初中数学几何专题-对角互补模型变式训练题

F
E D A 对角互补模型变式
一、基本图形
如图，点D 为△ABC 外一点，连接BD ，CD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长线于点E ，作AF ⊥CD 于点F .
①AB ＝AC （可换为“点A 在线段BC 中垂线上”或“∠ABC ＝∠ACB ”）
②∠BAC ＝∠BDC （可换为“∠ABD ＝∠ACD ”或“∠BAC ＋∠EDF ＝180°”） ③AD 平分∠EDF （可换为“∠ADC ＝90°－1
2
∠BDC ”或“AE ＝AF ”）
④CD －BD ＝2DE （可换为“CD －BD ＝2DF ”或“CD ＋BD ＝2BE ”或“CD ＋BD ＝2CF ”） ⑤∠ADC ＝∠ABC （可换为“∠BAD ＝∠BCD ”或“∠ADE ＝∠ACB ”） 结论如下：
（1）若①②成立，则③④⑤成立； （2）若①③成立，则②④⑤成立；
（3）若②③成立，则①④⑤成立；
（4）若③④成立，则①②⑤成立； （5）若①④成立，则③④⑤成立； （6）若①⑤成立，则②③④成立. （7）若②④成立，则①③⑤成立； 注：（1）-（3）要熟知，（4）（5）（6）要会，（7）能懂即可，不要求掌握.
二、应用举例 【例】1、（2015年武昌7校八上期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝78°，∠BDC ＝24°，则∠DBC ＝（ ） A .18° B .20° C .25° D .15°
A B
C
D
2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，E 在边AB 上，连接DE ，CE . （1）如图1，若AD ∥BC ，∠AED ＝∠ACD ，求证：DC ＝DE ； （2）如图2，若DC ＝DE ，∠CDE ＝∠BAC ，求证：AD ∥BC .
图1
图2
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
【练】1、在四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若∠ACD ＝∠ADC ＝α，∠ACB ＝∠ADB ，则∠CBD ＝__________.
A
D
2、如图，点C 为△ABD 外一点，连接CA ，CD .
（1）如图1，若∠B ＝∠C ，∠ADB ＝90°﹣1
2∠BDC ，求证：AB ＝AC ；
（2）如图2，若∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，请探究∠ADB 与∠BDC 的数量关系； （3）如图3，若AB ＝AC ，∠ADB ＝90°﹣1
2
∠BDC ，求证：∠B ＝∠C .
图3
图2
图1
A
B
D
A
B
D D B
A
【例】1、（2015武昌八上期末、2016洪山八上期中）已知△ABC 和△DEF 为等腰三角形，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ，点E 在AB 上，点F 在射线AC 上. （1）如图1，若∠BAC ＝60°，点F 与点C 重合，求证：AF ＝AE ＋AD ； （2）如图2，若AD ＝AB ，求证：AF ＝AE ＋BC .
图1
图2
F
E D
C B
A
F ( )
E D
C B
A
2、如图，点A 是线段BC 的垂直平分线上一点，D 为△ABC 外一点，连接DA 、DB 、DC . （1）过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长于点E ，若∠BDC ＝∠BAC ，BE ＝5，求BD ＋CD 的值； （2）若∠DAB ＝∠DCB ，∠BDC ＝60°，求证：AD ＋BD ＝CD .
E A
B D
D
A
【练】1、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝∠ACD ＝60°，求证：BD ＋DC ＝AB .
D
C
B
A
2、（2015七一八上10月）如图，BD ＝CD . （1）如图，若AD 平分∠BAC 的外角，①求证：∠ABD ＝∠ACD ；②试探究∠BAD 与∠BCD 的关系并证明；
（2）如图，若∠ADB ＝∠ACB ，求证：AD 平分∠BAC 的外角.
E
D
C B A
E
D
C
B A
【例】1、（2016年勤学早八上轴对称周练）如图1，A 是OB 的垂直平分线上一点，P 为y 轴上一点且∠OPB ＝∠OAB . （1）若∠AOB ＝60°，PB ＝4，求点P 坐标； （2）在（1）的条件下，求证：P A ＋PO ＝PB ；
（3）如图2，若点A 是OB 的垂直平分线上一点，已知A （2，5），求PO ＋PB 的值.
图2
图1
2、如图，在平面直角坐标中，点A 、B 分别在x 轴负半轴和正半轴上，且关于y 轴对称，点C 在y 轴正半轴，连接AC ，BC ，BD . （1）若∠ACD ＝2∠ABD ，求证：AC ＝CD ；
（2）在（1）的条件下，若点E 、F 分别在AC 的延长线和CB 的延长线上，且DE ＝DF ， 求CF －CE CO
的值.
【练】1、如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1 ，0），点C 的坐标是(1，0)，点D 为y 轴上一点，点A 为第二象限内一动点，且∠BAC ＝2∠BDO ，过D 作DM ⊥AC 于M . （1）求证：∠ABD ＝∠ACD ；
（2）若点E 在BA 延长线上，求证：AD 平分∠CAE ；
（3）当A 点运动时，AC －AB
AM
的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由
.
2、如图，在平面直角坐标系中，OA ＝OB ＝OC ＝2，点P 从C 点出发沿y 轴正方向以1个单位／秒的速度向上运动，连接P A 、PB ，D 为AC 的中点.
（1）如图1，设点P 运动时间为t 秒，问：当t 为何值时，DP 与DB 垂直且相等；
（2）如图2，若P A ＝AB ，在第一象限内有一动点Q ，连QA 、QB 、QP ，且∠PQA ＝60°，问：当Q 在第一象限内运动时，∠APQ ＋∠ABQ 的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值
.
图1
图2。