小波分析及其工程应用-清华大学

φ (t ) = φ1,0 (t ) + φ1,1 (t )
ψ (t ) = φ1,0 (t ) − φ1,1 (t )
例1.1 (P8)
f (t ) = 4φ2,0 (t ) − 2φ2,1 (t ) + φ2,2 (t ) + 3φ2,3 (t ) 3 1 = φ0,0 (t ) − ψ 0,0 (t ) + 3ψ 1,0 (t ) −ψ 1,1 (t ) 2 2
1.3 尺度函数与小波函数
目的：引入尺度函数与小波函数的概念， 介绍一个函数的多分辨表示及其与尺度函 数、小波函数、小波变换间的关系。同 时，引入尺度方程与小波方程的概念。
f (t ) = x1 X [0,1/ 4) (t ) + x2 X [1/ 4,1/ 2) (t ) + x3 X [1/ 2,3/ 4) (t ) + x4 X [3/ 4,1) (t )
小波分析及其工程应用
孙 延奎
清华大学计算机系 2009.3.3
第1章 Haar小波分析
1. 前言
1.2 平均与细节 目的： 通过求平均与细节运算,引入离散信号的多分辨表示及其 小波变换的概念。
a0,0
d 0,0
a1,0 d1,0
a1,1 d1,1
x1
x2
x3
x4
几点说明:
多分辨表示与数据压缩 低频系数的意义 小波变换的结果与具体操作相关 信号长度问题
f (t ) = a0,0φ0,0 (t ) + d 0,0ψ 0,0 (t ) + d1,0ψ 1,0 (t ) + d1,1ψ 1,1 (t )
ψ 0,0 (t ) = ψ (t ) ψ 1,0 (t ),ψ 1,1 (t )
1.3 尺度函数与小波函数
函数的多分辨逼近表示: 两尺度方程: φ (t ) = φ (2t ) + φ (2t − 1) 小波方程: 或
k = 0,1,L , 2 j − 1 k = 0,1,L , 2 j − 1
性质：不同分辨率下的小波函数及尺度函数具有相同的能量.
φ j ,k = 1 ψ j ,k = 1
两尺度方程和小波方程变为：
φ (t ) =
ψ (t ) =
1 1 φ1,0 (t ) + φ1,1 (t ) 2 2
1 1 φ1,0 (t ) − φ1,1 (t ) 2 2
定义内积:
f , g = ∫ f (t ) g ∗ (t )dt
0
1
则Vn构成一个内积空间,称之为尺度空间. {φn , k ; k = 0,1, L, 2n − 1} 构成Vn的一个正交基. 令 W j = {h ∈V j+1 : h, f = 0, ∀f ∈ V j } 即 V j +1 = V j ⊕ W j
f j = ∑ a j , kφ j , k ∈ V j , j = 0,1, L , n + 1; w j = ∑ d j , kψ j , k ∈ W j , j = 0,1, L , n
2 j −1 k =0 2 j −1 k =0
{a
0,0
, d 0,0 ,L , d n ,0 , L , d n ,2n −1
1.3 尺度函数与小波函数
a0,0
φ0,0 (t ) = φ (t ) φ1,0 (t ), φ1,1 (t ) φ2,0 (t ), φ2,1 (t ), φ2,2 (t ), φ2,3 (t )
x1
a1,0 d1,0
d 0,0
a1,1 d1,1
x2
x3
x4
f (t ) = a1,0φ1,0 (t ) + a1,1φ1,1 (t ) + d1,0ψ 1,0 (t ) + d1,1ψ 1,1 (t )
细实线: 原信号 粗实线: 总平均值 点划线: 低分辨率细节 虚线: 高分辨率细节
1.4 多分辨分析
目的：引入尺度空间和小波空间的概念，尺度空间与尺度函 数、小波空间与小波函数之间的关系。了解多分辨分析的含 义。
预备知识： 函数空间特别是线性代数中内积空间、正交和、正 交补、基
1.4 多分辨分析 从函数空间的高度认识函数的多分辨表示. 多分辨分析中有两个 函数空间: 尺度空间和小波空间.本节以Haar小波为例说明多分 辨分析的概念。 令Vn表示所有在区间[0, 1/2n),…, [(2n-1)/2n,1)上分别为常数 的函数空间.则 V0 ⊂ V1 ⊂ L ⊂ Vn ⊂ Vn+1 ⊂ L
{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
{
}
} 的小波变换?这等价于
快速地计算出它的一级小波变换
{a
n −1,0
,L, an−1,2n −1 −1 , d n−1,0 ,L, d n−1,2n −1 −1
}
?
目标：给出小波变换的快速算法
1.5 小波变换的快速计算 标准化尺度函数和小波函数的概念:
φ j ,k (t ) = 2 j φ (2 j t − k )， ψ j ,k (t ) = 2 jψ (2 j t − k )，
W j 称为小波空间. {ψ j ,k ; k = 0,1,L , 2 j − 1} 构成Wj的一个正交基.
1.4 多分辨分析
Vn +1 = Vn ⊕ Wn = Vn −1 ⊕ Wn −1 ⊕ Wn = L = V0 ⊕ W0 ⊕ W1 ⊕ L ⊕ Wn
f n +1 = f n + wn = f n −1 + wn −1 + wn = L = f 0 + w0 + w1 + L + wn
}
是
{a
n +1,0
, an +1,1 ,L , an +1,2n+1 −1 的小波变换.
}
fn+1的多分辨逼近表示: f0,f1,……,fn 称 {V j ; j = 0,1, L} 为由Haar尺度函数
φ 生成的多分辨分析。
1.5 小波变换的快速计算 问题: 如何计算fn+1的多分辨表示?这等价于 如何计算 an ,0 ,L , an ,2n −1 如何从 an ,0 ,L , an ,2n −1
X [1/4,2/4) , X [2/4,3/4) , X [3/4,1) 与 X [0,1/4) 之间的关系? X [0,1/4) 与 X [0,1) 之间的关系?
φ j ,k (t ) = φ (2 j t − k )
k = 0,1,L , 2 j − 1
f (t ) = x1φ2,0 (t ) + x2φ2,1 (t ) + x3φ2,2 (t ) + x4φ2,3 (t )