垂径定理及其推论ppt课件

④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
结论 ppt课件.
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垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
O E
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
B
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
对的另一弧．
（√ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
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（）
√ 24
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
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2． 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
D
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3．垂径定理的推论
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
15
你能确定A⌒B的圆心吗？ C
作法：
1． 连结AB．
2平．分作线A，B的交垂A⌒B直 A
B
于点C．
3． 作AC、BC 的垂直平分线．
4． 三条垂直平分
线交于一点O．
O
点Opp就t课件是. A⌒B的圆心．
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17
你
能
破
镜 重
A
圆
吗？
m
n
C
B O
作法：
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
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垂径定理的推论2
C A
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
证明：作直径MN垂直于弦AB
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
O
∴CA⌒⌒MM＝＝DB⌒ ⌒MM，
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
即 A⌒C＝B⌒D
N
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作法： 1． 连结AB．
2平．分作线A，B的交垂A⌒B直 于点E． 3． 连结AC．
4平．分作线A，C的交垂A⌒C直 于点F． 5． 点G同理．
D A
C E
B
点D、C、E就是A⌒B的四等分点．
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× 作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
C
A
B
等分弧时一
定要作弧所夹弦 的垂直平分线．
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交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦
所对的两条弧．
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垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
d+h=r
O
rd
r2 d2 (a)2 2
E
A
h
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
D
a
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求出其它两个量
．
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课堂小结
1． 圆是轴对称图形
11
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C ppt课件.
D
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小练习 C
已知：A⌒B．
求作：A⌒B的中点．
E
A
B
作法：
1． 连结AB． 2． 作AB的垂直 平分线 C⌒D，交 AB于点E．
点E就是所求A⌒B的中点．
D
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已知：A⌒B． 求作：A⌒B的四等分点．
知识要点
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
D ppt课件.
1
垂径定理 C
O
E
A
B
排列CD这组是五合直条，径进会，行出AB是弦， D 现多CD少⊥个A命B题？
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
①直径过圆心 ②垂直于弦
题设
③平分弦
①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
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推论1的其他命题......
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
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③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒C＝B⌒C 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒D＝B⌒D
B
D
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
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垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ⑤ 平分弦所对的劣弧
C
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D＝B⌒D 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒C＝BC⌒
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注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
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O
D
B N
4
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧
C
③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
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④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧p的pt课直件线. 经过圆心，并且垂直平分弦．22
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦
的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理
创造条件．
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随堂练习
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对
的两弧．
（）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
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垂径定理的推论1
② 垂直于弦 ③ 平分弦
C
① 直径过圆心 ④ 平分Байду номын сангаас所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平 分弦所对的两条弧．