可运用“四 心扁圆法”近似地作出椭圆。作图步骤如下：
（4）球面取点（纬圆法）
（m） m
m
因为M点位在后半球面上，所以它的正面投影m
不可见。
(b′)
(a′) n′
(c′) m″
b″
a″
n″
(c″) m″
c ab
(m) n
四、环
轴线
（1） 环的形成
环的表面可以是一个圆绕着与
圆共面的，但位在此圆外的一条直 线旋转而成。
（2） 环的三面投影图
母线
(4″) (3″)
2″ 1″
在圆柱 体表面 的线和 点，可 利用圆 柱面的 积聚性 求解。
二、圆锥
（1） 圆锥体的组成
两条相交直线，以一条为母线另 一条为轴线回转，即得圆锥面。
由圆锥面和底面组成的回转体就 是圆锥体。
（2） 圆锥的三面投影图
水平投影是一个圆（即圆锥 底圆的水平投影），圆心即轴和锥 顶的水平投影，半径等于底圆的半 径；正面和侧面投影是相同的等腰 三角形，此等腰三角形的高等于圆 锥的高，底等于圆锥底圆的直径。
分析：
所给平面P垂直于V面， 对H面倾斜成α角，所 以P面内的圆，在V面上
的投影积聚成一直线并
重合在Pv上，长度等于 D；在H面上投影变形成
为椭圆。此椭圆的长轴
是圆内一条垂直于V面
的直径的投影，长度等
于直径D；短轴是圆内 一条平行于V面的直径
的投影，长度等于直径
Dcos α。
作图步骤
1.过o’在Pv上截取o’ c’=o’d’=D/2，得c’d’，即为
由圆柱面和上、下底面围成的立 体，就是圆柱体。
（2） 圆柱的三面投影图
水平投影为一个圆。圆的半 径等于圆柱的半径，圆心即为轴线 的水平投影；正面和侧面投影均为 相等的长方形，长方形的高等于圆 柱的高，宽等于圆柱的直径。
O A
A1 O1
圆柱体表面上的线和点
(a′) 4′
3′
1′ 2′
a 4
12 3
a″
水平投影是最大纬圆（即赤道 圆的投影），赤道圆把球体分 成上下两半（上一半可见，下 一半不可见）； 正面投影是平行于V面的素线的 投影，此素线把球体分成前、后 两半(前一半可见，后一半不可 见；
侧面投影是平行于W面的素 线的投影，此素线把球体分 成左、右两半(左一半可见， 右 这一三半个不圆可的见其)。他 投 影 均 都 积 聚成直线，重合在相应的中 心线上。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
曲面的形成和分类
规则曲面可看成是母线在一定约束条件下运动后的轨 迹。母线运动到任何一位置称为素线，母线可以是直线 段，也可以是曲线段；曲面的分类：
按母线是直线还是曲线，曲面可分为：直纹面和曲线面； 按母线的运动方式，曲面可分为：回转面和非回转面； 按曲面的可展性，曲面可分为：可展曲面和不可展曲面；
3、当＝45°截交线椭圆的长轴投影后，与短 轴相等，椭圆的投影成为圆；
完成圆柱体截切后的侧面投影。
完成圆柱体截切后的侧面投影。
完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。
2、圆锥体的截交线
依据截平面与圆锥体轴线的Hale Waihona Puke Baidu对位置不同，截交线 的形状有以下五种：
完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
2、投影分析
分析截平面与投影面的 相对位置。
——截交线的正面投影落 在水平截平面和侧平截平 面的积聚性投影上；
——截交线的侧面投影落 在圆柱面和水平截平面的 积聚性投影上；
3、投影作图
4、整理轮廓素线
作出圆柱体被截切后的水平投影。
b′
b〞
c′d′
d〞
a′
a〞
d
a
b
c
1、空间分析
分析截平面与圆 柱体轴线的相对位 c〞 置，确定截交线的 形状——椭圆。
学习内容：
学
➢ 平面和圆锥的相交形式及截交线画法
习
内
➢ 平面和圆柱的相交形式及截交线画法
容
及 学
➢ 平面和球的相交形式及截交线画法
习 重
学习重点：
点
➢ 平面和曲面立体相交截交线的画法
➢ 辅助平面法
平面和曲面立体相 交，所得截交线在一般情 况下是平面曲线。圆锥面 截交线上的任意一个点 (如图中的A点)，既可以 看做是曲面的某一条素线 （如直线SM）与截平面P 的交点， 又可以看做是 曲面的其一个纬圆（如圆 周L）与截平面P的交点。
水平投影轮廓线由赤道圆和喉
圆的水平投影组成；
正面投影的左、右是两个小圆
（反映母圆的实形，有半个是看不
见的， 画成虚线），两个小圆的两
条公切线分别是环面最上和最下两
个纬圆的正面投影。
（3）环面取点（纬圆法）
m′
m
(a′)
(a″)
a
五、单叶回转双曲面
（1） 单叶回转双曲面的形成
（a）以双曲线为母线，绕其虚轴旋转而成。 （b）以两交错直线中的一条为母线，另一条为 轴线旋转而成。
圆柱、圆锥、球和环是工程上最常 用的最简单的曲面立体，由于包围这种 立体的曲面都属于回转曲面，所以又统 称回转体。
基本回转体
回转体的投影画法：
曲面立体同平面立体的区别在于 它有曲面。因此，画曲面立体的投影 在于画出曲面的外形轮廓线的投影。
一、圆柱
（1） 圆柱体的组成
两条平行线，以一条为母线另一 条为轴线回转，即得圆柱面。
回转曲面
图示的回转曲面，其母 线是一段圆弧曲线。当母线 绕轴旋转时，母线的每一个 位置都叫素线；母线上每一 个点都画出一个垂直于轴并 且中心在此轴上圆，这种圆 叫做纬圆。回转曲面实际上 是由一系列素线或一系列纬 圆组成。
回转曲面
回转曲面有如下两条特性： （1）经过轴的平面必和曲 面相交于以轴为对称的两 条素线； （2）垂直轴的平面必和曲 面相交于一个纬圆。
(1)投影特点：
水平投影：在H面上的投影是三 个圆，其中：最大的一个圆（赤 道圆)的投影；最小的一个圆是最 小纬圆 (喉圆)的投影；中间一个 圆是曲面的上底圆的投影。
正面投影：曲面的正面外形轮廓 线N是位于过轴线的正平面上的 两条素线，它们投影在V面上不 变形，成为曲面正面投影的轮廓 线n’。正面投影上垂直于轴线的 直线是曲面上底圆的投影。
回转体截交线的求解方法与步骤
1、空间分析 分析回转体的几何形状，以及截平面与回转体轴线的
相对位置，确定回转体截交线的形状。 2、投影分析 分析截平面、回转体表面与投影面的相对位置，确定
截交线的投影特性。 3、投影作图 若截交线为非圆曲线或非直线段时，运用回转体表面
取点取线方法，先作出截交线上的特殊点，在需要的地方 补充一般点，然后用光滑曲线连接各点。
曲面立体的投影
学习内容：
➢ 曲面立体的形成（圆柱、圆锥、球、环、单
学 习
叶回转双曲面）
内 容
➢ 曲面立体的投影（圆柱、圆锥、球、环、单
及
叶回转双曲面）
学
习 重
学习重点：
点
➢ 曲面立体的投影
➢ 曲面立体表面取点方法（素线法、纬圆法）
曲面立体的投影
由曲面包围或者由曲面和平面包围 而成的立体，叫做曲面立体。
2.空间曲线的投影 在任何情况下都不会有直线，而
是曲线，不能反映实际形状。
Ⅲ
Ⅳ
B
ⅤⅡ
3 4
H
5
Ⅰ A 2
1
ba
绘制曲线的投影，一般是先画出曲 线上一系列点的投影，特别是首先画出 控制曲线形状和范围的特殊点的投影， 然后把这些点的投影光滑连接起来。
[例题]：求作一个位于正垂面P上的圆周的投影， 已知圆心O的投影及直径D的长度。
OA
A1 O1
（3）轮廓线素线的投影
正面投影的轮廓素线是圆锥最左、
m
m
最右的两条轮廓素线的投影；
侧面投影的轮廓素线是最前、最后 的两条轮廓素线的投影。
（4） 圆锥面上取点
★纬圆法
m
纬圆半径如何取？
a′
a″
a
（4） 圆锥面上取点
★素线法 过锥顶作一条素线。
n
n
n
a′
a″
a
圆锥体表面上的线和点
2、投影分析 截交线的正面投
影和侧面投影分别 落在截平面和圆柱 面的积聚性投影上， 要求的是截交线水 平投影。
3、投影作图
4、整理轮廓线
【例题3】 分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性
＜45°
＞45°
＝45°
1、当＜45°截交线椭圆的长轴投影后， 仍为投影椭圆的长轴；
2、当＞45°截交线椭圆的长轴投影后， 成为投影椭圆的短轴；
截交线为椭圆，截交 线的正面投影落在截平 面的积聚性投影上，要 作出椭圆的水平投影和 侧面投影。
2、投影作图
运用锥面取点方法 作出椭圆长短轴端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。
3、整理轮廓线
完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
实际作图时，为了能够根据少量的点，达到 比较精确的作图，首先需要求出控制截交线形状 的那些特殊点。
㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转 体表面的公有线。截交线上 的点为截平面与回转体表面 的公有点。
2、截交线的形状通常为平 面曲线，特殊情况下可含有 直线段组成。截交线的形状 取决于回转体表面性质和截 平面与回转体的相对位置。
4、整理回转体轮廓线 检查回转体被截切后的轮廓素线。
1、圆柱体的截交线
依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线 的形状有以下三种：
圆
矩形
椭圆
完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
1′3′
2′4′
3〞4〞
1〞2〞
3
4
1
2
1、空间分析
分析截平面与立体的相对位置 ——水平面截切，截交线为矩形； ——侧平面截切为圆弧。
b′ a′
1″ 2′ 3′
c′
a c 321
b
(a″)
(b″)
1″ 2″
3″
c″
三、球
（1） 球的形成
球的表面可以看作是一个围 绕着圆本身的一条直径旋转而成的 回转表面。
（2） 球的三面投影图
球的三面投影的轮廓线均为 同样大小的圆。
注意：球的三面投影的圆不 是球面上同一个圆的投影。
（3）轮廓线素线的投影（转向轮廓线）与曲面的可见性的判 断
二、曲线的投影
1.平面曲线的投影 与平面曲线对投影面的相对位置有关。
图示中平面内的的一个圆，由于它所在的 平面与投影面的位置不同，其投影也不同。
（1） 圆所在的平面平行于投影面，则圆 的投影反映实形（成为同样大小的圆）。
（2） 圆所在的平面倾斜于投影面，则 圆的投影不反映实形（变为椭圆）。
（3） 圆所在的平面垂直于投影面，则 圆的投影积聚成一直线（其长度等于直 径）。
(2)注意：
曲面某一投影方向的轮廓线，对另 外的投影方向就不处于轮 廓线的位 置，所以它在另外投影面上的投影 不应画出来。如图，正面轮廓线在 水平投影中就不画出。
轴线
规定：回转曲面的轴线的正面 (或侧面)投影用点划线画出； 轴线的水平投影是一个点，即 回转曲面水平投影——圆的中 心，为确定这个中心，需作 “十”字相交的两条点划线(叫 做中心线)。
回转面和回转体 母线绕一直线旋转一周所形成的曲面，称为回转曲面。 由回转曲面或回转曲面和平面共同所围成的立体，称为 回转体。
为在投影图上确定一曲面，需给出确 定此曲面的各要素的投影。还必须画出曲 面各外形轮廓线的投影。
曲线的外形轮廓线： 是该曲面在某一个投影方向上的最大范
围线。不同投影方向，就有不同的外形轮廓 线。它们在相应投影面上的投影，就是该曲 面的各投影轮廓线；并且曲面的外形轮廓线 还是曲面可见部分和不可见部分的分界线。
（a）
（b）
（2） 单叶回转双曲面的投影特点
以双曲线为母线绕其虚轴旋转而 成的回转面。
水平投影是两个同心圆，最小 的圆即为喉圆的水平投影； 正面投影是一条双曲线，它反 映母线的实形。
（2） 单叶回转双曲面的投影特点
以两交错直线中的一条为母线， 另一条为轴线旋转而成回转曲面。
平面和曲面立体相交
平面和平面立体相交，实质是求截交线。求 作曲面立体截交线的问题本质如同曲面上定点， 可采用纬圆法和素线法。
当截平面为投影面的垂直面时，可以利用截平 面的积聚性来求交点；当截平面为一段位置平面时， 则需要过所选择的素线或纬圆作辅助平面来求交点。 用素线法或纬圆法求出这些交点以后，再把它们依 次光滑地连接起来，就得到所求的截交线。