高等量子力学知识总结

高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号：２２０１２０９２２０６１
第一章 希尔伯特空间
1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。

例：θ+ψ=ψ+θ；
ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元）
（ψa ）b=ψ（ab ）
ψ（a+b ）=ψa+ψb
（ψ，θ）=（θ，ψ）*
（ψ，θa ）=（ψ，θ）a
矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ；
2、正交矢量：（ψ，θ）=0； 模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）；
schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|；
三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|；
3、基矢
n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集； 对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ）
右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>；
（|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a
<ψ|θ>≥0；
4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>；
线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是 小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>；
算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1
|θ>=|ψ>；<θ|=<A ψ|=<ψ|A+（A+为A 的伴算符）；
若A 有逆，则（A+）-1 =(A -1)+；
5、等距算符：定义：U+U=I ；性质：U+U=I ；
<U θ|U ψ>=<θ|ψ> ；
|U ψ|=|ψ|；
6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）；
7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算 符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证 矢量正交；完全性；正交性；
定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；
定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集；
8、表象理论：
基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>；
相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ；
任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵；
L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1
K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1
|να>= ∑|εi>Ui α
|εi>= ∑|να>U αi
-1 Ψα = ∑U αi -1ψi
Ψi = ∑Ui α ψα
A αβ=∑∑U αi -1AijUj β
Aij=∑∑Ui αA αβU βj -1
第二章 量子力学基本原理
1、基本原理：
原理1：描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.
原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符.2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态|ψ>中取各值ai 的概率，与态矢量|ψ>安A 的归一化本证矢量 {|ai>}的展开式|ai>的系数复平方成正比.
原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi （i=1.2.3）与相应正则动量有下 列对易关系:
[Xi,Xj]=0 [Pi,Pj]=0
[Xi,Pj]=i(h/2π)ζij
而不同粒子间的所有算符均相互对易.
原理4.微观状态|ψ(t)>随时间变化的规律是薛定谔方程.
原理5.描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的，或是反对称的， 服从前者的粒子是波色子，服从后者的粒子是费米子.
2、哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.
|ψ(t)>=|ψ>f(t).
H|ψi>=Ei|ψi>
定态薛定谔方程能量值确定.态矢量为：|ψi(t)>=|i>exp （-iEit/h ）.
含时间的H 对应薛定谔方程的解为：
|ψ(t)>=∑|i> Ci exp （-iEit/h ）.
为各定态矢量的叠加 .
若已知初态|ψ0>=∑|i> Ci
则 |ψ(t)>=∑|i><i|ψ0>exp （-iE0t/h ）.
第三章 量子力学的基本概念和方法
1、一个电子具有自旋角动量S ，s 沿着空间中某一固定方向，只有两个可能的投影值：Sz=+ /2 或Sz=- /2；
电子磁矩：u=-g （e/2mc ）s
电子在外磁场中B 中又相互作用能量：H=-u*B
2、自旋的矩阵表示：
Sz=+ /2 -> α=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡01 Sz=- /2 -> β=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡10 电子的自旋态：|ψ(t)>
|ψ(t)>=C1(t)α+C2(t)β
<ψ(t)|=C1*(t)α-1+C2*(t)β-1
电子的自旋态只能有两个（朝上或朝下）.
3、相继stern-Gerlach 实验说明：一般的说，测量必定要改变微观客体状态，当加第二个装置 Gx 测量Sx 时，原来关于Sz 的信息消失，一个电子的自旋要么按Sx 分解，要么按Sz 分解，电
子不能同时具有Sz 和Sx.
4、pauli 矩阵
算符ζx 和ζy 之间不对易，S=（ /2）ζ
ζx = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ζy = ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-00i i ζz = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 对易关系：ζ*ζ=ζ 或 S*S=S Sz=mz
极化矢量：<ζ>=P=<ψ(t)|ζ|ψ(t)>
P^2=Px^2+Py^2+Pz^2=1；
<ζp >=Px<ζx>+Py<ζy>+Pz<ζz>；
P 标志了自旋S 的指向；
电子自旋的量子本质表现与P 矢量始终存在着起伏，用均方偏差度量：
<(Δζj )^2> = <(ζj-ζi )^2> = 1-<ζj >^2
5、分离谱：A|α> =a|α>； <α|α’>=δαα’; ∑|α><α|=1;
连续谱：ξ|ξ’>=ξ’|ξ’> ； <ξ|ξ’> = δ（ξ’-ξ’’）； ⎰d ξ’|ξ’><ξ’| = 1；
6、sxhrodinger 图景：态矢 |ψ(t)>含t ，基矢|x>不含t ；
Heisenberg 图景：态矢 |ψ(t)>不含t ，基矢|x>含t ；
一般：H=p^2/2m+V;
<x|V|x ’> = V （x ）<x|x ’> = V(x)δ（x-x ’）；
<x|p^2/2m|x ’> = ⎰dp<x|p>(p^2/2m)<p|x ’>
态矢：跟表象无关，跟图景有关；
包函数：与表象有关，与图景无关（此为态矢在基矢上的投影）；
7、基态|0>：基态波函数：ψ0（x ） = <x|0>；
第一激发态|1> = a+|0>: ψ1（x ） = <x ’|1>；
第n 激发态： ψn （x ） = <x ’|n>；
8、<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ 1/4|<[A,B]>|^2 ;
对于任意的态矢：|α>=ΔA|>
|β>=ΔB|>；
<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ |（ΔA ，ΔB ）|^2；
9、谐振子不确定关系：基态：<(Δx^2)><(Δp^2)> = ^2/4；
激发态： <(Δx^2)><(Δp^2)> =（n+1/2）^2 ^2;
10、相干态：也是谐振子的量子态与经典粒子运动最为接近.
相干态不是N 的本正态，但有确定的粒子数；
不同本证值的相干态一般不正交；
虽不正交，但有完备性；
全部的相干态，过完备性；
11、压缩态：算符：S(r)为幺正算符；
在正则变换下：保持了对易关系：[b,b+]=[a,a+]=1;
真空态：|0,r>= S(r)|0>；
一般压缩态：|z,r>= D （z ）S （r ）|0>；
12、经典力学到量子力学：薛定谔表述形成（波动力学），重视描述粒子的波粒二象性运动的波
函数，服从薛定谔方程；
heisenberg 矩阵力学，重视可观测量，算符；
dirac 和feyman 路径积分，着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视传播函数 或传播子的作用.
基本思想：一个粒子在某一时刻的运动情况决定于他们的过去或一切历史；
在复z 平面上，半经为1/2的圆，面积为1*pi/4，相干态；在复z 平面上的椭圆，面积1*pi/4 测量精度在I 上提高了，在另一个方向降低了，压缩态；
第四章 对称性和角动量
1、力学量成算符：{A,B}--->1/i [A,B]；
[F ，H]--->F 为守恒量；
F 的一个守恒性必与体系的不可观测量的对称性变换直接联系；定态间的跃迁定则；分离对 称性；每个定态波函数必有严格的对称性；无限自由度的量子场论：H 中某一连续对称性在 真空有破坏，真空存在简并，但实际上对称也存在，表现为一个无质量的标量粒子； 2、F （r ，p ）的平均值:<F> = <ψ(r)|F |ψ(r)>;
3、态的无限小转动：自旋为零：|ψ’(r)> = |ψ(R -1r)>
=ψ(x+y δθ,y-x δθ,z )
R(n,δθ) = 1-i δθ*L*n/ ; L 是标量场无穷小生成元；
自旋为1/2的粒子波函数：波函数为二分量的旋量：
1/2)(x (x1/2)(r)(r)(r)-ϕ+ϕ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ϕϕ=φ2121； Φ’(r)=(1-i δθ( /2ζz+Lz ))Φ(r)/
转动算符：(1-i δθ( /2ζz+Lz ))/ ；
任意轴：R （n ，δθ）= 1-（i δθ/ ）n （（ /2）δ+I ）；
粒子的总角动量：J= /2δ+L ，J 是旋量场的无限小生成元；
4、角动量算符的一般性质：j^2=jx^2+jy^2+jz^2;
[j^2,ji] = 0;[jz,j]=i j;
[j+,j-] = 2 jz;
5、标量算符：F=RFR -1 -- 转动不变；
6、若态|ψ>在Rz 的作用下不变，则Rz|ψ> = exp （-i δ）|ψ>；
假定体系在变换Q 下具有对称性，|ψ>=Q|ψ>，则保持几率不变，运动规律不变； 总之：量子力学中一个不可观测量的对称性变换往往联系于一个可观测量的守恒性；
7、将体系沿x 轴平移一无限小距离，体系具有平移不变性：
[Px （ε），H] = 0；
ψ’(x) = Dx （ε）ψ(x)=ψ(x-ε)；
体系沿时间平移一无限小量η：
|ψ’(t)> = D （η）|ψ(x)>=|ψ(t+η)>；
ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt);
8、本证态：ψ（-x ） = ψ（x ） 偶宇称态
ψ（-x ） = -ψ（x ） 奇宇称态
宇称本征值：pi=（-1）l
变换方式：主动式：坐标系不动，算符动；被动式，算符不动，坐标系反向；
P*X ---> 标量
P*S ---> 赝标量
9、支配运动的H 在空间反演中是标量，可能含有的项是：P^2，L*S,P*X ；
不可有的项：P*S(赝标量);
宇称守恒在强相互作用下，电磁相互作用中有充分的实验支持；则在弱相互作用下有赝标量
项，宇称不再守恒；
原子核自旋S 在低温下沿外磁场固定方向排列，测量这种“极化核”β衰变时放出电子对S 方向存在一定角分布；
10、实算符，时间反演不变：
THT -1=T -1 TXT -1=X ；
虚算符：
TPT -1= - P TJT -1= - J ；
第五章 量子力学中的相位
1、经典物理中：H ，A, θ(四维矢量),代替E,B （二阶反对称张量）；
量子物理中：A, θ,代替E,B 为本质上的需求；
规范变换： A ’=A + ▽Λ（x ）；
若要要求薛定谔方程在此变换下不变，否则物理规律就变了，就要求波函数做相应变化： Ψ’（x ）= Ψ（x ）exp[Λ（x ）iq/ c ]；
薛定谔方程在定域规范变化下的不变性，是一种对称性，根据波函数的几率解释，这一变换 不影响可观测量；
2、A--B 效应--->A 比B 更基本；因为表达了量子力学的相位差；确切的说不是相位， 而是相位因子： )dx A c
ie (⎰-μμ exp ； 才为描述电磁场最恰当的量，在物理上既不丢失信息，也不会附加非物理（不确定）信息， 称此因子为规范场的不可积相位因子. 在磁场中：总的波函数：)'x )d 'x (A exp(
)'x ()'x (c ie (0)1→→→→→⎰+ϕ=ϕ ，相位差改变了φc e ， 称：φ=c
e AB S （AB 相）； 在电场中：总的波函数：t)(x,)dt't)),x (A -)t x,(A (c
ic -exp(t),x (t),x ((0)20102(0)
1ϕ⎰+ϕ=ϕ→→→→ ， φ=c
e AB S --- 规范不变 AB 相不依赖于速度等力学量，属于几何相，也是拓扑相；
3、在超导体圆柱磁通量是量子化的，且磁通量的值为
e 2c ，后来，N.Byers 和杨指出这是超导 体内形成copper 对的结果；copper 对波函数是单值的，有： n 2s d s ⋅π=⋅∇⎰→Γ，即相角沿Γ走一圈回到原处，值只能变化n 2π.
4、Berry 相：量子力学的量可分为两类：随时间变化的快变量；随时间变化的慢变量； 方法：现将慢变量固定，解决快变量，然后让慢变量变化，得到正确的解； e )(i (t)t 0n (t)R n,|))dt'(t'i -(ν→>⎰ε=ϕ
exp t 其中,e i (t)ν为Berry 相因子；。