高等量子力学知识总结

高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号：２２０１２０９２２０６１

第一章 希尔伯特空间

1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。

例：θ+ψ=ψ+θ；

ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元）

（ψa ）b=ψ（ab ）

ψ（a+b ）=ψa+ψb

（ψ，θ）=（θ，ψ）*

（ψ，θa ）=（ψ，θ）a

矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ；

2、正交矢量：（ψ，θ）=0； 模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）；

schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|；

三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|；

3、基矢

n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集； 对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ）

右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>；

（|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a

<ψ|θ>≥0；

4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>；

线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是 小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>；

算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1

|θ>=|ψ>；<θ|=<A ψ|=<ψ|A+（A+为A 的伴算符）；

若A 有逆，则（A+）-1 =(A -1)+；

5、等距算符：定义：U+U=I ；性质：U+U=I ；

<U θ|U ψ>=<θ|ψ> ；

|U ψ|=|ψ|；

6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）；

7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算 符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证 矢量正交；完全性；正交性；

定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；

定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集；

8、表象理论：

基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>；

相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ；

任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵；

L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1

K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1

|να>= ∑|εi>Ui α

|εi>= ∑|να>U αi

-1 Ψα = ∑U αi -1ψi

Ψi = ∑Ui α ψα

A αβ=∑∑U αi -1AijUj β

Aij=∑∑Ui αA αβU βj -1

第二章 量子力学基本原理

1、基本原理：

原理1：描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.

原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符.2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态|ψ>中取各值ai 的概率，与态矢量|ψ>安A 的归一化本证矢量 {|ai>}的展开式|ai>的系数复平方成正比.

原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi （i=1.2.3）与相应正则动量有下 列对易关系:

[Xi,Xj]=0 [Pi,Pj]=0

[Xi,Pj]=i(h/2π)ζij

而不同粒子间的所有算符均相互对易.

原理4.微观状态|ψ(t)>随时间变化的规律是薛定谔方程.

原理5.描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的，或是反对称的， 服从前者的粒子是波色子，服从后者的粒子是费米子.

2、哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.

|ψ(t)>=|ψ>f(t).

H|ψi>=Ei|ψi>

定态薛定谔方程能量值确定.态矢量为：|ψi(t)>=|i>exp （-iEit/h ）.

含时间的H 对应薛定谔方程的解为：

|ψ(t)>=∑|i> Ci exp （-iEit/h ）.

为各定态矢量的叠加 .

若已知初态|ψ0>=∑|i> Ci

则 |ψ(t)>=∑|i><i|ψ0>exp （-iE0t/h ）.

第三章 量子力学的基本概念和方法

1、一个电子具有自旋角动量S ，s 沿着空间中某一固定方向，只有两个可能的投影值：Sz=+ /2 或Sz=- /2；

电子磁矩：u=-g （e/2mc ）s

电子在外磁场中B 中又相互作用能量：H=-u*B

2、自旋的矩阵表示：

Sz=+ /2 -> α=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡01 Sz=- /2 -> β=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡10 电子的自旋态：|ψ(t)>

|ψ(t)>=C1(t)α+C2(t)β

<ψ(t)|=C1*(t)α-1+C2*(t)β-1

电子的自旋态只能有两个（朝上或朝下）.

3、相继stern-Gerlach 实验说明：一般的说，测量必定要改变微观客体状态，当加第二个装置 Gx 测量Sx 时，原来关于Sz 的信息消失，一个电子的自旋要么按Sx 分解，要么按Sz 分解，电